Математический анализ

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение 2.4. При f′(x)≠0 дифференциалом функции у=f(x) в точке х, соответствующим приращению аргумента ∆х, называется главная линейная относительно ∆х часть приращения ∆у в точке х и обозначается так: dy=f′(x) ∆x. При f′(x)=0 по договоренности считается, что dy=0.

Заметим, что если взять функцию у=х, то dy=dx=x′ ∆x=∆x (x′=1), т.е. dx=∆x. С учетом этого, имеем

dy=f′(x)dx или f′(x)=	dy	.	(2.15)
	dx

Для выяснения геометрического смысла дифференциала функции y=f(x) первого порядка, обратимся еще раз к рисунку 2.1. Как нетрудно заметить, ∆y=AN, а f′(x)∆x=dy=MN. Отсюда следует, что величины AN и MN различны, ибо если ∆у есть приращение ординаты кривой в точке х, то dy есть приращение ординаты касательной к кривой в точке х.

2.4. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Теорема 2.4. Если функции y1=f1(x) и y2=f2(x) имеют производные в точке х0, то их сумма, разность, произведение и частное (частное при условии y2(x0)=f2(x0)≠0) также имеют производные в точке х0, причем

а)	(y ± y								2	)′				= f '	(x		0	)± f			'	(x		),
		1											x=x0	1							2		0
	(			1				2 )						1 (		0 )				2 (			0 )	1 (		0 )	2	(		0 )
											x=x0
б)		y				y				'				= f '	x				f		x			+ f	x		f '		x		,
в)	y				1		|				=			f1' (x0 ) f2 (x0 )− f1 (x0 )												f2' (x0 )				.
																				f22 (x0 )
	y2								x=x0

Приведем доказательство этой теоремы, ограничиваясь рассмотрением пункта а). Итак:

Дано: y1|		x=x0			= f1| (x0 ), y2|						x=x0			= f2| (x0 ).
Доказать:	(		y	1	± y	'			= f	'	(	x	0 )	± f '	(	x	0 )	.
						2 )		x=x0	1					2

Очевидно, что ∆(y1±y2) = f1(x0+∆x) ± f2(x0+∆x) - [f1(x0) ± f2(x0)] = [f1(x0+∆x) - f1(x0)]±

± [f2(x0+∆x) - f2(x0)] = ∆y1±∆y2.

Тогда, если ∆х≠0, то

		∆(y1	± y2 )	=	∆y	1	±	∆y	2 .	(2.17)
		∆x			∆x
								∆x
	В (2.17) перейдем к пределу при ∆х→0. Так как по условию теоремы существует
lim	∆y1 = f1|		(x0 ) и		lim		∆y2		= f2| (x0 ),	то существует предел правой части (2.17) и равен
∆x→0	∆x				∆x→0		∆x

f1|(x0)± f2|(x0). Тогда существует и предел левой части (2.17) и равен

51

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

	lim	∆(y1 ± y2 )	= (y1 ± y2 )|		= f1| (x0 )± f2| (x0 ).
		∆x
	∆x→0				x=x0

Аналогично можно доказать и остальные пункты теоремы.

2.5. Производные элементарных функций. Производная обратной функции

Правила вычисления производных некоторых элементарных функций можно получить непосредственно из определения производной (см. определение 2.1). Покажем это, например, для функции y=sinx. Имеем

∆y=sin(x+∆x)-sinx=2sin ∆2x cos(x+ ∆2x ).

Отсюда, при ∆х≠0, следует

	∆y		sin ∆x		∆x
			2
		=		cos x +		.
	∆x		∆x		2

2

Если в последнем перейти к пределу при ∆х→0 с учетом первого замечательного предела (см. (1.37)) и непрерывности функции cosx, то получим

		∆y	′		sin ∆x			∆x
					2
	lim		= (sin x)	= lim		lim cos x +				= cos x .
		∆x			∆x			2
	∆x→0			∆x→0		∆x→0

2

Итак: (sin x)|=cos x.

Аналогично доказывается, что (cos x)| = – sin x.

