Рис. 6.20

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

График подтверждает плавное изменение тока в индуктивной катушке. Если ψi ï ð = 0 , свободная составляющая не возникнет и переходного

процесса не будет.

В те промежутки времени, когда iL ï ð и iL ñâ имеют одинаковые знаки, ток iL имеет значения, большие задаваемых источником. Говорят об ударном токе Ióä , который может достигать значения 2ILm ï ð .

6.2.7.Учет первого закона коммутации на практике

Вподпараграфе 6.2.4 и подпараграфе 6.2.6 рассмотрены процессы, происходящие при подключении реальной индуктивной катушки к источнику напряжения.

Рассмотрим, что произойдет, если ключ разомкнуть. Ток iL не может

измениться скачком. В момент, наступивший сразу после коммутации, ток останется тем же, что и до коммутации. На месте разрыва возникает перенапряжение, так как сопротивление воздушного промежутка велико. Это приводит к пробою, появляется искрение (электрическая дуга), портящее оборудование.

Ситуация ухудшается, если к зажимам индуктивной катушки подключен вольтметр (рис. 6.20).

Сопротивление вольтметра велико, ток в нем при нормальной работе мал. При ра з- мыкании ключа большой ток индуктивной катушки, который не может измениться скачком, будет замыкаться через вольтметр, сопротивление которого все же меньше, чем у воздушного промежутка.

На вольтметре возникает перенапряжение, прибор может выйти из строя. Такое же напряжение будет и на индуктивной катушке, что может привести к пробою ее изоляции.

Поэтому нельзя отключать незашунтированную катушку с током. Сначала нужно убрать напряжение либо параллельно подключить ветвь для замыкания тока катушки.

6.2.8. Подключение цепи с последовательным соединением реальной индуктивной катушки и конденсатора к источнику постоянного напряжения

Схема замещения анализируемой цепи представлена на рис. 6.21.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-169-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

Рис. 6.21

Уравнение электрического состояния в дифференциальной форме:

Ldtdi + Ri + uÑ =U .

Вуравнение входят две изменяющиеся величины. Более рационально сначала искать закон изменения напряжения uС .

Подставив в уравнение состояния

i = i = C

du

di

di

d

2u

Ñ

и

=

Ñ

= C

Ñ

,

Ñ

dt

dt

dt

dt2

получим:

d 2u

du

LC

+ RC

+ u

=U .

Ñ

Ñ

dt2

dt

Ñ

После деления на LC уравнение примет вид

d 2u

R du

1

u

U

.

Ñ +

Ñ

+

=

L

dt

LC

LC

dt2

Ñ

Ищем закон изменения напряжения uÑ как сумму двух слагаемых:

uÑ = uÑ ï ð + uÑ ñâ .

Найдем принужденную составляющую uÑ ï ð . После окончания переходного процесса (t = ∞) конденсатор постоянный ток не пропускает

(iï ð = 0) , поэтому uÑ ï ð =U .

Определим свободную составляющую uÑ ñâ . Закон ее изменения зави-

сит от вида корней характеристического уравнения.

Составим характеристическое уравнение на основе уравнения электрического состояния: p2 + RL p + LC1 = 0.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-170-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

Его корни p = −	R	±		R2	−	1		.
1,2	2L			4L2		LC

В зависимости от параметров схемы возможны три вида корней характеристического уравнения.

Вариант 1. Если R22 > 1 , корни будут действительными и разными.

4L LC

Такой случай переходного процесса называют апериодическим.

При этом закон изменения свободной составляющей представляет собой сумму двух экспонент:

uÑ ñâ = À1åp1t + À2åp2t .

Постоянные интегрирования A1 и A2 вычислим из начальных условий

с использованием законов коммутации.

При t = 0 + напряжение uÑ (0+) = uÑ ï ð (0+) + uÑ ñâ (0+).

По второму закону коммутации uÑ (0+) = uÑ (0−) . До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому uÑ (0−) = 0.

Принужденная составляющая является в данном примере постоянной величиной, следовательно, uÑ ï ð (0+) =U .

Свободная составляющая в начальный момент

uÑ ñâ (0+) = À1 + À2 .

Подставив эти значения, получим уравнение с двумя неизвестными:

0 =U + À1 + A2 .

