Рис. 2.22.

136

де через узел фаза колебаний скачком изменяется на радиан (на противоположную фазу). В стоячей волне не происходит переноса энергии и импульса, поэтому она и получила название стоячей.

2.2.5. Эффект Доплера

Явлением Доплера называется изменение частоты волн, воспринимаемых наблюдателем, вследствие перемещения либо наблюдателя, либо источника волн относительно среды, в которой распространяются волны. Эффект Доплера также наблюдается и при одновременном перемещении наблюдателя и источника волн. Например, при приближении к неподвижному наблюдателю быстро движущегося поезда тон звукового сигнала выше, а при удалении поезда ниже, чем тон сигнала, подаваемого тем же поездом, когда он стоит на станции. Эффект был впервые описан австрийским физиком и астрономом Кристианом Доплером в 1842 году.

Качественно это легко объяснить. Тон звука, слышимый наблюдателем, зависит от частоты звуковой волны, доходящей до его уха. Если источник звука движется навстречу наблюдателю, то гребень каждой следующей волны (волновая поверхность, соответствующая максимальному значению колеблющейся величины) приходит чуть быстрее, так как был испущен уже ближе к наблюдателю. Волны воспринимаются как более частые, и звук кажется выше. При удалении источника звука каждая следующая волна испускается чуть дальше, доходит до наблюдателя с запаздыванием, и наблюда-

тель ощущает более низкий звук. На рис. 2.22. источник волн перемещается налево. Тогда слева частота волн становится выше, а справа – ниже, другими словами, если источник волн догоняет испускаемые им волны, то длина волны уменьшается. Если удаляется – длина волны увеличивается.

То же самое происходит, если движется не источник звука, а наблюдатель. Если наблюдатель набегает на волну, еѐ гребни он пересекает чаще, и звук становится выше. Если убегает от волны – наоборот.

Сделаем расчет соотношений частот эффекта Доплера. Пусть неподвижный источник звуковых волн находится в однородной изотропной упругой среде и излучает волны с частотой 0 , с периодом T0 , с длиной волны 0 , скорость распространения волн – v .

137

Скорости перемещения источника звука и наблюдателя обозначим соответственно буквами u1 и u2 , а направление их движения будем указывать по отношению к оси x, проведѐнной от наблюдателя к источнику волн. При перемещении источника волн и наблюдателя под углом друг к другу направление оси x непрерывно изменяется. Примем, что скорости перемещения источника волн и наблюдателя значительно меньше скорости распространения волны. Тогда за время, равное периоду колебаний источника волн T0, смещение источника от оси x будет незначительным.

Рассмотрим случай, когда наблюдатель N неподвижен, а источник волн S удаляется от наблюдателя под углом α1 к оси х (рис. 2.23).

В момент времени t=0, когда источник находится в точке S1, от него начинает бежать волновая поверхность к наблюдателю N. Она достигнет его в

r

момент времени t1 v1 , где r1 – расстояние от положения источника S1 до на-

блюдателя N. Через промежуток времени равный T0 источник, пройдя расстояние S1S2=u1T0, испустит следующую волновую поверхность с такой же фазой, что была испущена им из точки S1. Эта волна достигнет наблюдателя в

				u1
		r2		S2
				1
	N
		r1	S1	x

Рис. 2.23.

T t2

r

момент времени t2 T0 v2 , где r2 – рас-

стояние от положения источника S2 до наблюдателя N. Интервал времени между моментами прихода двух последовательных волновых поверхностей одинаковой фазы колебания – это и есть период колебаний T, воспринимаемый наблюдателем:

t T		r2 r1	.
1	0	v

Применим теорему косинусов для треугольника NS1S2.

r2	r2	(S S		2	)2 2r (S S				2	) cos		;			r2	r2		(S S	2	)2	2r (S S		2	) cos ;
2	1		1			1		1			1				2		1	1			1	1		1
(r r )(r			r ) (S S				2	)2 2r (S S				2	) cos .				С небольшой погрешностью можно
2	1	2	1		1					1	1					1
принять			r1 r2 2r1 ,					тогда			r2 r1				(S1S2 )2			(S1S2 ) cos1 . Величиной							(S1S2 )2
																2r									2r1
																1
ввиду еѐ малости можно пренебречь, и учитывая,																					что	S1S2		u1T0 , получим

Рис. 2.25.

