Физика ИДЗ 1 (ч.1)

2.39. Полусферическая чаша радиусом R вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . В чаше лежит шарик М,

вращающийся вместе с нею. В каком месте чаши он находится? (Рассчитать угол α, который характеризует положение шарика).

2.40. С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая дугу радиусом R = 90 м? На какой угол от вертикали он должен при этом отклониться? Коэффициент трения скольжения μ = 0,4.

М

2.41.Небольшое тело скользит вниз с вершины сферы радиусом R. На какой высоте h от вершины сферы тело оторвется от её поверхности? Трением пренебречь.

2.42.Автомобиль массой m = 3 т движется с постоянной скоростью V = 36 км/ч по выпуклому мосту радиусом R = 20 м. С какой cилой F давит автомобиль на мост в тот момент, когда линия,

соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол α = 300 c вертикалью?

2.43.С какой минимальной угловой скоростью ω нужно вращать ведерко в вертикальной плоскости, чтобы из него не выливалась вода?

Расстояние от поверхности воды до центра вращения равно l .

2.44.	Автомобиль движется по выпуклому мосту радиусом
R = 40 м.	Какое максимальное горизонтальное ускорение может

развить автомобиль в высшей точке моста? Скорость его в этой точке V = 50,4 км/ч, а коэффициент трения его колес о мост μ = 0,6.

2.45.Какую минимальную скорость V должен иметь математический маятник, проходя через положение устойчивого равновесия, для того чтобы он мог вращаться по кругу в вертикальной плоскости?

2.46.С какой скоростью V должен въехать велосипедист в нижнюю точку "мертвой петли" радиусом R = 6 м, чтобы не сорваться вниз?

2.47.Привязанную гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Какой угол с вертикалью

составляет шнур в момент, когда сила натяжения равна силе тяжести гири?

2.48. При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на расстоянии r = 0,1 мм от оси вращения. В каких пределах меняется сила давления оси на подшипники, если частота вращения маховика n = 10 об/с. Масса маховика m = 100 кг.

21

2.49.Сосуд с жидкостью вращается с частотой n = 2 об/c вокруг вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Чему равен угол наклона поверхности жидкости в точках, лежащих на расстоянии r = 5 см от оси?

2.50.Тело соскальзывает с вершины наклонной плоскости, основание которой d = 2,0 м. Коэффициент трения равен μ = 0,25. При какой высоте плоскости время, за которое тело соскользнет с плоскости, будет наименьшим?

2.51.Тело массой m = 50 кг находится на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения μ = 0,4. Под каким углом к горизонту α надо приложить к телу силу F = 300 Н, чтобы тело двигалось с наибольшим ускорением? Каково наибольшее ускорение?

						2.52. Ведерко с песком и груз в начальный момент
						времени имеют одинаковую массу m0		= 0,5 кг и связаны
						нитью, перекинутой через невесомый блок. При t = 0 из
						ведерка через отверстие в дне начал высыпаться песок в
						количестве μ = 50,0 г/с. Пренебрегая трением в блоке,
						найти, какое расстояние пройдет груз за первые 5 cекунд
						движения (считать, что за это время песок высыпался не
						полностью).
						2.53. Два	связанных веревкой	груза массами
m1 = 10,0 кг и m2 = 20,0 кг							тянут по горизонтальной поверхности,

прикладывая cилу F = 100 Н к одному из них. Под каким углом к горизонту надо приложить силу F, чтобы ускорение грузов было наибольшим? Рассчитать наибольшее ускорение, если коэффициент трения грузов о поверхность μ = 0,3.

2.54. На гладкой цилиндрической поверхности радиусом R = 1,0 м лежит гибкий шнур. Верхняя точка поверхности делит шнур

на части, длина которых l1 = π/6 м и l2 = π/4 м. Шнур расположен

перпендикулярно образующей цилиндра, и в момент времени t = 0 его скорость V0 = 0. Пренебрегая трением, найти ускорение шнура, с которым он начнет соскальзывать с поверхности.

22

3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ

Закон сохранения импульса:

n

Pi const ,

i 1

где n – полное число тел, входящих в замкнутую систему. Работа переменной силы

r2

A F cos adr.

r1

При F =const A F r cos ,

где - угол между направлениями силы F и перемещения r . Средняя мощность за время t

P At .

Мгновенная мощность

P dAdt FV cos ,

где dA - элементарная работа за промежуток времени dt. Кинетическая энергия тела при поступательном движении

Eк mV2 2 .

Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести

Eп mgh ,

где h – высота тела над начальным уровнем отсчёта. Потенциальная энергия тела при упругой деформации

Eп kx2 , 2

где k – коэффициент упругости, x – абсолютная деформация.

В замкнутой системе, где действуют консервативные силы,

Eк+Eп=const.

При действии сил трения необходимо учитывать потери механической энергии.

23

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Частица массой m1, имеющая скорость V1 , налетела на

покоящийся шар массой m2 и отскочила от него со скоростью U1 под прямым углом к направлению первоначального движения. Какова скорость U2 шара после соударения? Считать удар центральным.

Используя закон сохранения импульса, получим

m1V1 m1U1 m2U 2 .

На рисунке покажем импульсы тел. m1U1

mV1

mV1

m2U2

Модуль импульса шара найдём, используя теорему Пифагора:

m2U2 m12 V12 U12 m1 V12 U12 ,

отсюда U	2		m1				V 2	U	2 .
			m2			1			1
Ответ: U				2			m1	V 2		U 2 .
							m2	1		1

Задача 2. Шар массой M висит на нити длиной l. В шар попадает

(m M )g	l	R=l

l

mV0

(m M )V

x

24

горизонтально летящая пуля и застревает в нём. С какой скоростью V0 должна лететь пуля, чтобы в результате попадания пули шар мог сделать на нити полный оборот в вертикальной плоскости? Размерами шара пренебречь. В верхней точке сила натяжения нити равна нулю. Масса пули m.

Обозначим: V - скорость шара с пулей сразу после неупругого соударения, U - скорость шара с пулей в верхней точке.

В проекциях на ось OX закон сохранения импульса имеет вид

mV0	= (m + M) V.				(1)
	Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии,
совпадающий с осью OX .
	В нижнем положении шар с пулей обладает только кинетической
энергией		(m M )V 2		(m M )U 2
			; в верхней точке - кинетической			и
		2		2

потенциальной (m+M)gh энергиями, где h = 2R =2l.

Закон сохранения механической энергии запишем в виде

	(m M )V 2		(m M )U 2		(m M )gh .	(2)
2				2
	После преобразований
V 2 U 2 4gh .						( 2 )

В верхней точке на шар с пулей действует сила тяжести, по условию задачи сила натяжения нити равна нулю. Используем II закон Ньютона:

(m M )an					(m M )g,				(3)
где		an	U		2		U	2
				R			l	.
		Из уравнения (1) выразим V0:
V0	m M V .								(4)
		m
		Из уравнения (3)
U 2 gl.									(5)
		Подставив (5) в ( 2 ), получим
V		5gl.
		Найдем V0 , вернувшись к (4)
V	m M					5gl .
0		m

25

Ответ: V	m M	5gl .
0	m

Задача 3. Какова работа силы трения за один оборот аэросаней, движущихся по вертикальной круговой дорожке? Скорость саней постоянна и равна V, масса саней m, коэффициент трения k.

На рисунке покажем все силы, действующие на сани в произвольной точке траектории,

			учитывая, что a				0 ,	т.к.
			V=const.
	N		Полная работа силы трения
							2
						Aтр	dAтр, где
Fт		FTp	dA	F		dS cos1800	0	dS,
							F
			тр	тр			тр
	mg		Fтр kN,		dS Rd .
			Силу		реакции		опоры	N

выразим из уравнения второго закона Ньютона, записанного в проекциях на радиальную ось:

man N mg cos ,

где an V 2 , R - радиус окружности.

R

N m(V 2 g cos ).

R

Элементарная работа силы трения

dAтр km(V 2 g cos )Rd . R

Работа силы трения

2 V 2

Aтр kmR ( R g cos )d .

0

После интегрирования

Aтр 2 kmV 2.

Ответ: Aтр 2 kmV 2.

26

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.1 .Тело массой m = 2,0 кг падает с высоты h = 20 м из состояния покоя и в момент удара о землю имеет скорость V = 15 м/с. Определить работу силы сопротивления и силу сопротивления, считая её постоянной.

3.2.Какой путь s пройдут санки по горизонтальной поверхности после спуска с горы высотой h = 1,5 м и уклоном α = 450? Коэффициент трения μ = 0,2.

3.3.Ящик тянут равномерно за

верёвку. Сила F направлена под углом		F
α = 300. Определить работу, которую при
этом совершают. Масса ящика m = 100 кг,
коэффициент трения μ= 0,33, путь s = 50 м.

3.4.Поезд из состояния покоя за время τ = 5 мин развивает скорость V = 64,8 км/ч. Масса поезда m = 600 т, коэффициент сопротивления μ = 0,04. Найти среднюю мощность, развиваемую локомотивом, если его движение равноускоренное.

