Физика ИДЗ 1 (ч.1)

4.24.Определить момент инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии, масса муфты m = 2 кг, внутренний радиус r = 3 см, внешний - R = 5 см.

4.25.Определить момент инерции полого шара массой m = 0,5 кг относительно оси, проходящей через центр. Внешний радиус шара

R = 0,02 м, внутренний - r = 0,01 м.

4.26.Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около

вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m1 = 60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль её края и, обойдя его, вернется в исходную точку? Масса платформы m2 = 240 кг. Момент инерции человека рассчитывать так же, как для материальной точки.

4.27. На горизонтальной скамье Жуковского (однородный диск, который может вращаться с малым трением относительно вертикальной оси, проходящей через его центр) стоит человек и держит в руках стержень длиной l = 2,4 м и массой m = 8 кг,

расположенный вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с частотой ν = 1 с-1. С какой частотой будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи J = 6 кг м2.

4.28.На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска

радиусом R = 2 м, стоит человек массой m1 = 80 кг. Масса платформы m2 = 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью ω будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью V = 2 м/с относительно платформы.

4.29.Диск массой m1 = 10 кг с лежащим на его краю шариком массой m2 = 1 кг вращается с частотой n1 = 10 об/мин относительно оси, проходящей через его центр. Шарик перекатывается в центр диска. Найти частоту n2.

4.30.Однородный стержень длиной l = 2 м и массой m = 8 кг

подвешен за один конец и может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. В середину стержня ударилась и застряла в нем пуля массой m1 = 10 г, летевшая со скоростью V = 800 м/с. На какой угол отклонился стержень?

4.31. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой n = 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в вытянутых руках гири. Какой станет частота вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой

41

момент инерции от J1 = 2,94 кг м2 до J2 = 0,98 кг м2? Считать платформу круглым однородном диском.

4.32. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна E = 1000 Дж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 80 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения M.

4.33.Маховик, момент инерции которого равен J = 4,0 кг м2, начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М = 20 Н м. Вращение продолжалось в течение времени t = 10 с. Определить кинетическую энергию, приобретенную маховиком.

4.34.Тонкий прямой стержень длиной l = 1 м прикреплен к

горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол = 600 от вертикали и отпустили. Определить линейную скорость V нижнего конца стержня в момент прохождения через положение равновесия.

4.35.Однородный стержень длиной l = 85 см подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую наименьшую скорость V надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?

4.36.Горизонтально летевшая пуля попала вертикальный

однородный стержень массой m = 210 кг и длиной l = 1 м и застряла в нем. Стержень может свободно вращаться вокруг точки закрепления верхнего конца в шарнире. Пуля имела импульс Р = 3 кг м/с и попала в стержень на расстоянии l = 20 см от точки закрепления стержня. Найти угловую скорость , которую приобретет стержень с пулей.

4.37. На какой угол надо отклонить однородный стержень,

подвешенный на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня, чтобы нижний конец стержня при прохождении им положения равновесия имел скорость V = 5 м/с? Длина стержня

l= 1 м.

4.38.Платформа в виде диска вращается по инерции около

вертикальной оси с частотой n1 = 14 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота вращения

возросла до n1 = 25 об/мин. Масса человека m = 70 кг. Определить массу платформы M. Момент инерции человека рассчитывать так же, как и для материальной точки.

4.39. Маховик в виде сплошного однородного диска массой m = 80 кг и радиусом R = 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу требуется совершить, чтобы привести диск во вращение с

42

частотой n = 10 об/с? Какую работу пришлось бы совершить при этом, если бы диск при той же массе имел вдвое больший радиус?

4.40.Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какие угловую и линейную V скорости будет иметь

вконце падения: 1) середина карандаша; 2) верхний его конец? Нижний конец карандаша не проскальзывает.

4.41.Определить линейную скорость V центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 1 м.

4.42.Однородный диск вкатывается в горку с начальной

скоростью V0 = 12 км/ч. Определить угол наклона горки , если до полной остановки диск пройдет по горке расстояние l = 2 м.

4.43. Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После выключения он сделал до остановки N = 75 оборотов. Работа сил торможения равна A = 44,4 Дж. Найти: 1) момент инерции вентилятора J; 2) момент силы торможения M.