Чтобы вычислить производную. функции y=tgx= cossin xx , воспользуемся пунктом б)

теоремы 2.4. Имеем

(tgx)

|

sin x |

cos2

x

− sin x (−sin x)

1

=

=

=

.

cos2

x

cos2

x

cos x

Аналогично

cos x |

1

(ctgx)' =

= −

.

sin 2

sin x

x

Прежде чем перейти к получению правил дифференцирования других элементарных функций, приведем теорему о производной обратной функции без доказательства.

Теорема 2.5. Если функция y = f(x) определена, непрерывна и строго монотонна в
некоторой окрестности точки х0 и в этой точке существует производная y′				x=x0	= f ′(x0 )≠ 0 ,
то и обратная функция x = f-1(y) имеет производную в точке y0 = f(x0), причем
[f −1 (y0 )]| =	1	.			(2.18)
	f' (x0 )

52

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Спомощью теоремы 2.5., например, можно получить производную функции

y=arcsin x, где -1<x<1 и - π2 <y< π2 , обратную для x = siny.

Итак имеем,		1		1		1			= 1 .
y' = (arcsin x)' =			=		=
		sin y '		cos y			2			2
	(	)				1 − sin		y	1 − x

Здесь уместно заметить, что все правила дифференцирования элементарных функций, которые получаются одним из выше приведенных методов, оказываются инвариант-

ными относительно аргументов. Например,
	d sin f (x)				= cos f (x),					(2.19)
	df (x)
	dtgf(x)		=			1		,		(2.20)
	df(x)				cos2 f(x)
	d arcsin f(x)					=	1		.	(2.21)
	df(x)						1 − f 2 (x)

Ниже приведем правила дифференцирования элементарных функций с учетов инвариантности этих правил относительно аргумента.

df α((x)) = α f α−1 (x), (α=const), df x

da(f (x)) = a f (x) ln a (0<a≠1), df x

def (x)

f (x)

= e

,

df(x)

d loga f(x)

1

loga e (f(x)>0, 0<a≠1),

=

df(x)

f(x)

d ln f(x)

=

1

,

df(x)

f(x)

d cos f(x)

= −sin f(x),

df(x)

dctgf(x)

= −

1

,

df(x)

sin 2 f(x)

d arccos f(x)

= −

1

(|f(x)|<1),

df(x)

1 − f 2 (x)

darctgf(x)

=

1

,

df(x)

1 + f 2 (x)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

53

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

darcctgf(x)						= −			1		,
df(x)								1 + f 2 (x)
dshf(x)			= chf(x) ,
df(x)
dchf(x)				= shf(x),
df(x)
dthf(x)			=			1			,
df(x)					ch 2f(x)
dcthf(x)						1
				= −						(f(x)≠0).
df(x)							sh 2f(x)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.35)

Отметим, что гиперболические синус (shf(x)), косинус (chf(x)), тангенс (thf(x)) и катангенс (cthf(x)), входящие в (2.32)-(2.35) определяются формулами:

shf (x)=	e f (x) − e− f (x )	, chf(x) =		ef (x) +e−f (x)			,
thf(x) =	shf(x)2, cthf(x) =		chf(x)		.	2
	chf(x)		shf(x)

2.6. Правило дифференцирования сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

Теорема 2.6. Пусть задана сложная функция y=f[ϕ(t)], где х=ϕ(t) дифференцируема в точке t0, а y=f(x) дифференцируема в соответствующей точке х0=ϕ(t0). Тогда сложная

функция f[ϕ(t)] дифференцируема в точке t0, причем

df [ϕ(t)]

=

df (x)

dϕ(t)

.

(2.36)

dt

dx

dt

t=t0

x=x0

t=t0

Заметим, что для доказательства этой теоремы нужно пользоваться определением производной функции (см. определение 2.1).

Приведем примеры. 1. y=ln(cos(ex)).

Найти производную заданной сложной функции по х. dydx = cos1ex (−sin ex ) ex = −tgex ex .

2. y=arctg(x2+1)

Найти производную заданной сложной функции по х

dy	=					1				2x =	2x		.
					(			)	2		x4 + 2x2
dx							2					+ 2
		1		+		x		+1

Теперь перейдем к вопросу инвариантности первого дифференциала. В пункте 2.3 было показано, что если х есть независимая переменная функции y=f(x), то dy=f′(x)dx.

54

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Покажем, что эта формула справедлива и в том случае, когда аргумент х является дифференцируемой функцией некоторой новой переменной t. Это свойство дифференциала называется инвариантностью его формы.