138

r2 r1 u1T0 cos 1 . То есть период колебаний T, воспринимаемый наблюдате-

лем, равен T T0	u T cos			T T0			u	cos
	1 0	1	, или		1		1		1	.
	v							v

Учитывая, что частота есть величина, обратная периоду, запишем:

		0			.
		u cos
1		1	1
		v

Если источник удаляется от наблюдателя вдоль оси x, угол 1 0 и формулы приобретают вид:

T T0			u					0
	1		1	,							.
			v
					1				u1
									v

Случай, когда источник волн под углом приближается к наблюдателю, показан на рис. 2.24. Вывод будет аналогичен предыдущему случаю, только

теперь

cos 1

принимает отрицательные

u1

S2

1

значения

r2

u cos

T T0

N

1

1

1

,

0

.

r

x

v

u cos 1

S

1

1

1

1

v

Рис. 2.24.

Если источник приближается к наблюдателю вдоль прямой, их соединяющей,

угол 1

180 и

формулы

приобретают

0

0

вид:

u

u

0

2

T T0

1

1

,

.

u1

v

v

1

N

2

v

u2 cos 2

S

x

Теперь рассмотрим случай, когда источник волн S неподвижен, а наблюдатель N приближается к источнику волн S под углом

2 к оси х (рис. 2.25). В системе отсчѐта, связанной с наблюдателем, скорость распространения волны относительно наблюдателя равна v u2 cos 2 , а период прохождения однофазных волновых поверхностей через наблюдателя N

139

будет равен

T

0

.

Учитывая

что

0

vT0 , получим

v u2 cos 2

T

vT0

, или

v u2 cos 2

T

T0

0

u2 cos 2

,

1

.

u2

cos

v

1

2

v

Если наблюдатель приближается к источнику волн вдоль прямой, их соединяющей, угол 2 0 и формулы приобретают вид:

T	T0				0			u2
				,		1			.
		u2
	1							v
		v

Случай, когда наблюдатель N удаляется от источника волн S под углом к оси х, показан на рис. 2.26. В системе отсчѐта, связанной с наблюдателем,

скорость

распространения

волны

относительно

наблюдателя

равна

v u2

cos , период прохождения

волн

через

наблюдателя

N

равен

T

0

, а, учитывая, что

cos 2 cos , запишем T

0

.

v u2 cos

v

u2 cos 2

То есть структура формул

T

T0

0

u2

cos 2

,

1

u2

cos

v

1

2

v

0

будет такой же, как и в предыдущем слу-

u2

чае, только cos 2

принимает отрицатель-

2

v

ные значения.

Если наблюдатель удаляется от ис-

N

S

x

u2 cos

точника

волн

вдоль прямой, их соеди-

Рис. 2.26.

няющей, угол 2

180 и формулы приоб-

ретают вид:

140

T	T0			, 0			u2
					1			.
		u2
	1						v
		v

В самом общем случае, когда и наблюдатель, и источник волн движутся относительно среды с произвольными скоростями (рис. 2.27), частота, воспринимаемая наблюдателем, определится по формуле:

1		u2 cos 2
				v
0							.
	1		u1	cos 1
				v

Эффект Доплера наблюдается не только для звука, а и для волн любой частоты, например, световых, и даже для ра-

u2		u1	диоактивного излучения. Благодаря эффекту
2		1	Доплера астрономы установили, что Все-
			ленная расширяется – звѐзды разбегаются
N	S	x	друг от друга. С его помощью определяются
			параметры движения планет и космических
Рис. 2.27.			аппаратов. Эффект Доплера лежит в основе
			действия радаров, с помощью которых опре-

деляют скорость автомобиля. В медицинской диагностике этот эффект используется для исследования кровотока в сосудистой системе.

141

ПРИЛОЖЕНИЕ Операции с векторами

Величины, для определения которых достаточно задать только их численное значение, называют скалярами. В физике это, например, масса, плотность, промежуток времени и т.д.

Величины, характеризуемые не только численным значением, но и направлением, называют векторами. К ним относятся такие физические величины как сила, скорость, импульс и т.д. Вектор изображают стрелкой, длина которой в некоторых произвольных единицах длины равна численному значению (модулю) вектора. Вектор называют свободным, если его можно перемещать в пространстве параллельно самому себе. В некоторых случаях начало вектора фиксировано.