Необходимо второе уравнение. Дифференцируем уравнение, по которому идет решение:

du

duÑ ï ð

duÑ ñâ

.

Ñ =

+

dt

dt

dt

Из уравнения по закону Ома i = i

= C duÑ

найдем duÑ

= iÑ .

Ñ

dt

dt

C

Так как u

=U = const ,

производная

duÑ ï ð

= 0. Производная свобод-

Ñ ï ð

dt

duÑ ñâ

ной составляющей

= p A ep1t + p A ep2t .

dt

1

1

2

2

Уравнение в начальный момент времени имеет вид

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-171-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

iÑ (0C+) = p1 A1 + p2 A2 .

Анализируемая цепь является одноконтурной, поэтому iÑ (0+) = = iL (0+) = iL (0−) . До коммутации цепь не была подключена к источнику энергии, поэтому iL (0−) = 0.

Таким образом получаем систему из двух уравнений:

0 =U + A1 + A2 ;0 = ð1 À1 + ð2 À2.

Выразим À2 из первого уравнения: À2 = −U − A1 . После подстановки во второе уравнение получим:

0 = p1 A1 + p2 (−U − A).

Отсюда 0 = p1 A1 − p2U − p2 A1 .

Тогда A1 = p1p−2Up2 ; A2 = −U − A1 = −U − p1p−2Up2 = − p1p−1Up2 .

Закон изменения напряжения на конденсаторе при его заряде от источника постоянного напря-

жения имеет вид

uÑ =U + p1 U− p2 (p2ep1t − p1ep2t ).

Закон изменения тока найдем по закону Ома:

			i = C duÑ =			CU		(p2 p1ep1t − p1 p2ep2t ).
						p − p
				dt			2
						1
Произведение корней равно свободному члену характеристического
уравнения: p p	2	=	1	.
1			LC
После подстановки и сокращения получим:
				i =	U					(ep1t − ep2t ).
					L( p − p			2	)
						1

Проиллюстрируем процессы графиками, приведенными на рис. 6.22.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-172-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

U

uC пр

Up

i

uC

p

1

- 2p

2

Up2

p1t

p1 - p2 e

t

Up1

e p2t

p1 - p2

Up1

p1 - p2

Рис.61.22

Ток в начале переходного процесса и после его окончания равен нулю.

График напряжения uС складывается из трех: постоянного напряжения

uÑ ï ð =U и двух

экспоненциальных

функций. Если p2 < p1 , то τ2 > τ1 ,

т. е.

значения экспоненты

−

Up1

ep2t

убывают медленнее,

чем у экспоненты

p − p

Up2

1

2

ep1t .

p − p

1

2

= C duC

Так

как

ток

i

в

начальный

момент

равен

нулю,

то

C

dt

duC (0+) =

0 и касательная к графику uC при t = 0 + является горизонталь-

dt

ной прямой. При максимальном значении тока кривая uC

имеет точку пере-

гиба.

R2

Вариант 2. Если

=

1

, корни будут действительными и равными:

2

LC

4L

p = p

= p = − R .

1

2

2L

Такой случай переходного процесса называют критическим или пре-

дельным апериодическим.

При этом свободная составляющая напряжения меняется по закону



Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-173-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

uC ñâ = (A1 + A2t)ept .

Вычислим постоянные интегрирования A1

и A2 .

При t = 0 +

напряжение

uC (0+) = uC ï ð (0+) + uC ñâ (0+). При этом

uC (0+) = uC ()−) = 0 , uC ï ð (0+) =U , uC ñâ (0+) = À1 .

Подставив эти значения, получим уравнение

0 =U + A1 .

Отсюда A1 = −U .

Чтобы найти

A2 , нужно второе уравнение,

которое получаем диффе-

ренцированием первого:

du

duÑ ï ð

du

Ñ

=

+

Ññâ

.

dt

dt

dt

du

i

duÑï ð

duÑ ñâ

Производная

Ñ =

Ñ ,

= 0

,

= pA ept

+

A ept + A tpept .

dt

C

dt

dt

1

2

2

Уравнение в начальный момент времени имеет вид

iÑ (0C+) = pA1 + A2 .

Так как iC (0+) = iL (0+) = iL (0−) = 0 , получаем уравнение

0 = pA1 + A2 .

