1.14. Таблица основных эквивалентных бмв.

Занесем в таблицу наиболее часто встречающиеся эквивалентные БМВ при .

№	Эквивалентные БМВ
1
2
3
4
5
6
7
8

1.15. Непрерывность функций в точке.

Числовая функция одной переменной называетсянепрерывной в точке , если

. (1.15.1)

Таким образом, для непрерывности функции в точке необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

1. Существует конечный предел функции в точке .

2. Функция определена в точке .

3. Значение этого предела и значение функции в точке совпадают.

Формулу (1.15.1) можно переписать в виде

. (1.15.2)

Соотношение (1.15.2) показывает, что переходить под знаком предела можно только у непрерывных функций.

Введем обозначения

.

Тогда условие непрерывности функции в точке принимает вид

(1.15.3)

Рассмотрим теперь функцию двух переменных . Числовая функция двух переменныхназываетсянепрерывной в точке , если

. (1.15.4)

Если ввести обозначения

,

то условие непрерывности функции в точке принимает вид

(1.15.5)

Теорема 1. (О непрерывности основных элементарных функций).

Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены.

Доказательство:

Доказательство нужно проводить отдельно для каждой из тринадцати функций. Рассмотрим функцию .

,

что и требовалось доказать. Непрерывность остальных функций доказать самостоятельно.

Теорема 2. (Об арифметических операциях над непрерывными функциями).

Если функции инепрерывны в точкех₀, то в этой точке будут также непрерывны и функции .

Доказательство теоремы следует непосредственно из простейших свойств пределов и определения непрерывности.

Теорема 3. (О непрерывности сложной функции).

Если функция непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке, то сложная функциянепрерывна в точке.

Доказательство:

Доказательство следует из соотношения (1.15.2)

.

Что и требовалось доказать.

Теорема 4. (О непрерывности элементарных функций).

Любая элементарная функция непрерывна во всякой точке, в которой она определена.

Доказательство следует непосредственно из теорем 1,2,3.

1.16. Односторонние пределы и классификация точек разрыва.

Левосторонним пределом числовой функции одной переменной в точкеназывается число

(1.16.1)

Правосторонним пределом числовой функции одной переменной в точкеназывается число

(1.16.2)

Вместе левосторонний и правосторонний пределы называют односторонними пределами числовой функции одной переменной в точке.

Очевидно, что определение непрерывности функции в точке эквивалентно выполнению следующих равенств

(1.16.3)

Точки, в которых у функции нарушается непрерывность, называются точками разрыва функции. Точки разрыва классифицируют следующим образом.

1. Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные односторонние пределы и при этом

. (1.16.4)

Выражение – называют величиной скачка функции.

2. Если имеет место соотношение , но в самой точкефункция не определена, то такая точка называетсяточкой устранимого разрыва.

3. Если в точке у функциихотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то такая точка называетсяточкой разрыва второго рода.

Примеры.

1. Точка разрыва первого рода – .

2. Точка устранимого разрыва – .

3. Точки разрыва второго рода – .