В литературе векторы принято обозначать буквой со стрелкой сверху ( a ) или же выделять жирным шрифтом (а). Буква без стрелки и без выделения означает модуль этого вектора ( a a a ).

Проекция вектора

Выделим в пространстве некоторое направление и зададим его осью х. Пусть вектор a образует с этой осью некоторый угол (рис.1). Опустим из начала и конца вектора перпендикуляры на ось х. Точки с координатами х1 и х2 будут соответственно проекциями начала и конца вектора a . Разность этих координат дает проекцию вектора a на ось х. Обозначим ее ах (проекция обозначается той же буквой, что и вектор, с добавлением индекса, указывающего направление, на которое она берется).

ax x2 x1

Из рис. 1 также видно, что

ax a cos .

Проекция вектора может быть как положительна, так и отрицательна.

ax	0,	если	x2	x1,	угол		острый;
ax	0,	если	x2	x1,	угол		тупой;
ax	0,	если	x2	x1,	угол		прямой.

142

Все эти случаи показаны на рис. 1 (а, б, в).

Рис. 1.

Сложение векторов

Сложение двух свободных векторов производится по одному из двух способов, называемых правилом параллелограмма и правилом треугольника.

При сложении по правилу параллелограмма векторы параллельным переносом приводят к общему началу и достраивают на них параллелограмм. Вектор, исходящий из общего начала векторов и совпадающий с диагональю параллелограмма, является суммой этих векторов (рис. 2).

Рис. 2.

На рисунке вектор с a b .

При сложении по правилу треугольника конец первого вектора совмещают с началом второго. Суммарный вектор направлен от начала первого вектора к концу второго (рис. 3).

Выбор правила, по которому производить сложение, делают из соображений удобства. Естественно, что оба варианта дают одинаковый результат.

Рис. 3.

143

Правило треугольника удобно применить, когда нужно сложить более чем два вектора. Тогда его называют правилом многоугольника. Каждый последующий вектор подсоединяют началом к концу предыдущего и проводят суммарный вектор из начала первого вектора к концу последнего (рис. 4).

Рис. 4.

Произведение вектора на действительное число

Произведением вектора a на действительное число m называют такой вектор b , модуль которого равен m a , а направление совпадает с направле-

нием вектора a при m > 0 и противоположно направлению a при m < 0 (рис.

5).

Рис. 5.

Орты координатных осей

Проведем в направлении декартовых координатных осей x, y и z соответственно векторы i , j и k (рис. 6). Пусть модули всех этих векторов равны единице. Эти векторы называют ортами координатных осей. Такая тройка векторов полностью определяет систему координат, поэтому ее называют базисом координатной системы.

Рис. 6.

144

Выражение вектора через его проекции на оси координат

В декартовой системе координат любой вектор a может быть представлен в виде разложения на орты координатных осей (рис. 7(а)):

a axi ay j az k .

ax , ay и az проекции вектора a на соответствующие оси координат. Эти

проекции находятся по формулам

ax a cos , ay a cos , az a cos .

Здесь , и углы, которые вектор a образует с осями x, y и z. Для простоты на рис. 7(б) углы , и показаны для случая, когда вектор a лежит в плоскости xy. Косинусы этих углов называют направляющими косинусами. Они связаны соотношением

cos2 cos2 cos2 1.

Рис. 7.

Модуль вектора a вычисляется по формуле a ax2 ay2 az2 .

С помощью разложения по ортам можно найти сумму или разность векторов. Пусть, например,

aaxi ay j az k

bbxi by j bz k

ccxi cy j cz k .

Тогда a b c (ax bx cx )i (ay by cy ) j (az bz cz )k .

145

Произведение векторов

Два вектора можно умножить друг на друга двумя различными способами скалярным и векторным. В результате скалярного произведения получается число (скаляр), в результате векторного произведения вектор.

1. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов обозначается (a,b) или a b и дает в результате число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

c (a,b) abcos .

Если угол между векторами a и b острый, то с > 0, если угол тупой с < 0. Если векторы a и b взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.

Возьмем два вектора a и b , направленные под произвольным углом по отношению друг к другу (рис. 8).

Рис. 8

Учитывая, что abcos ab есть проекция вектора a на направление вектора b (рис. 8), можно записать скалярное произведение как

(a,b) ab b или (a,b) a ba ,

где ba проекция вектора b на направление вектора a .

