2.7. Вычисление производных неявных функций.
Решением уравнением
, (2.7.1)
является числовая функция одной переменной
. (2.7.2)
Если функцию (2.7.2) практически невозможно вычислить, то говорят, что функция задана неявно с помощью уравнения (2.7.1).
Выясним, как вычисляется производная функции заданной неявно. При подстановке решения (2.7.2) в уравнение (2.7.1) получается верное равенство или тождество
. (2.7.3)
Применяя к тождеству (2.7.3) правило дифференцирования сложной функции, получаем
.
Решая это уравнение относительно искомой производной, получаем
. (2.7.4)
Пример.
Найти производную
функции определяемой уравнением
.
Решение:
,
.
Решением уравнением
, (2.7.5)
является числовая функция двух переменных
. (2.7.6)
Если функцию (2.7.6) практически невозможно вычислить, то говорят, что функция задана неявно с помощью уравнения (2.7.5).
Выясним, как вычисляются частные производные функции заданной неявно. При подстановке решения (2.7.6) в уравнение (2.7.5) получается верное равенство или тождество
. (2.7.7)
Применяя к тождеству (2.7.7) правило дифференцирования сложной функции, получаем
,
Решая эти уравнения относительно искомых производных, получаем
(2.7.8)
Пример.
Вычислить
для функции определяемой уравнением
.
Решение:
Составим уравнение
–
.
Вычислим производные по формулам (2.7.8)
.
2.8. Производные и дифференциалы высших порядков для числовой функции одной переменной.
Пусть для функции
найдена
производная
.
Эта функция в свою очередь тоже может
иметь производную, которую обозначают
,
и
называют производной второго порядка
от функции
.
Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка
.
Начиная с производной четвертого порядка, вместо штрихов используют натуральные числа, заключенные в скобки
. (2.8.1)
Множество всех
функций, имеющих непрерывные производные
на интервале
до порядкаn
включительно, называют – класс функций
.
Пример. Вычислить
для функции
.
.
Рассмотрим формулу для производной произведения двух функций
.
Продифференцируем ее
.
Вычислим третью производную
.
Очевидно, что производные более высоких порядков от произведения двух функций сохраняют структуру, соответствующую формуле бинома Ньютона и общая формула будет иметь вид
. (2.8.2)
Формула (2.8.2) называется формулой Лейбница.
Пример.
Вычислить
производную третьего порядка от функции
.
Решение:
Вычислим теперь производные высших порядков для функции, заданной параметрически:
Используя правила дифференцирования сложной и обратной функции и учитывая, что
,
получим
. (2.8.3)
Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков.
Обычный дифференциал или дифференциал первого порядка имеет вид
.
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка
. (2.8.4)
Здесь
величина
считается константой по отношению к
переменной
.
Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка
. (2.8.5)
Дифференциалом n–го порядка называется дифференциал от дифференциала n–1 порядка
. (2.8.6)
Теперь производную функции n–го порядка можно обозначать следующим образом
. (2.8.7)
Рассмотрим сложную функцию одной переменной
.
Вычислим ее дифференциал
. (2.8.8)
Помимо прочего формула (2.8.8) выражает свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка. Выясним, сохраняется ли это свойство для дифференциалов более высоких порядков.
.
Эта
формула показывает, что свойство
инвариантности дифференциала второго
порядка уже нарушено, поскольку величина
.