4.1 Компонента η

Y	8.1207 – 8.7601	8.7601 – 9.3995	9.3995 – 10.0390	10.0390 – 10.6784	10.6784 – 11.3178	11.3178 – 11.9573	11.9573 – 12.5967	12.5967 – 13.2361
	5	8	33	34	27	18	1	4

Выборочное среднее

Выборочная дисперсия

Исправленная выборочная дисперсия

Среднеквадратичное отклонение

Исправленное среднеквадратичное отклонение

Выборочный начальный k-ый момент

Выборочные начальные моменты порядка 2, 3, 4.

Выборочный центральный k-ый момент

Выборочные центральные моменты порядка 3, 4.

Выборочный коэффициент асимметрии

Выборочный коэффициент эксцесса

Мода

где левая граница модального интервала,- численность модального интервала,- численности интервалов слева и справа от модального.

Модальным называется интервал, имеющий наибольшую численность.

Медиана

где n – объем выборки, h – длина интервала группировки, левая граница медианного интервала,- численность медианного интервала,- численностиi-го интервала

Медианным называется интервал, в котором накопленная сумма частот впервые достигает 0.5.

Квантиль

где - левая граница квантильного интервала, - численность квантильного интервала,- численности интервалов, предшествующих квантильному.

Квантильным порядка q интервалом называется интервал, в котором сумма накопленных частот впервые достигает значения q.

Выборочные квантили порядка 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9.

4.3 Характеристики связи:

Выборочная ковариация

Выборочный коэффициент корреляции

Выборочные уравнения линейной регрессии

Y на X

X на Y

Выборочные корреляционные отношения

X по Y

Y по X

5. Статистическое оценивание параметров

Метод моментов

Приравнивая выборочные и теоретические моменты, получаем уравнения относительно θ. Решая эти уравнения, получаем оценку параметров . Эта оценка называется оценкой метода моментов.

Метод максимального правдоподобия

Функция правдоподобия:

Оценка , обеспечивающая по параметру θ максимум функции правдоподобия, называется оценкой максимального правдоподобия параметра θ.

Вместо отыскания максимума функции L часто удобнее находить максимум функции и решать уравнение правдоподобия

В результате решения уравнения правдоподобия мы найдем критическую точку, необходимо убедиться, что это точка максимума.

Функция правдоподобия для ξ:

Матрица отрицательно определена, т.к. главные миноры чередуют знак, первый минор отрицательный, а второй положительный в точке

Несмещенность

Оценка называется несмещенной оценкой параметра θ, если

- несмещенная оценка

- смещенная оценка, асимптотически несмещенная оценка, т.к.

Состоятельность

Оценка называется состоятельной оценкой параметра θ, если

Теорема: и , то- состоятельная оценка

- состоятельная оценка

Теорема: и , то- состоятельная оценка

–состоятельная оценка

Оптимальность

Оценка называется оптимальной оценкой параметра θ, если

или

где множество несмещенных оценок θ

Так как - эффективная оценка, то она является и оптимальной.

Так как - неэффективная оценка, то она не является и оптимальной.

Эффективность

Несмещенная оценка в регулярной модели называется эффективной, если

- эффективная оценка

Т.к. – смещенная оценка, то она не может быть эффективной (по определению: эффективная оценка вводиться только для несмещенных оценок).

Достаточность

Статистика называется достаточной для параметра θ, если условное распределение (плотность или вероятность) случайной величины (выборки) при условиине зависит от параметра θ.

Пусть - выборка из нормального распределения. Найдем достаточную статистику для двумерного параметра.

Для этого используем теорему факторизации:

Теорема. Для того, чтобы статистика Т(х) была достаточной, необходимо и достаточно, чтобы

–достаточная статистика

- эффективная оценка, а значит, является достаточной статистикой

- достаточная статистика, так как получена функция максимального правдоподобия

Нормальность

Оценка асимптотически нормальна для регулярной модели, потому что получена методом максимального правдоподобия.