Физика ИДЗ 1 (ч.1)

Задачу решить сначала в общем виде, а затем рассмотреть следующие

случаи: 1) m1 = m2; 2) m1 = 9 m2.

3.40. Молот массой m1 = 200 кг падает на поковку, масса которой вместе с наковальней m1 = 2500 кг. Скорость молота в момент удара V1 = 2 м/с. Найти энергию, затраченную на деформацию поковки. Удар рассматривать как неупругий.

3.41. Определить КПД неупругого удара бойка (ударная часть свайного молота) массой m1 = 500 кг, падающего на сваю массой m2 = 120 кг. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.

3.42. По небольшому куску мягкого железа, лежавшего на наковальне массой m1 = 300 кг, ударяет молот массой m2 = 8 кг. Определить КПД удара, считая удар неупругим. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию куска железа.

3.43. Боек (ударная часть) свайного молота массой m1 = 500 кг падает на сваю массой m2 = 100 кг со скоростью V1 = 4 м/с. Определить энергию, затраченную на углубление свай в грунт, и КПД удара бойка о сваю. Удар рассматривать как неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на углубление сваи в грунт.

3.44. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает её на x1 = 20 мм. На сколько x2 сожмет пружину та же гиря,

упавшая на конец пружины с высоты h = 50 см?

3.45. Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый шнур так, что его длина стала больше на x1 =10 см. С какой скоростью полетел

камень массой m = 20 г? Для растяжения резинового шнура на x =1 см требуется сила F = 10 Н.

3.46.Тело массой M = 5 кг ударяется о неподвижное тело массой m = 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической энергией E = 5 Дж. Считая удар центральным и упругим, найти кинетическую энергию первого тела до и после удара.

3.47.Нейтрон (масса m0) ударяется о неподвижное ядро атома углерода (m = 12 m0). Считая удар центральным и упругим, найти, во сколько раз уменьшится кинетическая энергия нейтрона при ударе.

3.48.Тело массой m, движущееся со скоростью V, налетает на покоящееся тело и после упругого соударения отскакивает от него под углом = 900 к первоначальному направлению своего движения со скоростью V/2. Определить массу второго тела.

3.49.Два шара массами m1 = 2,5 кг и m1 = 1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями V1 = 6 м/с и V2 = 2 м/с. Определить скорость шаров после удара и долю кинетической энергии

31

шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать центральным и неупругим.

3.50.Шар массой m = 1,8 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы М. В результате центрального упругого удара шар потерял 0,36 своей кинетической энергии. Определить массу большего шара.

3.51.После упругого столкновения частицы 1 с покоящейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относительно

первоначального направления движения частицы 1, угол между их направлениями разлета равен = 600. Найти отношение масс этих частиц.

3.52.В результате упругого лобового столкновения частицы 1

массой m1 с покоящейся частицей 2 обе частицы разлетелись в противоположные направления с одинаковыми скоростями. Найти массу частицы 2.

3.53.Частица массой m испытала столкновение с покоящейся

частицей массой М, в результате которого первая частица отклонилась на угол 900, а вторая отскочила под углом 300 к первоначальному направлению движения частицы массой m. На сколько процентов и как изменилась кинетическая энергия этой системы после столкновения, если M/m = 5?

3.54.Шар массой m1, движущийся со скоростью V1, догоняет шар массой m2, движущийся со скоростью V2. Определить скорости шаров после упругого соударения. Удар центральный.

3.55.На покоящийся шар налетает со скоростью V = 2м/с другой

шар одинаковой с ним массы. В результате столкновения этот шар изменил направление движения на угол α = 300. Определить скорости U1, и U2 шаров после удара.

3.56.Между двумя тележками массами m1, и m2 (m1 > m2) находится сжатая пружина. Разжимаясь, пружина расталкивает тележки. Найти отношение кинетических энергий, приобретенных тележками. Трением пренебречь.

32

4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Момент инерции материальной точки

J mr 2 ,

где m - масса точки, r - расстояние от оси вращения. Момент инерции твердого тела

Jn mi ri2 ,

i1

где ri - расстояние элемента массы mi от оси вращения.

При непрерывном распределении массы

J r2 r 2dm.

r1

Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен

J J0 ma2 ,

где J0 - момент инерции тела относительно оси, проходящей через

центр тяжести параллельно заданной оси, a - кратчайшее расстояние между осями, m - масса тела.

J0стержня				ml 2
				12		, где l - длина стержня, ось перпендикулярна
стержню.
		mR2
J0диска						где R - радиус диска, ось перпендикулярна плоскости
					,
			2
основания.
J0шара	2		mR2			, где R - радиус шара.
	5

J0кольца mR2 , где R - радиус кольца, ось перпендикулярна плоскости

кольца.

Момент импульса вращающегося тела

L J ,

где - угловая скорость.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

dLdt M ,

где M - момент результирующей силы, действующей на тело.