4.44. Какой путь пройдет катящийся без скольжения диск, поднимаясь вверх по наклонной плоскости с углом наклона = 300, если ему сообщена начальная скорость V = 7 м/с, направленная вдоль наклонной плоскости?

4.45.Диск массой m1 = 5 кг и радиусом R = 5 cм, вращающийся с частотой n = 10 об/мин, приводится в сцепление с неподвижным

диском массой m2 = 10 кг такого же радиуса. Определить энергию, которая пойдет на нагревание дисков, если при их сцеплении скольжение отсутствует. Диски имели общую ось вращения после сцепления.

4.46.Диск радиусом R = 10 см и массой m = 2 кг вращается с частотой ν = 2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить частоту вращения диска вдвое?

4.47.Шарик массой m = 60 кг, привязанный к концу нити длиной

l1	= 1,2 м, вращается в горизонтальной плоскости с частотой
n1	= 2 об/с. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до
расстояния l2 = 0,6 м. С какой частотой n2 будет при этом вращаться

шарик? Какую работу совершает внешняя сила, укорачивая нить?

4.48.Шар и диск, двигаясь с одинаковой скоростью, вкатываются вверх по наклонной плоскости. Какое из тел поднимается выше? Найти отношение высот подъема.

4.49.Маховик вращается с частотой n = 10 об/с, его кинетическая энергия равна Т = 7,85 кДж. За какое время t вращающий момент

М= 50 Н м, приложенный к этому маховику, увеличит угловую скорость маховика в два раза?

43

4.50. Колесо начинает вращаться с постоянным угловым ускорением ε = 0,5 рад/с и через время t1 = 15 с после начала движения приобретает момент импульса L = 73,5 кг м2/с. Найти кинетическую энергию колеса через t2 = 20 с после начала вращения.

5. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Уравнения гармонических колебаний: x Acos t 0 ,

где x - смещение точки от положения равновесия, A- амплитуда,t 0 - фаза колебаний в момент времени t, - циклическая

частота, 0 - начальная фаза.

2 v 2T ,

где v и T - частота и период.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки:

mx kx, или x 02 x 0,

где 02 km , m- масса точки, k- коэффициент квазиупругой силы.

Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания,

E 21 m 2 A2 21 kA2 .

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),

T 2 mk ,

где m - масса тела, k- жесткость пружины. Период колебаний математического маятника

T 2 gl ,

где l - длина нити, g- ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

T 2 mgaJ ,

44

где J - момент инерции тела относительно оси колебаний, a- расстояние центра масс маятника от оси колебаний.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

mx kx rx,				или		x 2 x 02 x 0 ,
где	r	-	коэффициент сопротивления, - коэффициент затухания,
	c	,	0		k	- собственная циклическая частота колебаний.
	2m				m

Уравнение затухающих колебаний (частное решение дифференциального уравнения):

x A0e t cos( t 0 ) A(t)cos( t 0 ),

где A0- амплитуда колебаний в момент времени t=0,

A(t) - амплитуда затухающих колебаний в момент времени t. Декремент затухающих колебаний

	D	A(t)	e T .
		A(t T )

Логарифмический декремент колебаний ln D T,

где T - период.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Математический маятник длиной l1=40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l2=60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние a центра масс стержня от оси колебаний.

При синхронном колебательном движении маятников их периоды равны T1 T2 ,

где T			2		l1	,	T	2	J	.
	1				g		2		mga
		Отсюда
l		J		.				(1)
1		ma

Момент инерции физического маятника определяется по теореме Штейнера:

J J0 ma	2		ml22	ma	2	.	(2)
			12

Подставив (2) в (1), получим квадратное уравнение

45

12a2 12l1a l22

0.

(3)

Из (3) найдем два корня: a1=10 см, a2=30 см.

Таким образом, при одном и том же периоде колебаний физического маятника возможны два варианта расположения оси.

Величину (1) называют приведенной длиной физического маятника.

Ответ: a1=10 см, a2=30 см.

Задача 2. Найти уравнение, связывающее модуль импульса Px и координату x одномерного гармонического осциллятора. Масса осциллятора m1, циклическая частота , амплитуда колебаний A.

Запишем уравнение гармонических колебаний

x Acos( t 0 ).

(1)

Тогда

Px

mx Am sin( t 0 ).