Итак, пусть дана функция y=f(x) C′(x) и x=ϕ(t) C′(t). Рассмотрим сложную функцию y=f[ϕ(t)]. Если рассматривать здесь t как независимую перемену, то по определению дифференциала функции

dy={ f[ϕ(t)]}′dt.	(2.37)
Аналогично этому
dx=ϕ′(t)dt.	(2.38)

Используя теорему 2.6 и учитывая (2.38) равенство (2.37) можно переписать в виде

dy=f′(x)dx

(2.39)

Итак, в любом случае дифференциал функции y=f(x) может быть записан в форме dy= f′(x)dx, будет ли х независимой переменной или нет. Разница будет в том, что если за независимую переменную выбрано t, то dx означает не произвольное приращение ∆х, а дифференциал х как функции от t.

2.7. Дифференцирование степенно-показательной функции и функций, заданных параметрически и в неявном виде

Пусть задана степенно-показательная функция y=U(x)V(x), где U(x)>0 и U(x) C′(t), V(x) C′(t). Чтобы найти правило дифференцирования рассматриваемой функции, вычислим натуральный логарифм от у

ln y=V(x)lnU(x).

Далее имеем

(ln y)′=(V(x)lnU(x))′

или

y

′

V(x) U (x)

|

= V(x) ln U(x)+

′

U(x) .

y

Отсюда окончательно получаем

V(x)

(

)

|

y' =

U(x)V(x)

= U(x)V(x) V' (x)ln U(x)+

U' (x) .

(2.40)

U(x)

Пример: y=xx. Найти y′. Согласно (2.40), имеем

y′=xx(lnx+1).

Пусть теперь функция y=f(x) задана в параметрическом виде x=ϕ(t), y=ψ(t),

где ϕ(t) C′(t), ψ(t) C′(t).

Тогда имеем

55

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

y' =	dy	=	ψ' (t)dt		=	ψ' (t)			.	(2.41)
	dx		ϕ'	t dt		ϕ'	t	)
				( )			(

Пример: y=sint, x=cost. Найти y′.

Согласно (2.41) имеем

y	'		dy		(sin t)'		cos t	= −ctgt .
		=		=		=
			dx		(cos t)'		−sin t
В заключение рассмотрим случай функции y=f(x) заданной в неявном виде
F(x,y)=0.								(2.42)

Для нахождения y' = dydx в этом случае нужно обе части уравнения (2.42) продиф-

ференцировать по х и найти y′ из полученного уравнения.

Пример: x2 + y2 −1 = 0 . Найти y′. 4 9

Согласно сказанному выше имеем:

	y	′		2x 9			9x
			= − 4		2 y	= − 4 y .			(2.43)

2.8. Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 2.5. Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b) и дифференцируема в точке x0 (a,b). Если существует производная функции f′(x) в точке х0, то

она называется второй производной функции f(x) в точке х0 и обозначается символом
f′′(x0) или	d 2f(x)					.
	dx2			x=x0
Итак согласно этому определению имеем
f ′(x0 )=		d2f (x)					= [f ′(x)]		x =x 0 = (y′(x0 ))= y′′(x0 ).	(2.44)
		dx			2
							x =x 0

Аналогично определяется производная y(n)(x0) любого порядка. Т.е. если в точке х0 (a,b) существует производная функции y(n-1)(x0), то она называется производной функции y(x) порядка n в точке x0. При этом

y(n )(x0 )= [y((nx	−)1)]|			= f (n )(x 0 )=	dn f (x)		.	(2.45)
			x=x0		dx n
							x=x0

Заметим, что под производной нулевого порядка нужно понимать саму функцию

(y(0)=y).

56

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение 2.6. Функция y=f(x) называется n раз дифференцируемой на множестве {x}, если на этом множестве {x} она имеет производные до порядка n, включительно.

Ниже сформулируем (без доказательства) теорему о вычислении производной n-го порядка от произведения и суммы двух функций, имеющих большое прикладное значение.