33

M Fl,

где F - сила, l - плечо силы - кратчайшее расстояние от оси до линии

действия силы.

При J=const J M ,

где ddt - угловое ускорение.

Закон сохранения момента импульса:

n

Li const ,

i 1

гдеLi - момент импульса i-го тела, входящего в состав замкнутой системы.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. По наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом, скатывается без скольжения 1) сплошной однородный диск, 2) шар. Определить линейное ускорение их центров. Предварительно вывести общую формулу.

Тело участвует в сложном движении:

1) поступательно движется вниз по наклонной плоскости; 2) вращается вокруг оси, проходящей через центр тяжести.

На рисунке покажем силы, действующие на тело.

y

N

0

FТр

x

mg

Для поступательного движения запишем II закон Ньютона в проекциях на ось OX.

34

	ma mg sin FTP .					(1)
		Для вращательного движения используем закон
	J M ,					(2)
	где	J - момент инерции,	a		a	- угловое ускорение.
			R		R

Момент силыM создает сила трения, плечо которой равно R, две другие силы не создают вращающего момента.

MFTP R .

Перепишем (2):

J Ra FTP R .

Выразим силу трения из (3) и подставим в (1):

ma mg sin															J			a.
	Отсюда														R2
a	g sin							.																	(4)
						J
	1
			mR2
	Зная моменты инерции диска и шара
Jдиска						mR2						,			Jшара							2	mR2
		2															5
найдем ускорения диска и шара
aдиска					g sin												2		g sin ,
																	3
						1		1
										2
aшара				g sin													5 g sin .
						1		2								7
									5											2					5 g sin .
	Ответ:								aдиска												g sin ,			aшара
																	3								7
	Задача							2.							Вертикальный столб										высотой l подпиливается у

основания и падает на землю, поворачиваясь вокруг основания. Определить линейную скорость его верхнего конца в момент удара о землю. Трением пренебречь.

35

На рисунке C- центр тяжести столба. Применим закон сохранения механической энергии. Масса распределена равномерно,

C

h 2l

		C
0						0

поэтому в выражении для потенциальной энергии при вертикальном положении столба возьмем высоту его центра тяжести h l2

относительно нулевого уровня отсчета: En mg 2l .

В горизонтальном положении столб приобретает кинетическую энергию

Eк

J

2

,

2

где J - момент инерции относительно оси, проходящей через

неподвижный конец, - угловая скорость.

mg

l

J

2

.

(1)

2

2

По теореме Штейнера

J J0

m

l 2

ml 2

ml

2

ml

2

.

4

12

4

3

Угловую скорость выразим через линейную скорость упавшего

конца:

V

l .

Подставив J и в (1), найдем

V

3gl .

Ответ: V

3gl .

Задача 3. Стержень массой M и длиной l может свободно вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через его верхний конец. Стержень отклоняют в горизонтальное положение и отпускают. Проходя через вертикальное положение, нижний конец стержня

36

упруго ударяет о малую шайбу массой m . Определить скорость

шайбы после удара.

C

O

C

0

m

Нулевой уровень отсчета потенциальной энергии проведем через центр тяжести стержня С при вертикальном положении стержня. Запишем закон сохранения механической энергии для стержня до удара.

	Mg	l						J 02		,	(1)
						2
2
где J								Ml 2		, 0 - угловая скорость стержня.
						3
			Для описания упругого соударения стержня с шайбой используем
закон сохранения момента импульса
	J 0 J mVl										(2)
и закон сохранения механической энергии
	J 02					J 2				mV 2 .	(3)
						2
2										2
			В уравнении (2) mVl- момент импульса шайбы. Напомним, что
для					материальной точки L pr sin( p,^ r ). У шайбы						r = l,
sin( p,^ r ) 1.
			Перепишем (2) и (3):
	J ( 0 ) mVl ;										(4)
	J ( 02				2 ) mV 2 .						(5)
			Разделив (5) на (4), найдем связь между 0 , и V :
V					0 .						(6)
		l

37

	Подставив (6) и J				Ml	2	в (4), получим
					3
	2Ml 0
V		.				(7)
	M 3m
	Используем (2), тогда (7) примет вид
V	2M	3gl .
	M 3m
			2M
	Ответ:	V			3gl .
			M 3m

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

4.1.Через блок в виде однородного сплошного диска, имеющего массу m = 500 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой

подвешены грузы массами m1 = 100 г и m2 = 120 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением на оси блока пренебречь.

4.2.Вал массой m = 100 кг и радиусом R = 5 см вращается с частотой ν = 8 с-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F = 40 Н, под действием которой вал остановился через время τ = 10 с. Определить момент и коэффициент силы трения.

4.3.За какое время t скатится без скольжения обруч с наклонной

плоскости длиной l = 2 м и высотой h = 10 см?

