78

1.8.3. Момент импульса и момент инерции материальной точки

Вектором момента импульса L движущейся материальной точки относительно произвольной точки О называют векторное произведение радиусвектора r на вектор импульса p mv этой точки. Радиус-вектор r проведен из точки О к движущейся материальной точке (рис. 1.50):

L r , p r , mv .

Направление вектора L определяется по правилу буравчика, как и для вектора M . Модуль вектора момента импульса материальной точки

		L p r sin p h ,
			p
		r
	h
O		L
		Рис. 1.50.

где h — плечо импульса p (рис. 1.50). Плечо импульса есть кратчайшее расстояние от точки О до линии действия импульса (длина перпендикуляра, опущенного на линию действия импульса).

z		p		Моментом импульса материальной точки от-
				носительно произвольной оси z называют скаляр-
			p
Lz
		R		ную величину Lz равную проекции вектора момен-
L				p та импульса L , найденного относительно произ-
	r
				вольной точки оси z, на эту ось:
		p
O
				Lz p R .

Рис. 1.51.

Здесь R – расстояние от материальной точки до оси вращения, p – касательная компонента вектора импульса материальной точки (рис. 1.51).

79

Если материальная точка движется по окружности, то целесообразно за точку О выбрать центр окружности. В этом случае вектор момента импульса

p r L

O

Рис. 1.52.

Величину I mr2

L r , mv будет направлен по оси вращения и связан с

направлением вращения правилом правого винта (рис. 1.52), а модуль момента импульса L mvr . Линейная скорость v связана с угловой скоростью соотношением v r , тогда L mr2 . Обозначив произведение mr2 как I и, учитывая, что угловая скорость совпадает по направлению с вектором L , запишем

L I .

называют моментом инерции материальной точки.

1.8.4.Момент инерции твердого тела

1.8.4.1.Момент инерции и собственный момент импульса

Рассмотрим тело, вращающееся вокруг оси z, проходящей через центр масс этого тела (рис. 1.53). Разобьѐм тело на систему материальных точек с массами mi . Вектор момента импульса i-й материальной точки относитель-

но центра масс С равен: L			r	, m v	, а модуль этого вектора L m r v .
		i	i,C	i i					i	i i,C i
Найдем	проекцию		вектора		Li	на	ось	вращения			z:
					Li
		mivi
				ri,C
			ri
					C	Lz,i

Рис. 1.53.

Lz,i Li sin mivir i,C sin . Из заштрихованного треугольника (рис. 1.53) видно, что ri,C sin ri , где ri – расстояние от i-й точки до оси вращения (ра-

80

диус вращения). Тогда Lz,i mirivi и, учитывая, что vi ri , где – угловая скорость вращения тела, получим Lz,i mi ri2 .

Момент импульса тела относительно оси вращения равен сумме проекций моментов импульсов материальных точек, из которых состоит тело, на ось вращения. То есть момент импульса тела относительно оси z равен Lz mi ri 2 . Все точки тела вращаются с одинаковой угловой скоро-

i

стью, тогда Lz mi ri2 .

i

Величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела I относительно данной оси:

I miri2 .

i

Суммирование проводится по всем элементарным массам mi , на которые мысленно разбито тело. Чем меньше элементарные массы mi , тем более точным является выражение для момента инерции тела относительно оси вращения. В предельном случае задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию:

I dmr2 .

Тогда момент импульса тела относительно оси вращения z равен:

Lz I .

Если у твердого тела ось симметрии совпадает с осью вращения, то векторы моментов импульсов Li и Lj материальных точек, симметричных отно-

mivi

Li

ri

rj C

mjvj

L I

Lj

Рис. 1.54.

81

сительно оси вращения, при суммировании дают результирующий вектор момента импульса, лежащий на оси вращения (см. рис. 1.54). По правилу правого винта его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости . Тогда вектор момента импульса всего тела по отношению к центру масс С будет равен

L I .

1.8.4.2. Момент инерции кольца

r R

C

Рис. 1.55

OO . То есть, r =

Вычислим моменты инерции некоторых простых тел. Найдем момент инерции однородного тон- dm костенного полого цилиндра (кольца) (см. рис. 1.55) массой m и радиусом R относительно перпендикулярной плоскости кольца оси симметрии. Разобьем кольцо на элементарные массы dm. По определению момент инерции I r2dm . Ввиду малой толщины сте-

нок цилиндра, можно считать, что все элементарные массы находятся на одинаковом расстоянии R от оси R = const., тогда I R2 dm. Так как dm m есть масса

по кольцу

кольца, следовательно, момент инерции кольца относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через центр масс

I= mR2.

1.8.4.3.Момент инерции сплошного цилиндра (диска)

Найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его геометрической оси OO . Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr и радиуса r . На рис. 1.56 показан только один такой цилиндр (выделен темным цветом). Момент инерции каждого полого цилиндра dI r2dm , где dm – масса элементарного цилиндра. Введем понятие поверхностной плотности

	массы цилиндра	m	, где R2 – площадь поверхности основания цилин-
		R2

дра. Тогда элементарная масса dm dS , где dS 2 r dr – площадь по-

82

верхности элементарного кольца, т. е. dm 2 rdr . Момент инерции сплош-

O

ного цилиндра:

dm

R

R

C

I r

2

3

R

r

dr

dm 2 r

dr .

0

0

O

Вынесем 2 за знак интеграла:

Рис. 1.56

R

3

1

4

R

R4

I 2 r dr 2 r

.

0

4

0

2

Учитывая, что

m

, получим

R2

m

R4

1

I

R2

2

2

2 mR

.

То есть момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и

радиусом R относительно его геометрической оси:

I mR2 .

2

Для полого цилиндра момент инерции равен

I 1 m R12

R22 , где R1 и

2

R2 – его внешний и внутренний радиусы.

1.8.4.4. Момент инерции однородного стержня

Найдем момент инерции тонкого однородного стержня относительно

оси

проходящей через один из его концов

O

OO ,

перпендикулярно продольной геометрической

dm

оси симметрии

(см. рис. 1.57). Разобьем стер-

r

dr

жень на элементарные массы dm бесконечно

малой длины dr , удаленные от оси вращения

O

Рис. 1.57.

на расстояние

r .

Введем понятие линейной

83

плотности массы стержня m , где m – масса стержня, – его длина, тогда

элементарная масса dm dr , а момент инерции стержня будет равен

	I r2dm r2dr r2dr			1	r3		1	3 .
				3			3
	0	0	0			0

Учитывая, что m , получим момент инерции однородного стержня

относительно оси OO :

I m 3 . 3

1.8.4.5. Теорема Штейнера

Как правило, путем интегрирования легко вычислить момент инерции I0 симметричного тела относительно оси, проходящей через центр масс. Теорема Штейнера позволяет найти момент инерции от-

I		I0	носительно произвольной параллельной оси. Она
			формулируется следующим образом:
	a		Момент инерции относительно произ-
			вольной оси вращения равен сумме момента инерции
			тела относительно параллельной оси вращения, про-
			ходящей через центр инерции тела, и произведения
	Рис. 1.58.		массы этого тела на квадрат расстояния между
			осями.

I I0 ma2 .

Найдем момент инерции диска относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно плоскости диска (рис. 1.58). В этом случае a = R и, согласно теореме Штейнера,

I mR2 mR2 3 mR2 . 2 2