97
												F(p) =									p − 2						.
																		p2 + 6 p +16
	p − 2		=					p − 2							=						p + 3									−				5							=
																	(p + 3)2 + (											)2								(			)2
p2 + 6 p +16					(p + 3)2 + (									)2																	(p + 3)2 +
													7													7												7
	p + 3							5																										5
																7						•			−3t										7			−3t
=							−																=•	e					cos			7 t −					e			sin 7 t.
	(p + 3)2 + (					)2						(p + 3)2 + (									)2													7
									7
				7																7

При практическом применении преобразования Лапласа для нахождения оригинала по его изображению часто пользуются справочными таблицами соответствия между оригиналами и их изображениями [8]. Если необходимая функция в таблице отсутствует, то используют свойства преобразования Лапласа для приведения заданной функции к табличному виду.

3.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений операционным методом

Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y′′+ a1y′+ a2 y = f (t)			(3.27)
и заданы начальные условия	, y (0)	= y1,	(3.28)
y(0) = y0
	′

то есть сформулирована задача Коши.

Операционный метод решения дифференциальных уравнений базируется на том, что искомая функция y(t) и правая часть f (t) рассматриваются как оригиналы, и к уравнению (3.27) применяются теоремы дифференцирования оригинала и линейности.

Пусть y(t)• =• Y (p),		f (t)• =• F(p) ,		тогда
y′(t)• =• pY (p) − y0 ,			y′′(t)• =•	p2Y (p) − py0 − y1.			(3.29)
Применяя к уравнению (3.27) теорему линейности, с учетом							соотно-
шений (3.29) получим
p2Y (p)+ a pY (p)	+ a		Y (p)−(p + a ) y		0	− y = F(p).	(3.30)
1		2	1			1

98

Алгебраическое уравнение ( 3.30) называется изображающим или операторным уравнением. Разрешая его относительно Y (p), найдем изображение искомого решения

Y (p) =	F(p)		+	(p + a1)y0 + y1		.
	p2 + a p + a	2		p2 + a p + a	2
	1			1

Далее следует выполнить обратное преобразование Лапласа методами, указанными выше, и найти соответствующий изображению Y (p) оригинал y(t), который и будет решением задачи Коши (3.27)- (3.28).

Замечание. Достоинство операционного метода решения по сравнению с классическим методом решения неоднородных дифференциальных уравнений состоит в том, что начальные условия автоматически (естественным образом в процессе преобразований) входят в изображающее уравнение. Поэтому после выполнения обратного преобразования Лапласа сразу получается частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Следовательно, при операционном методе не надо искать произвольные постоянные.

Недостаток метода - трудность обращения преобразования Лапласа, особенно в случае сложной правой части или уравнений высокого порядка.

Пример. Решить операционным методом уравнение

y′′+ y = 2cost

y (+0) = −1.

при заданных начальных условиях

y(+0) = 0 ,

′

Пусть

y(t)• =• Y (p),

cost • =•

p

.

p2 +1

С учетом начальных условий y′(t)• =•

pY (p),

y′′(t)• =• p2Y (p) +1.

Изображающее уравнение примет вид

2

2 p

p Y (p) +1

+Y (p) =

.

p2 +1

Следовательно,

Y (p) =

2 p

−

1

= Y (p)−Y (p).

(p2 +1)2

p2 +1

1

2

где

99

Y	(p) =	2 p		,	Y	(p) =	1	.
1		(p2 +1)	2		2		p2 +1

Для оригинала, соответствующего изображению Y1(p), воспользуемся теоремой дифференцирования изображения:

Y1(p) = (p22+p1)2 = − p21+1 ′• =• t sint.

Изображение Y2 (p), является табличным. Ему соответствует оригинал sint . Следовательно, решение задачи Коши примет вид

y(t) =t sint −sint = (t −1)sint.

100

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО – ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