3.5.Какую среднюю мощность развивает автомобиль при

подъеме в гору? Начальная скорость автомобиля V0= 36 км/ч, его конечная скорость VК= 21 ,6 км/ч, коэффициент сопротивления μ = 0,1, высота горы h = 12 м, длина склона горы l = 80 м, масса автомобиля

m = 4000 кг.

3.6. Какую нужно совершить работу A, чтобы пружину жесткостью k = 800 Н/м, сжатую на x1 = 6 см, дополнительно сжать на

х2 = 8 см?

3.7. Санки скатываются с горки высотой h = 8 м по склону длиной l = 100 м. Масса санок с седоком m = 60 кг. Какова сила сопротивления движению санок, если в конце спуска они имели скорость V = 11 м/с?

3.8. Вагонетку массой m = 100 кг поднимают по рельсам в гору с ускорением a = 0,2 м/с2. Коэффициент сопротивления μ = 0,1, длина склона горы l 50 м, угол наклона α = 300. Какова работа A силы тяги?

3.9.Самолет для взлета должен иметь скорость V = 80 км/ч. Длина разбега S = 150 м. Какова мощность моторов при взлете, если масса самолета m = 1000 кг, коэффициент сопротивления μ = 0,02?

3.10.На горизонтальном участке пути длиной S = 2 км скорость поезда возросла с V1 = 36 до V2 = 72 км/ч. Определить работу и

27

среднюю мощность тепловоза, если масса поезда m = 103 т, а коэффициент сопротивления = 0,001.

3.11. Поезд массой m = 106 кг поднимается равномерно со скоростью V = 36 км/ч по уклону в 10 м на 1 км. Коэффициент сопротивления равен = 0,002. Определить мощность, развиваемую

паровозом.

3.12. Какой путь l пройдут до полной остановки санки, имеющие начальную скорость V0, при подъеме на гору с углом наклона α, коэффициентом трения ? Известно, что на горизонтальном участке

пути с тем же коэффициентом трения μ санки, имеющие такую же начальную скорость V0, проходят путь l0 .

3.13. Автомобиль массой m = 4 т подъезжает к горке высотой h = 10 м и длиной склона S = 80 м со скоростью V0 = 36 км/ч. Какую среднюю мощность развивает автомобиль на подъеме, если его скорость на вершине горы при постоянной силе тяги оказалась V = 21,6 км/ч? Коэффициент сопротивления принять равным = 0,1.

3.14.На подъеме в гору автомобиль движется равномерно со

скоростью V = 14,4 км/ч. Какова мощность автомобиля, если его масса m = 6 т, угол наклона горы α = 100, коэффициент трения μ = 0,09?

3.15.Под действием постоянной силы вагонетка прошла путь S = 5 м и приобрела скорость V = 2 м/с. Определить работу силы, если масса вагонетки m = 400 кг и коэффициент сопротивления μ = 0,01.

3.16.Движение тела массой m = 2 кг под действием некоторой силы задано уравнением х = А + Bt + Ct2 + Дt3, где А = 10 м, В = -2 м/с,

С= 1 м/с2, Д = - 0,2 м/с3. Найти мощность, затрачиваемую на движение

тела, в моменты времени t1 = 2 с и t2 = 5 с.

3.17. На тело массой m = 10 кг, движущееся по горизонтальной плоскости, действует сила F = 100 Н, направленная под углом α = 300 к горизонту. Определить работы всех сил, действующих на тело, а также их суммарную работу при перемещении тела вдоль плоскости на расстояние S = 10 м. Считать, что коэффициент трения μ = 0,1.

3.18. Лифт массой m = 103 кг поднимается на высоту h = 9 м за время t = 3 с. Сравнить работу по подъему лифта в двух случаях: 1) лифт поднимается равномерно; 2) лифт поднимается равноускоренно. Начальная скорость лифта в обоих случаях V0 = 0.

3.19. Автомобиль массой m = 2000 кг движется вверх по горке с

углом наклона 100 к горизонту, развивая на пути S = 100 м

скорость V = 36 км/ч. Коэффициент сопротивления μ = 0,05; начальная скорость V0 = 0. Найти среднюю и максимальную мощности двигателя автомобиля при разгоне.

28

3.20.При вертикальном подъеме груза массой m = 2 кг на высоту h = 1 м постоянной силой была совершена работа А = 78,5 Дж. С каким ускорением a поднимали груз?