(2)

Выразим из (1) cos( t 0 ),

а из (2) sin( t 0 ) ,

cos( t 0 )

x

;

(3)

A

Px

sin( t 0 )

.

(4)

Am

Возведем (3) и (4) в квадрат и сложим. Учитывая, что

cos2 ( t 0 ) sin2 ( t 0 ) 1,

получим

x2

P2

1 - уравнение эллипса.

x

2

2 2

2

A

A m

Ответ:

x2

P2

1 .

x

2

2 2

2

A

A m

Задача 3. Математический маятник совершает малые колебания в среде, в которой коэффициент затухания 0,9 c 1 . Определить

время , по истечении которого амплитуда маятника уменьшится в

пять раз.

Вследствие трения колебания маятника будут затухающими:

0e t sin t,

где - угол отклонения нити маятника от вертикали в момент времени t, при t=0, =0.

46

A(t) 0e t .					(1)
Запишем (1) для моментов времени t и t t :
A (t)	0	e t	, A (t )	0	e (t ) .
1			2
Отношение амплитуд					(2)
A1 e t	5 .
Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по
экспоненциальному закону

A2

Логарифмируя (2), найдем

ln 5 1,79 c .

Ответ: =1,79 с.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

5.1.Под действием грузика пружина растянулась на x = 9 см. Определить период собственных колебаний T этой системы.

5.2.Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение их периодов Т1/ Т2 = 1,5.

5.3.Математический маятник установлен в лифте, который поднимается с ускорением a = 2,5 м/с2. Определить период T собственных колебаний маятника. Его длина равна 1 м.

5.4.Лифт, в котором колеблется математический маятник, опускается с ускорением a = 3 м/с2. Определить период колебаний T маятника. Его длина равна 1 м.

5.5.Грузик массой m подвешен к двум пружинам, соединённым "последовательно". Определить частоту колебаний груза. Коэффициенты жесткости пружин равны k1 и k2.

5.6.Грузик массой m подвешен к двум пружинам, соединенным "параллельно". Определить частоту колебаний груза. Коэффициенты жесткости пружин равны k1 и k2.

5.7.Медный шарик, подвешенный к пружине, свободно колеблется. Как изменится период колебаний этой системы, если вместо медного подвесить алюминиевый шарик таких же размеров?

5.8.На стержне длиной l = 30 см закреплены два одинаковых

грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Эта система может свободно вращаться около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определять период

47

собственных колебаний T этого физического маятника. Массой стержня пренебречь.

5.9.На стержне длиной l = 30 см и массой m = 1 кг, закреплены два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Эта система может свободно вращаться около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определять период собственных колебаний T этого физического маятника.

5.10.Диск радиусом R = 20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно его плоскости. Определить частоту собственных

колебаний этого физического маятника.

5.11.Однородный стержень массой m и длиной l может

свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Определить частоту собственных колебаний стержня.

5.12.Однородный стержень массой m, длиной l может свободно

вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей на расстоянии l/4 от одного из его концов. Определить период колебаний этого физического маятника.

5.13.На горизонтальном столе лежит шар массой 200 г, прикрепленный к горизонтально расположенной пружине жесткостью 500 Н/м. В шар попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 300 м/с, и застревает в нем. Определить амплитуду и период колебаний шара. Перемещением шара во время удара, сопротивлением воздуха и трением между поверхностью шара и стола пренебречь.

5.14.Однородный стержень массой 0,5 кг и длиной l м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В противоположный конец стержня попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 300 м/с, и застревает

внем. Определить амплитуду и период колебаний стержня.

5.15.Однородный стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 1/4 от одного из его концов. В противоположный конец попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 200 м/с, и застревает в нем. Определить амплитуду и период колебаний стержня. Масса стержня 0,5 кг, длина 1 м.

5.16.За 5 мин амплитуда математического маятника уменьшилась в 2 раза. За какой промежуток времени его амплитуда уменьшится в 8 раз?

48

5.17.Математический маятник длиной 1 м колеблется в воздухе. За 10 мин его амплитуда уменьшилась в 2 раза. Определить логарифмический декремент затухания.

5.18.Грузик массой m, подвешенный к пружине жесткостью k, колеблется в среде. Логарифмический декремент затухания равен 9. За какой промежуток времени амплитуда уменьшится в 2 раза? Сколько полных колебаний совершит тело за это время?