Теорема 2.7. Пусть функции y1=f1(x) и y2=f2(x) определены в некоторой окрестности точки х0, имеют производные порядка n в точке x0. Тогда функции y1+y2=f1(x)+f2(x) и y1y2=f1(x)f2(x) также имеют производные порядка n в точке х0, причем

(y1 + y2 )(n )				= y1(n ) + y2(n ) = f1(n ) (x)+ f2(n ) (x),				(2.46)
(y1 y2 )(n )							n
			= (f1 (x) f2 (x))(n ) = ∑Cin f1(n−i )(x) f2(i)(x),					(2.47)
						i=0
где Cni означает число сочетаний из n элементов по i и определяется формулой
Cni =		n !						(2.48)
	i!	(n − i)!
Отметим, что формулу (2.47), которая называется формулой Лейбница, с учетом
(2.48) можно переписать в виде
(y1 y2 )(n ) = (f1 (x) f2 (x))(n ) = f1(n )(x) f2 (x)+ nf1n−1 (x) f2| (x)+
		+		n(n −1)		f1(n−2)(x) f22	(x)+... + f1 (x)f2(n )(x).	(2.49)
			2!
Пример. Пользуясь формулой Лейбница, вычислить y(n), если y=f1(x)f2(x)=exx2.
Так как		f1(n )(x)= (ex )(n ) = ex ,					f2| (x) = 2x , f2|| (x) = 2 ,	f2(3) (x) = f2(4) (x) =... = f2(n ) (x) = 0 ,
то согласно (2.49) имеем
y(n ) = (ex x 2 )(n ) = x 2 ex + 2nxex							+ 2 n(n −1)ex = ex [x 2	+ 2nx + n(n −1)].
							2!

Ниже приведены формулы для вычисления производной порядка n некоторых

функций (вывод этих формул без труда может выполнить читатель).
1.	y=xα (x>0, α R),	(2.50)
	y(n)=α(α-1)(α-2)...(α-n+1)xα-n.
2.	y=ax (0<a≠1),	(2.51)
	y(n)=ax lnn a .
3.	y=ex,	(2.52)
	y(n)=ex	(2.53)
4.	y=sinx,
	y(n)=sin(x+n π2 ).

57

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

5. y=cosx, (2.54) y(n)=cos(x+n π2 ).

В заключение можно перейти к рассмотрению вопросу о дифференциалах высших порядков функции y=f(x).

Пусть, функция y=f(x) дифференцируема в некоторой ∆ окрестности точки х0, т.е. f(x) C′{(x0-∆, x0+∆)}. Тогда дифференциал функции y=f(x) первого порядка имеет вид dy=f′(x)dx и является функцией двух переменных х и dx.

Пусть далее y1=f′(x) C′{(x0-∆, x0+∆)} и dx имеет одно и то же фиксированное значение для (x0-∆, x0+∆). Тогда существует дифференциал функции dy=f′(x)dx в точке х0.,

которой обозначим символом d(dy) и который определяется формулой:
d(dy)= d[f ' (x)dx]		x=x0	= [f ' (x)dx]'		dx = f '' (x0 )dxdx = f '' (x 0 )dx 2 .
					x=x0

Определение 2.7. Значение d(dy) дифференциала от первого дифференциала dy, называют вторым дифференциалом функции u=f(x) в точке х0 и обозначают символом

d2y=f′′(x0)(dx)2=f′′(x0)dx2.				(2.55)
Аналогично этому, имеем
d n y = d (d n−1 y)		x=x0	= f (n)(x0 )dxn .	(2.56)

Заметим, что до сих пор речь шла о случае, когда х является независимой переменной. В случае зависимой переменной х=ϕ(t) формулы дифференциалов при n>1 не сохраняют форму. Например:

d 2 y = d(df	(x))		= d ( f ' (x)d x)		= d ( f ' (x))		dx + f ' (x	0	)d (dx) =
			x=x0		x=x0		x=x0
= f " (x0 )dx2	+ f ' (x0 )d 2 x .								(2.57)

2.9. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный экстремум. Теорема о нуле производной (теорема Ролля)

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности U(x0) точке х0.