В прямоугольной декартовой системе координат скалярное произведение двух векторов a axi ay j azk и b bxi by j bzk равно сумме произведений соответствующих проекций этих векторов на оси x, y и z:

Рис. 9.

146

(a,b) axbx ayby azbz .

Скалярное произведение коммутативно, т.е. его величина не зависит от порядка сомножителей: (a,b) (b, a).

2. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением a,b или a b двух векторов a и b назы-

вают такой вектор с , модуль которого равен произведению модулей этих векторов на синус угла между ними:

с a,b absin .

Вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора a и b , а одно из его двух возможных направлений находят в соответствии с каким-либо из правил, приведенных ниже.

1)Правило правого винта

Представим себе, что вектор a поворачивается по наименьшему углу между векторами к вектору b . Вектор c будет направлен в сторону поступательного движения винта с правой резьбой при вращении его головки в этом

же направлении (рис. 9).

2) Правило буравчика

Направим винт буравчика вдоль вектора a , а рукоятку буравчика вдоль вектора b (рис. 10 а). Будем вращать рукоятку буравчика так, чтобы его винт поступательно двигался вдоль вектора a . Тогда конец рукоятки буравчика начнет двигаться в направлении вектора c .

3) Правило левой руки

Если четыре пальца левой руки направить по вектору a , ладонь расположить так, чтобы вектор b ‖впивался‖ в нее, то вытянутый большой палец покажет направление векторного произведения c a,b (рис. 10 б).

147

4) Правило противочасовой стрелки

Если смотреть с конца вектора c на векторы a и b , то кратчайший поворот по наименьшему углу от вектора a к вектору b будет происходить против часовой стрелки (рис. 10 в). Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях.

Рис. 10.

Орты декартовой системы координат связаны векторным произведени-

ем: i , j k ,

j,k i ,

k ,i

j.

С

учетом

этого векторное произведение

векторов a и b можно представить в виде определителя 3-го порядка:

i

j

k

a,b

a

a

a

.

x

y

z

bx

by

bz

Раскрывая определитель, запишем:

a,b (aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k .

Векторное произведение некоммутативно, при перемене мест сомножителей направление вектора c меняется на противоположное, a,b b, a .

Двойное векторное произведение трех векторов a, b и с (здесь c произвольный вектор) находят по формуле ―бац‖ минус ―цаб‖:

a, b,c b(a,c) c(a,b).

ea . Но

148

Производная вектора

Пусть некоторый вектор a может изменяться со временем, как по модулю, так и по направлению. Представим этот вектор как произведение модуля a на единичный вектор ea этого же направления:

a a ea .

Чтобы узнать, как быстро изменяется вектор a со временем, возьмем произ-

	водную по времени. Такую производную в физике обозначают как					da	или a .
						dt
	Вторая производная по времени запишется как	d 2a		или	a . Воспользуемся
		dt	2

правилом нахождения производной произведения, тогда:

dadt dadt ea a dedta .

Первое слагаемое представляет собой вектор, направленный вдоль той же прямой линии, что и a . Модуль этого вектора равен скорости изменения модуля вектора a . Следовательно, первое слагаемое отвечает за изменение вектора a по величине. Если модуль вектора a постоянен, это слагаемое равно нулю.

Второе слагаемое содержит производную единичного вектора единичный вектор не может изменяться по модулю, он может только менять свое направление. Значит, второе слагаемое описывает изменение направления вектора a . В случае, когда направление не меняется, оно равно нулю.

