71

2.5.2. Метод Эйлера

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с посто- ян-ными коэффициентами записывается в форме

n

yi′ = ∑aik yk +

fi (x)

(i=1,2,…,n)

k=1

или

dy1

= a y + a y

+ + a y + f (x),

dx

11 1

12

2

1n

n

1

dy2

= a21y1 + a22 y2

+ + a2n yn +

f2

(x),

(2.93)

dx

......................................................

dyn

= a

y

+ a

n2

y

2

+ + a

n n

y

n

+

f

n

(x).

n1 1

dx

Если fi (x) = 0

(i =1,2,...,n),

то система называется однородной, в

противном случае – неоднородной.

Рассмотрим решение однородной системы методом, аналогичным тому, который применялся для построения фундаментальной системы решений ли-нейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка.

Будем искать частное решение однородной системы в виде

y =α

1

ek x ,

y

2

=α

2

ek x , ,

y

n

=

α

n

ek x ,

(2.94)

1

где α1, α2 , ,αn ,

k – неизвестные постоянные. Подставляя (2.94) в (2.93)

(при fi (x) = 0 (i =1,2,...,n)),

сокращая на ek x ,

после элементарных преобра-

зований получим

(a

−k)α

1

+ a α

2

+ + a

α

n

= 0,

11

12

1n

a21α1 + (a22 − k)α2 + + a2 n αn = 0,

(2.95)

................................................................

a

n1

α

1

+ a

n2

α

2

+ + (a

n n

− k)α

n

= 0.

Как известно, чтобы система линейных однородных алгебраических уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

72

	a11 − k	a12		a1n
	a21	a22 − k		a2n	= 0.	(2.96)
	..........................................
	an1	an 2	an n − k
Раскрывая этот определитель, получим алгебраическое уравнение n-ой
степени относительно k. Уравнение (2.96)				называется характеристическим

или вековым уравнением, а его корни – корнями характеристического уравнения или собственными значениями. Если все корни ki (i=1,2,...,n) этого уравнения действительные и различные числа (ограничимся только этим случаем), то последовательно подставляя их в систему (2.95), найдем соответствующие этим корням не известные числа α1i , α2i , ,αn i (здесь

второй индекс i = 1,2, ..., n соответствует номеру корня) и затем из (2.94) n частных решений системы дифференциальных уравнений в виде

y

=α

1i

eki t , y

2i

=α

2i

e k i t , ,

y

ni

=α

ni

e k i t.

(2.97)

1i

При этом первый индекс указывает номер неизвестной функции, а вто рой - номер корня. Полученные таким образом n частных решений линейной однородной системы

y

(x)

y

(x)

y

(x)

11

12

1n

y21(x)

y22 (x)

y2n (x)

Y

Y

, ,Y

1

(x) = .

,

2

(x) = .

n

(x) = .

.

.

.

.

.

.

yn1

(x)

yn 2

(x)

yn n (x)

образуют фундаментальную систему решений этой системы. Следовательно, общее решение однородной системы дифференциаль-

ных уравнений запишется в виде

Y (x)=C1Y1(x)+C 2 Y 2 (x)+…+C n Y n (x)

или

73

y1(x) = C1y11(x)+C2 y12 (x)+ +Cn y1n (x),

y2 (x) = C1y21(x)+C2 y22 (x)+ +Cn y2 n (x),

……………………………………………….

yn (x) = C1yn1(x)+C2 yn 2 (x)+ +Cn yn n (x),

где C1, C2 ,…,Cn - произвольные постоянные. Пример. Решить методом Эйлера систему

y1′ = −4y1 + y2 ,y2′ = −2 y1 − y2 .

Принимаем

y =α	1	e k x,	y	2	=α	2	e k x .
1

Подставляя (2.99) в (2.98), получим систему

(−4−k)α1 +α2 = 0,−2α1 +(−1−k)α2 = 0.

Характеристическое уравнение системы будет

−4−k	1
		= 0.
−2	−1−k

(2.98)

(2.99)

(2.100)

Следовательно,	(−4− k)(−1− k)+ 2 = 0 или k 2 +5k + 6 = 0 .
Корни уравнения k1 = −2 , k2 = −3 - действительны и различны.
Подставляя	k1 = −2 в (2.100), получим
	− 2α1 +α2	= 0,	(2.101)
		= 0.
	− 2α1 +α2

Система (2.101)	совместная, но неопределённая. Полагая α1 =α11 =1,
находим α2 =α21 = 2.		Поэтому
	y		= e−2 x ,					y	21	= 2e−2 x .	(2.102)
	11
Подставляем теперь в систему (2.100)								k2 = −3. Получим
			−α		1	+α	2	= 0,			(2.103)
			−	2α1 + 2α2 = 0.
Решение этой системы принимаем в виде α1 =α12 =1,											α2 =α22 =1. При
этом

74

y	= e−3 x ,	y	22	=e−3 x .	(2.104)
12

Общее решение однородной системы (2.98) запишется в виде

y		(x) = C y			(x)+C		2		y			(x) = С e−2 x +C		2	e−3 x ,
1		1	11							12			1
y	2	(x) = C y		21		(x)+C		2		y	22		(x) = 2С e−2 x +C			2	e−3 x .	(2.105)
		1											1

2.5.3. Метод вариации произвольных постоянных

Этот метод применим к решению систем неоднородных линейных уравнений n-го порядка. Ограничимся для простоты нормальной системой двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами

dy1		= a y	+ a y	2	+ f	1	(x),
		11 1	12				(2.106)
dx
dy2		= a21y1 + a22 y2 + f2 (x).
dx

Пусть общее решение однородной системы уравнений известно:

	y10	= C1y11	+C2 y12	,	(2.107)
	y20 = C1y21 +C2 y22 ,

где С1, C2 - произвольные постоянные, а y11, y21, y12 , y22 - частные решения однородной системы, соответствующие различным корням характеристического уравнения.

В соответствии с методом вариации частное решение неоднородной системы отыскивается в форме, аналогичной по структуре общему решению однородной системы, но произвольные постоянные в (2.107) заменяются неизвестными функциями, то есть принимается

y1 = C1(x) y11 +C2 (x) y12,
y2 = C1(x) y21 +C2 (x) y22 .	(2.108)

Подстановка (2.108) в (2.1 06) приводит к следующей системе двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно производных

от неизвестных функций	C1(x), C2 (x):
C′(x) y +C′				(x) y	=	f	1	(x),	(2.109)
	1	11	2	12
C1′(x) y21 +C2′(x) y22 = f2 (x).

Разрешая систему (2.109) по формулам Крамера, получим два дифференциальных уравнения первого порядка