4.4. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается

вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угла поворота от времени имеет вид φ = А + Bt2 + Сt3 , где В = 4 рад/с2, С = - 1 рад/с3.

Найти закон изменения момента сил, действующего на шар. Определить момент сил спустя время τ = 2 с после начала движения шара.

4.5.Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой m = 40 г вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с2 вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню: 1) через его середину, 2) через один из его концов. Определить вращающий момент для этих случаев.

4.6.Два тела массами m1 = 0,25 кг и m2 = 0,15 кг связаны тонкой нитью, перекинутой через блок. Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой

m1. С каким ускорением движутся тела? Коэффициент трения тела массой m1 о поверхность стола μ = 0,3. Масса блока m0 = 0,1 кг, и ее

38

можно считать равномерно распределенной по объему блока. Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь.

4.7.Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур,

кконцам которого подвесили грузы массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,5 кг. Определить силы натяжения шнура Т1 и Т2 по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

4.8.Маховик в виде однородного диска массой m = 100 кг и радиусом R = 40 см вращался с частотой n = 480 об/мин. Определить момент тормозящей силы, если после начала действия этой силы маховик остановился через время τ = 80 с.

4.9.На шкив радиусом R = 10 см намотана нить, к концу которой привязан груз массой m = 2 кг. Груз опускается со скоростью, меняющейся по закону V = 2 – 8 t (м/с). Найти момент инерции шкива относительно оси вращения. Трением пренебречь.

4.10.Однородный сплошной цилиндр массой m0 = 5 кг и радиусом R = 20 см может без трения вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. На цилиндр намотан тонкий нерастяжимый шнур,

ккоторому прикреплён груз массой m1 = 3 кг. Найти угловое ускорение цилиндра и расстояние, пройденное грузом массой m1 за первые две секунды движения.

4.11.Через блок в виде однородного сплошного диска массой

m0 = 3 кг, радиусом R = 10 см перекинута невесомая нить, к концам которой привязаны грузы массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг. Определить угловое ускорение блока. Трением на оси блока и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

4.12. Маховик, момент инерции которого J = 69,6 кг м2, вращается с угловой скоростью ω = 31,4 рад/с. Найти тормозящий момент М, под действием которого маховик останавливается через время τ = 20 с.

4.13.Через блок перекинута невесомая нить, к концам которой

привязаны два груза. Груз массой m2 = 5 кг поднимается со скоростью, меняющейся по закону V = 5 + 0,8 t (м/с), груз массой m1 опускается. Момент инерции блока J = 0,05 кг м2, его радиус R = 0,2 м. Найти массу опускающегося груза m1. Трением пренебречь.

4.14.На цилиндр радиусом R = 40 см намотана нить, к концу которой подвешен груз массой m. Груз начал опускаться и за t = 4 с

прошел путь h = 2 м. Какова масса груза? Момент инерции цилиндра

Jц = 1,53 кг м2.

39

4.15.На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к которому

привязан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2,04 м/с2.

4.16.Вал массой m = 150 кг и радиусом R = 6 см вращался, делая 9 оборотов в секунду. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F = 50 Н, и через t = 10 с вал остановился. Определить коэффициент трения .

4.17. Колесо (обруч и	2 стержня) пустили со скоростью
V0 = 2 м/с. За какое время	колесо остановится под действием

тормозящей силы F = 5 Н? Масса обруча m1 = 3 кг, масса одного
стержня m2 = 3 кг.		радиусом	R = 20 см	с моментом	инерции
4.18. На	барабан
J = 0,1 кг м2	намотан	шнур, к	которому	привязан груз	массой

m = 0,5 кг. До начала вращения барабана груз находился на высоте h = 1 м над полом. За какое время t груз опустится до пола?

4.19. Угол поворота стержня вокруг оси, проходящей через его центр, задан уравнением φ = At + Bt3, где B = 0,2 рад/с3, А = 2 рад/с. Определить вращающий момент М, действующий на стержень спустя время τ = 2 с после начала движения. Момент инерции стержня

J= 0,048 кг м2.

4.20.Блок, имеющий форму диска массой m = 0,4 кг, вращается под действием сил натяжения нити, к концам которой подвешены

грузы массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,7 кг. Определить силы натяжения нити Т1 и Т2 по обе стороны блока.

4.21.К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М = 2 Н м. Определить

массу m диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно ε = 12 рад/с2.

4.22.При торможении частота вращающегося колеса

уменьшилась от n1 = 300 об/мин до n2 = 180 об/мин за время t = 1 мин. Определить момент силы торможения. Момент инерции колеса

J = 2 кг м2.

4.23. В медном диске радиусом R = 5 см и толщиной h = 1 мм сделаны симметрично относительно его центра два круглых выреза радиусом г = 2 см каждый, причем их центры удалены от центра диска на расстояние а = 2,5 см. Определить момент инерции диска с вырезами относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Плотность меди ρ = 8,9 г/см3.

40