begin k:=k+1; A:=A *X/k; S:=S + A

end;

writeln(“ exp(x) = “, S) end.

Задание 2.1

Составить программу на языке Паскаль для вычисления суммы членов конечной последовательности:

		1.	Найти сумму членов ряда с первого по семнадцатый включи-
							1				,cos			1		,cos	1
тельно cos							3							5			7	,… .
		2.	Найти сумму членов ряда с десятого по тридцатый включи-
тельно					1				,		1				,	1	,… .
												sin 2				sin 3
			sin1
		3.	Найти произведение членов ряда от пятого до двадцать пятого
1	,	1 ,	1	,		1	,				1		,... .
									15
7		9 11 13

4.Найти сумму первых пятидесяти членов 1 , 1 , 1 ,… .

2 3 4

5.Найти сумму членов с пятнадцатого по двадцать пятый включительно {2,5,8,…} .

6.Найти сумму членов с десятого по двадцать пятый включительно {6,9,12} .

7.Найти сумму членов с первого по двадцать первый включи-

тельно {100,97,94}.

8.Найти сумму членов с десятого по двадцать пятый включи-

тельно	1	,		1	,	1	,… .
	8
			12 16

23

9.

Вычислить произведение членов с первого по пятнадцатый

включительно −

1

, − 1 ,

− 1 ,… .

2

3

4

10.

Найти сумму первых ста элементов

1 ,

1

, 1

, 1

,

1

,… .

5

3

7

9 11

11.

Найти сумму членов с первого по девяносто пятый включи-

тельно 1 ,

1

,

1

,… .

8

12 16

12.

Найти сумму членов с первого по пятидесятый включитель-

но 1

, 1 ,

1

, 1 ,… .

2

4

6 8

13.

Найти сумму положительных элементов последовательности

при n = 35

{a1 = 1, a2 = 3, an = an−1 − 2an−2 }.

14.

Найти

сумму

положительных

элементов

при

n = 25

cos 2

sin 3

1

a1

=

, a2

=

,…, an = an−1 −

an−2

.

12

15

12

15.

Найти

сумму

отрицательных

элементов

при

n = 17

=

cos 2

,a2

=

sin 3

,…, an = an−1 − 4an−2

a1

12

15

.

16.

Найти

сумму

положительных

элементов

при

n = 100

cos 2

sin 3

an−1

an−2

a1

=

, a2

=

,…,an =

−

.

12

15

0.85

21

17.

Найти сумму при n =

= ln

1

, a2

= ln

1

, a3

= ln

1

15 a1

2

4

6

,…

18.

Подсчитать

сумму

отрицательных

элементов

при

n = 48

sin 5

cos3

an−1

an−2

a1

=

, a2 =

,....,an =

−

.

12

15

0.85

21

19.

Найти

сумму

отрицательных

элементов

при

n = 63

{a1 = 0, a2

= 4,...., an

= an−1 − 3an−2 }.

20.

Найти

сумму

отрицательных

элементов

при

n = 21

{a1 = sin 3, a2 = 2,...., an = an−1 − 5an−2 }.

24

Задание 2.2

Составить программу на языке Паскаль для вычисления суммы членов бесконечной последовательности:

∞

1

1.

Подсчитать сумму ∑

с точностью 0.000001

n(n − 1)

n−1

∞

1

2.

Подсчитать сумму ∑

с точностью 0.000001.

n(n +

2)

n=1

∞

1

3.

Подсчитать сумму ∑

с точностью 0.000001.

n(n + 1)(n + 2)

n=1

∞

1

4.

Подсчитать сумму ∑

с точностью 0.000001.

n!

n=0

∞

(−1)

n

5.

с точностью 0.000001.

Подсчитать сумму ∑

n=0

n!

∞

n+2

6.

(−1)n

с точностью 0.000001 при х=2,-1.

Подсчитать сумму ∑

n=1

n!x

∞

x

7.

Подсчитать сумму ∑

с точностью 0.000001 при х=2;-1.

n!

n=0

∞

(− x)

n

8.

с точностью 0.000001 при х=2; -1.

Подсчитать сумму ∑

n=0

n!

∞

1

9.

Подсчитать сумму ∑

с точностью 0.0000001.

2

n=1

n

∞

с точностью 0.000001.

10. Подсчитать сумму ∑(−1)n+1 1

n=1

n

∞

1

11. Подсчитать сумму ∑(−1)n

с точностью 0.000001.

2n + 1

n=0

∞

1

x − 1

2n−1

12. Подсчитать сумму 2∑

с точностью 0.000001

2n − 1

n=1

x + 1

при x = e1 .

25

∞

n

13.

Подсчитать сумму ∑(−1)n+1 (x − 1)

с точностью 0.000001 при

n=1

n

x = e0.2 .

∞

x

2n

14.

Подсчитать сумму ∑(−1)n

с точностью 0.000001 при

(2n)!

n=0

x = π .

15.

Подсчитать сумму

2 ∞

2

x

n

с точностью 0.000001 при

∑

3

− 1

3 n=0

x = 1.

16.

Подсчитать

сумму

∞

n

с

точностью

0.000001 при

∑ (x ln a)

n=0

n!

x = 2 , a = 2 .

∞

x

2n+1

17.

Подсчитать сумму ∑(−1)n

с точностью 0.000001 при

(2n + 1)!

n=0

x = π / 2.

∞

2n−1

x

2n

18.

Подсчитать

сумму

∑(−1)n+1 2

с точностью 0.000001

n=0

(2n)!

при x = π / 2.

∞

x

2n+1

19.

Подсчитать сумму 4∑(−1)n

с точностью 0.000001 при

2n + 1

n=0

x = 1.

(2n)!x

∞

2n+1

20.

