6. Интервальное оценивание параметров
Две
статистики
называют доверительным интервалом
значимости
для параметра θ
,
если выполняется условие
Число
называется доверительной вероятностью,
а
- нижней и верхней доверительными
границами.
Доверительные интервалы для параметров нормального распределения:
Построим доверительные интервалы для каждого из параметров уровней значимости 0.05 и 0.01 для каждой компоненты. Уровень значимости выражает ошибку доверительного интервала.
1)
Найдем доверительный интервал значимости
для параметра
модели нормального распределения
при известном
В
качестве центральной статистики возьмем
.
Известно, что
.
Поэтому
Зная,
что
, разрешим относительно
.
Получаем доверительный интервал
Значения
для
и
найдем по таблице:
После подстановки и подсчета получаем
Для компоненты ξ:
Для компоненты η:
2)
Найдем доверительный интервал значимости
для параметра
модели нормального распределения
при неизвестном
.
Получаем доверительный интервал
Зная,
из таблицы, что для
и
После подстановки и подсчета получаем
Для компоненты ξ:
Для компоненты η:
3)
Найдем доверительный интервал значимости
для параметра
модели нормального распределения
при неизвестном
В
качестве центральной статистики возьмем
.
Известно, что
.
Поэтому
Зная,
что
, разрешим относительно
.
Получаем доверительный интервал
Значения
для
и
найдем по таблице:
После подстановки и подсчета получаем
Для компоненты ξ:
Для компоненты η:
4)
Найдем доверительный интервал значимости
для параметра
модели нормального распределения
при известном
.
Получаем доверительный интервал
Зная,
из таблицы, что для
и
После подстановки и подсчета получаем
Для компоненты ξ:
Для компоненты η:
7.Проверка гипотез
Проверка гипотезы о параметрах
Для компоненты ξ
Статистика:
.
т.е.
z
не попадает в критическую область, то
с уровнем значимости
нулевая
гипотеза
не отвергается.
Данная выборка может быть взятой из совокупности с математическим ожиданием 8.4.
Статистика:
.
т.е.
z
не попадает в критическую область, то
с уровнем значимости
нулевая
гипотеза
не отвергается.
Данная выборка может быть взятой из совокупности с дисперсией 9.
Для компоненты η
Статистика:
.
т.е.
z
не попадает в критическую область, то
с уровнем значимости
нулевая
гипотеза
не отвергается.
Данная выборка может быть взятой из совокупности с математическим ожиданием 10.4.
Статистика:
.
т.е.
z
не попадает в критическую область, то
с уровнем значимости
нулевая
гипотеза
не отвергается.
Данная выборка может быть взятой из совокупности с дисперсией 1.
Замечание при проверке: надо нарисовать – на графиках схематически изобразить критические области, а то непонятно, как они выбраны.
Проверка гипотезы о виде распределения для каждой компоненты.
Статистической гипотезой называется любое утверждение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин.
Правило, согласно которому проверяют гипотезу H0 (принимают или отвергают), называется статистическим критерием проверки гипотезы Н0
Для проверки гипотезы о виде распределения воспользуемся критерием согласия χ2 Пирсона. Уровень значимости примем α = 0,05. Выдвигаются две гипотезы:
Статистика:
где k – число интервалов группировки (k = 8)
-
число значений выборки, попавших в i
– ый интервал
п = 130 – объем выборки
-
теоретическая вероятность попадания
в i
– ый интервал, рассчитанное на основе
предполагаемого распределения.
Известно,
что
r
- число оцениваемых параметров
Результаты вычислений приведены в таблицах:
Для компоненты ξ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0914 |
-2.5964 |
0.0048 |
0.02392 |
3.1096 |
4 |
0.8904 |
0.7928 |
0.2550 |
|
3.0348 |
-1.9148 |
0.02872 |
0.08063 |
10.4819 |
10 |
-0.4819 |
0.2322 |
0.0222 |
|
4.9783 |
-1.2331 |
0.10935 |
0.18181 |
23.6353 |
24 |
0.3647 |
0.1330 |
0.0056 |
|
6.9217 |
-0.5514 |
0.29116 |
0.26001 |
33.8013 |
30 |
-3.8013 |
14.4499 |
0.4275 |
|
8.8652 |
0.1303 |
0.55117 |
0.23986 |
31.1818 |
36 |
4.8182 |
23.2151 |
0.7445 |
|
10.8087 |
0.8120 |
0.79103 |
0.14086 |
18.3118 |
18 |
-0.3118 |
0.0972 |
0.0053 |
|
12.7521 |
1.4936 |
0.93189 |
0.0531 |
6.9030 |
5 |
-1.9030 |
3.6214 |
0.5246 |
|
14.6956 |
2.1753 |
0.98499 |
0.01282 |
1.6666 |
3 |
1.3334 |
1.7780 |
1.0668 |
|
16.6390 |
2.8570 |
0.99781 |
|
|
|
|
|
Z=3.0515 |
Получили Z=3.0515;
1-α=0,95 (т.е. на уровне значимости α=0,05) и числа степеней свободы ν = k-0-1 = 7 (так как при подсчете функции распределения использовали теоретические параметры).
,
т.е.
критической области, т.е. гипотезаН0
о нормальном распределении не отвергается,
т.е. эмпирическая функция для ξ совпадает
с нормальным N(8.4,
3)
Для компоненты η
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.1207 |
-2.5045 |
0.00621 |
0.02817 |
3.6621 |
5 |
1.3379 |
1.7900 |
0.4688 |
|
8.7601 |
-1.8202 |
0.03438 |
0.09486 |
12.3318 |
8 |
-4.3318 |
18.7645 |
1.5116 |
|
9.3995 |
-1.1358 |
0.12924 |
0.19711 |
25.6243 |
33 |
7.3757 |
54.4010 |
2.1130 |
|
10.0390 |
-0.4515 |
0.32635 |
0.2646 |
34.3980 |
34 |
-0.3980 |
0.1584 |
0.0046 |
|
10.6784 |
0.2329 |
0.59095 |
0.22764 |
29.5932 |
27 |
-2.5932 |
6.7247 |
0.2172 |
|
11.3178 |
0.9173 |
0.81859 |
0.12661 |
16.4593 |
18 |
1.5407 |
2.3738 |
0.1142 |
|
11.9573 |
1.6016 |
0.9452 |
0.0435 |
5.6550 |
1 |
-4.6550 |
21.6690 |
3.8218 |
|
12.5967 |
2.2860 |
0.9887 |
0.00981 |
1.2753 |
4 |
2.7247 |
7.4240 |
5.8114 |
|
13.2361 |
2.9704 |
0.99851 |
|
|
|
|
|
Z=14.0626 |
Получили Z=14.0626;
,
т.е.
критической области, т.е. гипотезаН0
о нормальном распределении не отвергается,
т.е. эмпирическая функция для η совпадает
с нормальным N(10.4,
1)