		149
ВВЕДЕНИЕ			3
МОДУЛЬ I: ОСНОВЫ МЕХАНИКИ			5
1. Механическое движение			5
1.1. Движение материальной точки			5
	1.1.1.	Скорость	6
	1.1.2.	Ускорение	8
	1.1.3.	Движение по окружности	11
	1.1.4.	Равномерное движение	16
	1.1.5.	Движение с постоянной тангенциальной составляющей вектора ускорения aτ	18
	1.1.6.	Равноускоренное движение	20
1.2.	Движение твердого тела		22
1.3.	Динамика материальной точки		23
	1.3.1.	Первый закон Ньютона	24
	1.3.2.	Второй закон Ньютона	24
	1.3.3.	Третий закон Ньютона	26
	1.3.4.	Преобразования Галилея. Механический принцип относительности	27
1.4.	Движение системы тел		29
	1.4.1.	Закон изменения и сохранения импульса системы тел	29
	1.4.2.	Центр инерции и центр масс системы тел	31
	1.4.3.	Уравнение движения центра масс	31
	1.4.4.	Движение тела переменной массы	32
1.5. Силовое поле			34
1.5.1.		Центральное и однородное силовые поля	35
1.5.2.		Энергия. Работа сил поля. Мощность	37
1.5.3.		Потенциальные силовые поля. Консервативные и диссипативные силы	39
1.5.4.		Кинетическая энергия	40
1.5.5.		Потенциальная энергия	41
		1.5.5.1. Потенциальная энергия тела в гравитационном поле Земли	41
		1.5.5.2. Потенциальная энергия упругих сил	44
		1.5.5.3. Градиент скалярного поля	44
		1.5.5.4. Связь силы и потенциальной энергии	46
		1.5.5.5. Потенциальная энергия взаимодействия	50
1.5.6.		Закон изменения и сохранения механической энергии системы тел	50
1.5.7.		Потенциальная кривая	52
1.5.8.		Соударение тел	53
1.6.	Неинерциальные системы отсчета		57
1.6.1.		Силы инерции	57
1.6.2.		Принцип эквивалентности Эйнштейна	61
1.6.3.		Сила тяжести и вес	61
1.7. Элементы теории относительности			63
1.7.1.		Постулаты Эйнштейна	64
1.7.2.		Преобразования Лоренца	65

		150
1.7.3.		Относительность одновременности событий	67
1.7.4.		Относительность длин	69
1.7.5.		Пространственно-временной интервал	69
1.7.6. Релятивистский закон сложения скоростей			70
1.7.7.		Релятивистская масса	71
1.7.8. Основной закон релятивистской механики			72
1.7.9. Связь массы, импульса и энергии в релятивистской механике			72
1.8. Динамика твердого тела			74
1.8.1.		Момент силы	74
1.8.2.		Момент пары сил	77
1.8.3.		Момент импульса и момент инерции материальной точки	78
1.8.4.		Момент инерции твердого тела	79
		1.8.4.1. Момент инерции и собственный момент импульса	79
		1.8.4.2. Момент инерции кольца	81
		1.8.4.3. Момент инерции сплошного цилиндра (диска)	81
		1.8.4.4. Момент инерции однородного стержня	82
		1.8.4.5. Теорема Штейнера	83
1.8.5.		Свободные оси вращения. Главные оси инерции	84
1.8.6.		Тензор инерции тела	85
1.8.7.		Работа, совершаемая при вращательном движении	89
1.8.8.		Кинетическая энергия вращающегося тела	89
1.8.9.		Основной закон динамики вращательного движения	90
1.8.10. Уравнение моментов			91
1.8.11. Закон сохранения момента импульса			92
1.8.12. Гироскопы			93
1.9. Элементы динамики сплошных сред			95
1.9.1.		Неразрывность струи	95
1.9.2.		Уравнение Бернулли	97
1.9.3. Движение тел в жидкостях и газах			99
МОДУЛЬ II: КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ			101
2.	Механические колебания		101
2.1.	Гармонические колебания		101
2.1.1. Характеристики и график гармонических колебаний			101
2.2.2. Метод векторных диаграмм (вращающихся амплитуд)			102
2.1.3. Сложение колебаний			103
		2.1.3.1. Сложение колебаний одного направления. Биения	103
		2.1.3.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний	106
2.1.4. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях			109
2.1.5. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний			110
2.1.6. Маятники			111
		2.1.6.1. Пружинный маятник	111
		2.1.6.2. Физический и математический маятники	112
2.1.7.		Энергия гармонического осциллятора	115
2.1.8.		Затухающие колебания	117

2.1.8.1. Уравнение и график затухающих колебаний	117
2.1.8.2. Характеристики затухания	119

151

	2.1.8.3. Добротность. Энергия затухающих колебаний	120
2.1.9. Вынужденные колебания. Резонанс		120
2.2. Волны		124
2.2.1. Уравнение плоской бегущей волны		126
2.2.2.	Волновое уравнение	128
2.2.3.	Энергия волны	130
2.2.4.	Интерференция волн	131
	2.2.4.1. Условие максимума и минимума	132
	2.2.4.2. Стоячие волны	133
2.2.5. Эффект Доплера		135
Приложение ―Операции с векторами‖		141
СОДЕРЖАНИЕ		149