3.21.Вагон массой m = 20 т, движущийся равнозамедленно, под действием силы трения равной F = 6000 Н останавливается. Начальная скорость вагона равна V = 54 км/ч. Найти работу силы трения и расстояние, которое вагон пройдёт до остановки.

3.22.Пуля массой m = 10 г подлетает к доске толщиной d = 4 см

со скоростью V1 = 600 м/с и, пробив доску, вылетает со скоростью V2 = 400 м/с. Найти среднюю силу сопротивления движению пули в доске.

3.23.В тело массой m1 = 990 г, лежащее на столе, попадает пуля массой m2 = 10 г и застревает в нем. Вектор скорости пули V = 700 м/с направлена горизонтально. Какой путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и столом μ = 0,05?

3.24.Сила F = 0,5 Н действует на тело массой m = 10 кг в течение времени t = 2 с. Определить кинетическую энергию тела в конце этого промежутка времени. Начальная скорость тела V0 = 0.

3.25. Поезд	массой m = 1,5 106		кг	движется	со скоростью
V = 37,6 км/ч и	при	торможении останавливается,			пройдя	путь
S = 200 м. Какова сила		торможения?	Как	должна измениться		сила

торможения, чтобы поезд остановился, пройдя в два раза меньший путь?

3.26.Пуля массой 10 г, летевшая со скоростью 600 м/с, попала в баллистический маятник массой 5 кг и застряла в нем. На какую высоту h поднялся маятник?

3.27.В подвешенный на нити длиной l = 1,8 м деревянный шар

массой m1	= 8 кг	попадает	горизонтально	летящая	пуля массой
m2 = 4 г. С	какой	скоростью	летела пуля,	если нить	с шаром и

застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол α = 30? 3.28. Грузы массами m1 = 10 кг и m2 = 15 кг подвешены на нитях

длиной l = 2 м так, что они соприкасается между собой. Меньший груз был отклонен на угол α = 600 и отпущен. На какую высоту поднимутся грузы после неупругого удара?

3.29.Шар массой m1 = 3 кг движется со скоростью V1 = 2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m2 = 5 кг. Удар абсолютно неупругий. Какая работа совершается при деформации шаров?

3.30.Шары массами m1 = 2 кг и m2 = 3 кг двигаются навстречу друг другу со скоростями V1 = 8 м/с, V2 = 4 м/с. Найти работу деформации шаров при их абсолютно неупругом столкновении.

29

3.31.Пуля попадает в ящик с песком и застревает в нем. На сколько сожмется пружина жесткостью k, удерживающая ящик, если пуля имеет массу m и движется со скоростью V, а масса ящика с песком М? Поверхность гладкая.

3.32.От удара груза массой M = 50 кг, падающего свободно с высоты h = 4 м, свая массой m = 150 кг погружается в грунт на глубину S=10 см. Определить силу сопротивления грунта, считая ее постоянной, а удар абсолютно неупругим.

3.33.Вагон массой 20 т, движущийся по горизонтальному пути со скоростью 2 м/с, догоняет вагон массой 40 т, движущийся со скоростью 1 м/с, и сцепляется с ним. Найти изменение механической энергии системы двух вагонов.

3.34.Два шара подвешены на тонких параллельных нитях и касаются друг друга. Меньший шар отводят на 900 от первоначального положения и отпускают. После удара шары поднялись на одинаковую высоту. Определить массу меньшего шара, если масса большего 0,6 кг,

аудар абсолютно упругий.

3.35.Два упругих шарика, массы которых m1 = 100 г и m2 = 300 г,

подвешены на одинаковых нитях длиной l = 50 см и касаются друг друга. Первый шарик отклонили от положения равновесия на угол= 900 и отпустили. На какую высоту поднимется второй шарик после абсолютно упругого удара?

3.36.Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой

длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара m1 = 0,2 кг, масса второго m2 = 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр поднимается на высоту h = 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если удар абсолютно неупругий?

3.37.Тело массой m = 3 кг движется со скоростью V = 4 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

3.38.Два тела движутся навстречу друг другу и ударяются

неупруго. Скорость первого тела до удара V1 = 2 м/с, скорость второго V2 = 4 м/с. Направление скорости тел после удара совпадает с направлением скорости первого тела до взаимодействия и равна

V = 1 м/с. Во сколько раз кинетическая энергия первого тела была больше кинетической энергии второго тела?

3.39. Движущееся тело массой m1 ударяется о неподвижное тело массой m2. Считая удар неупругим и центральным, найти, какая часть первоначальной кинетической энергии переходит при ударе в теплоту.

30