Определение 2.8. Функция f(x) называется возрастающей в точке х0, если существует δ-окрестность Uδ(x0) точки х0 такая, что

(U δ (x0 ) U(x0 )) ( x U δ (x0 )) x < x0 f((x))< f((x0 )) . (2.58)x > x0 f x > f x0

Определение 2.9. Функция f(x) называется убывающей в точке х0, если существует δ-окрестность Uδ(x0) точки х0 такая, что

(Uδ (x0 ) U (x0 )) ( x Uδ (x0 )) x < x0 f ((x))> f ((x0 )) . (2.59)

x > x0 f x < f x0

Определение 2.10. Точка х0 называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f(x), если существует такая δ-окрестность Uδ(x0) точки х0, что

58

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

	(Uδ (x0 ) U(x0 )) ( x Uδ (x0 ) f (x)≤ f (x0 )),		(2.60)
	(Uδ (x 0 ) U(x0 )) ( x Uδ (x0 )) f (x)≥ f (x	0 )).

Определение 2.11. Будем говорить, что функция y=f(x) в точке х0 имеет локальный экстремум, если она в точке х0 имеет либо локальный максимум, либо локальный мини-

мум (рис. 2.3).

y	max

y=f(x)

min

0

x1

x2

x

Рис. 2.3.

Теорема 2.8. (лемма Ферма) (достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке)

Если y=f(x) C′(x0) и f′(x0)>0(f′(x0)<0) то y=f(x) возрастает (убывает) в точке х0.

Доказательство. Пусть f′(x0)<0 (случай f′(x0)>0 доказывается аналогично): Согласно определению (2.1)

f ′(x 0 )= lim	f (x0 + ∆x)− f (x0 )		= lim	f (x)− f (x0 )	.
	∆x
∆x→0			x→x0	x − x0

Последнее, по определению предела функции по Коши, означает, что

( ε > 0)( δ > 0): ( x Uδ (x0 ))(0 <				< δ)		f (x)− f (x0 )
		x − x0					− f ′(x0 )	< ε .
Положим ε=-f′(x0)>0. Тогда имеем						x − x0

f(x)− f(x0 )	− f' (x0 )		< −f' (x0 ) 2f' (x0 )<	f(x)− f(x0 )	< 0.
x − x0				x − x0

Таким образом получаем, что x Uδ(x0)

f (x)− f (x	0	)			x − x			0	< 0 f (x)− f (x			0	)> 0
			< 0
x − x 0
					x − x 0				> 0 f (x)− f (x 0 )< 0					(2.61)
				x < x			f (x)> f (x			)
					x > x	0	f (x)< f (x			0	,
						0				0	)

т.е. функция f(x) в точке х0 убывает.

59

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Заметим, что положительность (отрицательность) производной f′(x0) не является необходимым условием возрастания (убывания) дифференцируемой в точке х0 функции у=f(x). Например, функция y=x3 возрастает в точке х0=, но y′(0)=0.

Теорема 2.9. (теорема Ферма) (необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции).

Если функция y=f(x) C′(x0) и имеет в этой точке локальный экстремум, то f′(x0)=0 (рис. 2.3.)

Дано: f(x) C′(x0).

Доказать: f′(x0)=0.

По условию теоремы существует f′(x0). Так как функция y=f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум, то она не может в этой точке не возрастать не убывать. Следовательно, по теореме 2.8 f′(x0) не может быть ни положительной, ни отрицательной, т.е. f′(x0)=0.

Теорема 2.10. (теорема Ролля или теорема о нуле производной).

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на сегменте [a;b], дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и f(a)=f(b), то внутри сегмента найдется точка ξ,

что f′(ξ)=0.

Дано: f(x) C([a,b]), f(x) C′((a,b)),

f(a)=f(b). (2.62) Доказать: ξ (a,b), а′(ξ)=0.

Так как по условию теоремы f(x) С[a,b], то по теореме Вейерштрассе (теорема 1.1.33) f(x) на [a,b] достигает своих точных верхней и нижней граней M и m. Может быть m=M и M>m. Рассмотрим эти два случая по отдельности.

1. m=M.

Тогда очевидно, что f(x)=m=M=const. Отсюда следует, что f′(x)≡0 для х [a,b].

2. M>m

В этом случае согласно (2.62) хотя бы одно из двух значений m и M достигается во внутренней точке ξ на сегменте [a,b]. Но тогда в точке ξ функция f(x) имеет локальный экстремум и по теореме Ферма (теорема 2.9) f′(ξ)=0 (рис. 2.4).

y

y=f(x)

y=f(x)

0	a ξ	ξ	b	x

60