Подсчитать сумму 6∑

с точностью 0.000001

2n

(

)

2

(

)

n=0 2

n!

2n + 1

при x = 0.5.

(

21.

Подсчитать

сумму

∞

2n − 1 !!x2n+1

с точностью

6x + 6∑

)

n+1

n=1

(2n)!!2

0.000001 при x = 0.5.

26

может быть организована сле-

3.

Для построения алгебраических рядов используют производящие функции. Основным способом решения этого класса задач является порождение множителей с помощью циклических конструкций и проверки того, удовлетворяет ли данный член заданному условию или нет.

К подобным задачам относят и проверки различных свойств натуральных чисел, например проверку того, является ли число простым, совершенным, автоморфным и т.п..

Алгоритмы решения для таких задач сходны между обой. Они состоят из трёх шагов:

−Ввод и проверка данных.

−Цикл, который порождает множители с проверкой на выполнение какого-либо свойства.

−Вывод результатов.

Например, вывод на экран последовательности следующего типа:

2,4,...N если N − четное

S = 1,3,...N если N − нечетное > 2

дующей программой.

Program Row; var N,i: integer;

F: boolean; begin

repeat

write(‘Введите натуральное число N=’); readln(N);

until N>2;

if (n mod 2 =0 ) then F:=false else F:=true;

write(‘S=’);

for i:=1 to N-2 do

if (not F) and (i mod 2 = 0) then write(i,’ ‘);

27

else

if F and (I mod 2 <> 0) then write(i,’ ‘); writeln(N)

end.

Вначале описываются переменные N, i как целые, где N – заданное число, а i – переменная цикла. Вводим вспомогательную логическую переменную F, с помощью которой учитывается чётность числа N.

Тело программы начинается с ввода целого числа и проверки того, является ли оно натуральным и большим 2;

repeat

write(‘Введите натуральное число N=’); readln(N);

until N>2;

Оператор repeat требует ввода данных до тех пор, пока пользователь не введёт положительное число, большее двух.

Флаг F устанавливается в зависимости от чётности числа N. Для определения чётности используется стандартная функция mod, которая вычисляет остаток от деления числа N на 2.

На втором шаге в цикле

for i:=1 to N-2 do

if (not F) and (i mod 2 = 0) then write(i,’ ‘) else

if F and (I mod 2 <> 0) then write(i,’ ‘);

Мы порождаем натуральное число i в интервале от 1 до N-2 и в зависимости от чётности числа формируем требуемый ряд, выводя его на экран в одну строку.

По выходу из цикла на экран выводится N, как завершающий член ряда и строка закрывается.

Эту же задачу можно решить по-другому. Тело цикла выглядит следующим образом

28

if N mod 2 = 0 then begin

i:=2; repeat

i:=i+2;

write(‘*’,i) until i=N-2;

end else

begin write(‘1’); i:=1; repeat

i:=i+2;

write(‘*’,I); until i=N-2;

end;

Несмотря на то, что программа выглядит длинной, в ней не порождаются лишние члены, а в зависимости от чётности числа выбирается тот цикл, который необходим. В отличие от первого примера для любого из этих циклов переменная i увеличивается на 2 за каждый проход.

Рассмотрим ещё один пример.

Дано натуральное число N. Определить, является ли оно простым.

Program pr2_1; var i,N,F:integer; begin

repeat

write(‘Введите натуральное число N=’); readln(N);

until N>0; F:=0;

for i:=2 to N div 2 do

29

if N mod I = 0 then F:=1;

if F=0 then writeln(‘Число ‘,N,’ простое’) else writeln(‘Число ‘,N,’ составное’);

end.

Для решения задачи

−формируем тело программы и описываем переменные

−вводим натуральное число

−в интервале от 2 до N/2 порождаем натуральные числа и проверяем являются ли они делителями числа N

−в зависимости от значения флага F выводим результат.

Введите натуральное число N=25 Число 25 не простое

Введите натуральное число N=31 Число 31 составное

Обработка числовых последовательностей.

Алгоритмы для обработки последовательностей обычно относятся к одному из двух типов: 1) поиск и 2) проверка условий.

Для исследований характерно, что в каждый момент времени нам доступен только один элемент последовательности. Поэтому все алгоритмы строятся с учётом однократного последовательного просмотра.

Алгоритм для решения таких задач называют алгоритмом с линейным поиском.

Рассмотрим пример. Выводим последовательность из N целых чисел. Найти сумму всех отрицательных чисел.

Program PR5_1;

var N,x,sum,i:integer; begin

repeat

write(‘Введите длину последовательности N=’); readln(N);

until N>0; Sum:=0;

30

for i:=1 to N do begin

write(‘Введите x=’); readln(x);

if x<0 then sum:=sum+x;

end;

if sum=0 then writeln(‘Отрицательных чисел нет’) else writeln(‘Сумма отрицательных чисел sum=’,sum)

end.

Для решения задачи :

−формируем тело программы и описываем переменные

−вводим длину последовательности N и устанавливаем начальное значение суммы

−последовательно считываем числа, и если число отрицательное, то прибавляем его к сумме

−в зависимости от значения суммы выводим результат.

Пример 3.1

Вводится последовательность ненулевых чисел, 0 – конец последовательности. Определить является ли последовательность возрастающей.

Решение данной задачи строится от противного. Математически для того, чтобы последовательность была возрастающей, для каждого очередного элемента NEW и предыдущего OLD должно выполняться условие NEW>OLD. Любое нарушение данного условия приводит к тому, что последовательность не может быть возрастающей.

Program PR5_9; var old,new:real; F: boolean; begin

F:=true; write(‘Введите x=’); readln(old); write(‘Введите x=’);

31