- •Самарский государственный университет
- •1. Введение в математический анализ
- •1.1. Числовая функция одной переменной.
- •1.2. Числовая функция нескольких переменных.
- •1.3. Числовая последовательность.
- •1.5. Предел числовой последовательности.
- •1.6. Предел числовой функции одной переменной.
- •1.7. Предел числовой функции нескольких переменных.
- •1.8. Бесконечно малые, ограниченные, бесконечно большие и отделимые от нуля величины.
- •1.9. Простейшие свойства бесконечно малых величин.
- •1.10. Простейшие свойства пределов.
- •1.11. Сравнение бесконечно малых величин.
- •1.12. Свойства эквивалентных бмв. Главная часть бмв и ббв.
- •1.13. Предельный переход в неравенстве. Признаки существования предела. Замечательные пределы.
- •1.14. Таблица основных эквивалентных бмв.
- •1.15. Непрерывность функций в точке.
- •1.16. Односторонние пределы и классификация точек разрыва.
- •1.17. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •2. Дифференциальное исчисление
- •2.1. Производная и дифференциал числовой функции одной переменной.
- •2.2. Геометрический смысл производной и дифференциала числовой функции одной переменной.
- •2.3. Сводка правил для вычисления производной.
- •2.4. Частные производные и полный дифференциал числовой функции нескольких переменных.
- •2.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала.
- •2.6. Вычисление производных и дифференциалов сложных функций.
- •2.7. Вычисление производных неявных функций.
- •2.8. Производные и дифференциалы высших порядков для числовой функции одной переменной.
- •2.9. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.
- •2.10. Свойства функций, дифференцируемых на интервале.
- •2.11. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •2.12. Формула Тейлора.
- •2.13. Представление некоторых функций по формуле Тейлора.
- •2.14. Приложения формулы Тейлора к исследованию функций
- •2.14.1. Главная часть бм
- •2.14.2 Возрастание и убывание функции
- •2.14.3. Экстремумы функции
- •2.14.4. Выпуклость и вогнутость кривой.
- •2.14.5. Точки перегиба кривой.
- •2.15. Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных.
- •2.16. Локальные экстремумы функции нескольких переменных.
- •2.17. Аппроксимация опытных данных по методу наименьших квадратов.
- •2.18. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •2.19. Условные экстремумы числовой функции нескольких переменных.
- •2.20. Формулировка задачи линейного программирования
2.12. Формула Тейлора.
Рассмотри произвольный многочлен степени n в окрестности точки
(2.12.1)
Установим связь между коэффициентами многочлена и его производными. При имеем
.
Продифференцируем равенство (2.12.1)
. (2.12.2)
Полагая , получим
.
Продифференцируем равенство (2.12.2)
. (2.12.3)
Полагая , находим
.
Продифференцируем равенство (2.12.3)
. (2.12.4)
Полагая , находим
.
Очевидно, что после дифференцирования многочлена k раз и подстановки , получится
.
Таким образом общая формула для коэффициентов многочлена будет иметь вид
. (2.12.5)
Здесь из соображений симметрии и компактности записи принято
.
Формулы (2.12.5) определяют коэффициенты Тейлора для многочлена в окрестности точки .
Теперь соотношение (2.12.1) принимает вид
, (2.12.6)
или в компактной форме
. (2.12.7)
Выражения (2.12.6) и (2.12.7) называются формулами Тейлора для многочлена.
Рассмотрим теперь произвольную функцию , дифференцируемую нужное количество раз. Построим для нее многочлен Тейлора
. (2.12.8)
Функция и многочлен Тейлора не равны между собой, а соответствуют друг другу. Выясним степень этого соответствия при различных степенях n.
При получаем прямую линию, пересекающую график. Приполучаем касательную в точке. Приполучаем параболу, огибающую график функции. Чем выше степень многочлена, тем более близки оказываются графики функции и многочленов.
Обозначим разность функции и многочлена Тейлора
.
Величина представляет собой погрешность в вычислениях при замене функции на многочлен. Таким образом, получаем
, (2.12.9)
формулу Тейлора для функции. Величина называется –остаточный член формулы Тейлора, а величины
, (2.12.10)
называются коэффициентами Тейлора для функции .
Для остаточного члена формулы Тейлора существует несколько форм представления. Укажем здесь две наиболее часто встречающиеся классические формы
, (2.12.11)
– остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано, и
, (2.12.12)
– остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Введем обозначения . Подставляя их в формулу (2.12.9) получимдифференциальную форму формулы Тейлора
(2.12.13)
2.13. Представление некоторых функций по формуле Тейлора.
Рассмотрим представление по формуле Тейлора некоторых основных элементарных функций.
1.
Вычислим ее производные
.
В точке находим
Формула Тейлора имеет вид
. (2.13.1)
2.
Вычислим ее производные
.
Производная четвертого порядка совпадает с исходной функцией, далее идут вычисления по циклу.
В точке находим
.
Формула Тейлора имеет вид
. (2.13.2)
3.
Вычислим ее производные
.
Производная четвертого порядка совпадает с исходной функцией, далее идут вычисления по циклу.
В точке находим
.
Формула Тейлора имеет вид
. (2.13.2)
4.
Вычислим ее производные
.
В точке находим
.
Формула Тейлора имеет вид
. (2.13.2)
5.
Выполнить самостоятельно.
2.14. Приложения формулы Тейлора к исследованию функций
Формула Тейлора позволяет представлять произвольную функцию в виде многочлена и остаточного члена, который в достаточно малой окрестности точки не играет существенной роли. Поэтому многие свойства произвольной функции можно выявить из известных свойств соответствующего многочлена. Рассмотрим некоторые важные примеры применения формулы Тейлора.