5.19.Два последовательных максимальных отклонения

математического маятника длиной l от вертикали равны φ1 и φ2, φ2 <φ1 <<1. Вычислить логарифмический декремент затухания и период колебаний маятника.

5.20. Кусок мяса положили на весы. Три последовательных крайних положения стрелки весов были такие: m1 = 560 г, m2 = 440 г,

m3 = 520 г. Какова действительная масса куска мяса? Вычислить логарифмический декремент затухания колебаний стрелки весов.

5.21. Под действием вынуждающей силы Fx F0 cos t груз

массой m, подвешенный на пружине жесткостью k, колеблется. Определить частоту вынуждающей силы, при которой наступит резонанс.

5.22. Чему равна резонансная амплитуда у системы без трения? Имеет ли максимум резонансная кривая при коэффициенте затухания,

равном β ≥ ω0 / 2 ?

5.23. Для трех коэффициентов затухания β1 < β2 < β3 нарисовать
на одном чертеже качественные резонансные кривые.
5.24. Уравнение	движения	системы	имеет	вид

x 2 x 02 x f0 cos t . Вычислить период колебаний системы: 1)

если нет вынуждающей силы и нет силы трения; 2) если система совершает установившиеся вынужденные колебания.

5.25. В	молекуле азота	частота колебаний атомов равна
4,45 1014 Гц,	масса одного атома 2,32 10-26 кг. Найти коэффициент
квазиупругой силы, действующей между атомами.
5.26. Определить период,		частоту и начальную фазу свободных

колебаний, заданных уравнением х = Asinω(t + τ), где ω = 2,5π с-1 , τ = 0,4 с, А - константа.

5.27. Колебания материальной точки заданы уравнением х = Acos(ωt + φ), где А = 2 см, ω = π с-1 , φ = π /4 рад. Построить графики зависимости смещения точки от положения равновесия, ее скорости и ускорения.

49

5.28. Даны амплитуда и период свободных колебаний пружинного маятника: А = 4 см, Т = 2 с. Написать уравнение этих

колебаний. В момент возникновения колебаний х(0) = 0, х (0) < 0.

5.29.Точка равномерно движется по окружности против часовой стрелки с периодом Т = 6 с. Диаметр окружности d = 20 см. Написать уравнение движения проекции точки на ось х. Принять, что в момент времени t=0 х(0) = 0. Найти смещение, скорость и ускорение проекции точки в момент времени t = 1 с.

5.30.Пружинный маятник совершает гармонические колебания. Какие из приведенных выражений для полной энергии колеблющегося тела верны?

kA2		m 2 A2		kx2 mV 2		F A		F
	;		;		;	max	;	max	.
2		2		2		2
								2k

Здесь k - жесткость пружины; A - амплитуда; m - масса тела; ω - циклическая частота; x - смещение тела от положения равновесия; V - скорость; Fmax - максимально упругая сила

5.31. Гармонический осциллятор совершает колебания. Какие из перечисленных величин достигают максимального значения в крайнем положении: скорость, ускорение, упругая сила, кинетическая энергия, потенциальная энергия?

5.32. Колебания	материальной	точки заданы уравнением
х = Acos(ωt), где А =	5 см, ω = 2	с-1. Определить ускорение тела

вмомент времени, когда скорость его будет равна 8 см/с.

5.33.Колебания материальной точки заданы уравнением

х= 7sin0,5πt. За какой промежуток времени она проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?

5.34.Записать уравнение гармонических колебаний

материальной точки, если период колебаний Т = 2 с, максимальное ускорение аmax = 49,3 см/с2, начальное смещение точки от положения равновесия х(0) = 25 мм.

5.35.Для гармонического осциллятора массой m с координатой

х= Acos(ωt + π/4) нарисовать графики зависимостей: T(t), U(t), T(x) U(x). Т, U, E - кинетическая, потенциальная и полная механическая энергия осциллятора.

5.36.Колебания гармонического осциллятора заданы уравнением

х= Asin(ωt + φ0). Выразить через амплитуду А и начальную фазу φ0 значения координаты и скорости в момент времени t = 0.

5.37.Изобразить в моменты времени t0 = 0 и t1 = π /2ω на векторной диаграмме колебания: а) х = Acos(ωt + π/4), б) х = 2Acos(ωt- -π/6). Константа А > 0.

50