6

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Если производные от неизвестной функции, входящие в уравнение, берутся только по одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Уравнения, содержащие производные по нескольким независимым переменным, называются дифференциальными уравнениями в частных производных . В данном пособии будут рассмат-

риваться только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок наивысшей (старшей) производной, входящей в дифференци-

альное уравнение, определяет порядок дифференциального уравнения.

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем виде записывается так:

′	′′	, , y	(n)	) =	0 ,		(1.1)
F(x, y, y , y
где y(x) −неизвестная функция, x – независимая переменная,						y (x), y (x),
						′	′′

,y(n)(x) - производные от неизвестной функции.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет

вид

F(x, y, y ) = 0 .	(1.2)
′

Обычно обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано или в форме, разрешенной относительно производной

y′ = f (x, y)	(1.3)
или в форме, содержащей дифференциалы
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 .	(1.4)

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрирова-

7

нием дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Отличительное свойство дифференциальных уравнений состоит в том, что при их интегрировании обычно получается бесчисленное множество решений. Для уравнения первого порядка это множество описывается одной произвольной постоянной. Чтобы выделить из бесконечного множества решений то, которое описывает именно данный процесс, необходимо задать до-

полнительную информацию, например,			знать			начальное состояние процес-
са. Такое дополнительное условие называется						начальным условием. Оно
ставится так: требуется,	чтобы	при некотором начальном значении незави-
симой переменной x = x0	искомая функция равнялась заданному числу y0 :
	y(x0 ) = y0 или		y		x=x0	= y0 .	(1.5)
Задача интегрирования		дифференциального					уравнения первого

порядка совместно с начальным условием называется начальной задачей или задачей Коши.

Для дифференциальных уравнений первого порядка различают общее, частное и особое решения, а также общий, частный и особый интегралы.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, называется такое семейство функций y =ϕ(x,C), зависящих от x и произвольной постоянной C, что

1) при любом допустимом значении постоянной C функция

y=ϕ(x,C) является решением уравнения;

2)каково бы ни было начальное условие (1.5), можно подобрать такое значение постоянной C0 , что решение y =ϕ (x,C0 ) будет yдовлетворять ус-

ловию ϕ (x0 ,C0 ) = y0 .

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение, которое получается из общего при каком-либо конкретном значении произвольной постоянной C = C0 , то есть функция вида

y =ϕ (x,C0 ).

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.

8

Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной.

Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается найти общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида

Ф (x, y,C) = 0,

(1.6)

содержащее решение y в неявной форме. Такое соотношение называется об-

щим интегралом дифференциального уравнения. Частным интегралом на-

зывается соотношение, которое получается из общего интеграла при конкретном значении произвольной постоянной.

Геометрически общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка изображается семейством интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра C. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через начальную точку (x0 , y0 ).

1.2. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной y′ = f (x, y). Задавая координаты x,y произвольной точки на плоскости, можно определить значение производной в этой точке y′, то есть найти направление касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Поэтому говорят, что дифференциальное уравнение первого порядка определяет поле направлений на плоскости. В каждой точке плоскости известно направление касательной к интегральной кривой, проходящей через данную точку. Геометрическое место точек, в которых касательные к интегральным кривым имеют одинаковый наклон, то есть выполняется соотношение y′ = C = const, называется изоклиной данного дифференциального уравнения.

Уравнение изоклины, соответствующей значению C, будет, очевидно, f (x, y) = C . Построив семейство изоклин, можно приближенно найти семейство интегральных кривых данного уравнения.

9

Знание изоклин позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений получить графическое решение задачи Коши и выявить характер интегральных кривых.

Пример. Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения

y′ = x2 + y2 ,

проходящую через заданную точку M(0;1).

Уравнение изоклин получим, полагая y′ = C . Следовательно,

x2 + y2 = C или x2 + y2 = C 2 .

Таким образом, изоклинами данного уравнения являются концентрические окружности с центром в начале координат, причем угловые коэффициенты касательных к искомым интегральным кривым равны радиусам этих окружностей С. Для построения поля направлений даем постоянной С различные определенные значения: C = 0,5; 1; 1,5; 2,... Для изоклины, соответствующей, например, C=1, y′ =1, следовательно, окружность радиуса C=1 интегральные кривые пересекают под одним и тем же углом, составляющим 450 с положительным направлением оси OX. Поле направлений на плоскости изображается штрихами. После этого уже можно приближенно провести искомые интегральные кривые, в частности, через заданную точку (см.рис. 1).

Рис. 1.