Подставив A1 = −U , получим A2 = pU .

Закон изменения напряжения на конденсаторе в критическом случае его заряда от источника постоянного напряжения имеет вид

uÑ =U + (−U + pUt)ept

либо

uÑ =U [1−(1− pt)]ept .

Закон изменения тока можно получить по формуле iÑ = C dudtÑ . Графики изменения uÑ и iÑ аналогичны приведенным на рис. 6.22.

Вариант 3. Если R22 < 1 , корни будут комплексными сопряженны-

4L LC

ми. Такой случай переходного процесса называют колебательным. Введем обозначения:

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-174-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

2RL = β – коэффициент затухания;

1 − R22 = ω0 – угловая частота собственных колебаний контура.

LC 4L

Тогда p1,2 = −β ± jω0 .

Свободную составляющую удобно записать как синусоиду, затухающую по экспоненте:

uÑ ñâ = Ae−βt sin(ω0t + λ) .

Нужно вычислить А и λ.

При t = 0+ напряжение uÑ (0+) = uÑ ï ð (0+) + uÑ ñâ (0+). По второму закону коммутации uÑ (0+) = uÑ (0−) = 0 . Принужденная составляющая uÑ ï ð (0+) =U .

Свободная составляющая в начальный момент uÑ ñâ (0+) = Asin λ. Подставив эти значения, запишем уравнение с двумя неизвестными:

0 =U + Asinλ.

Второе уравнение получаем дифференцированием первого:

dudtÑ = dudtÑ ï ð + dudtÑ ñâ .

Производная dudtÑ = iCÑ , dudtÑ ï ð = 0, dudtÑ ñâ = −Aβe−βt sin(ω0t + λ) +

+Ae−βtω0 cos(ω0t + λ) .

Уравнение в начальный момент имеет вид

iÑ (0C+) = −Aβsin λ + Aω0 cosλ.

Так как iÑ (0+) = iL (0+) = iL (0−) = 0 , получаем систему уравнений:

0 =U + Asin λ;

0 = −Aβsin λ + Aω0 cosλ.

Отсюда A = −sinUλ .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-175-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

Разделив второе уравнение на Acosλ, получим:

0 = −βtgλ + ω0 .

Отсюда tgλ = ω0 . Тогда λ = Arctg ω0 . Далее можно вычислить А.

β

β

Очевидно, что ω0

и β являются катетами прямоугольного треугольника

с углом λ при вершине (рис. 6.23).

Квадрат гипотенузы этого треугольника по

теореме Пифагора равен

(β2 + ω02 )= p1 p2 =

1

, от-

LC

1

сюда гипотенуза равна

. Тогда sin λ = ω

,

LC

LC

0

U

A = −

.

Рис. 6.23

ω0

LC

Закон изменения напряжения на конденсаторе в колебательном случае его заряда от источника постоянного напряжения имеет вид

uÑ =U − ω0 ULC e−βt sin(ω0t + λ) .

Закон изменения тока можно найти по закону Ома [1]:

i	= C duÑ =	U	e−βt sin ω t .
Ñ	dt	ω0L	0

Графики изменения напряжения uÑ и тока iÑ приведены на рис. 6.24.

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-176-

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

6.2. Классический метод расчета переходных процессов

Рис. 6.24

В начальный момент dudtÑ (0+) = 0 , поэтому касательная к графику uÑ

при t = 0 + является горизонтальной прямой.

Экстремальным значениям тока соответствуют точки перегиба графика напряжения uÑ .

Кривая тока совершает затухающие по экспоненте колебания относительно нулевого значения, кривая напряжения – относительно величины входного напряжения U. Величина uÑ не может превзойти значение 2U.

6.2.9. Подключение цепи с последовательным соединением реальной индуктивной катушки и конденсатора

к источнику синусоидального напряжения

Алгоритм расчета не отличается от алгоритма расчета аналогичной цепи постоянного тока.

Уравнение электрического состояния L dtdi + Ri + uÑ = u ,

где u =Um sin(ωt + ψu ).

Принципиально отличается расчет принужденной составляющей напряжения uÑ ï ð , которая меняется по синусоидальному закону

uÑ ï ð =UmÑ ï ð sin(ωt + ψuÑ ï ð ) .

 Теоретические основы электротехники. Учеб. пособие

-177-