1.2 Перевод правильных дробей из одной системы счисления в другую

Рассмотрим перевод правильных дробей на примере перевода правильной десятичной дроби в двоичную систему счисления. Правила перевода состоят в следующем:

1. Умножим исходное число на основание системы 2.

2. Выделим целую и дробную части произведения. Целая часть является старшим после запятой разрядом искомой двоичной дроби. Считаем дробную часть произведения исходным числом, переходим к пункту 1.

3. Процесс перевода заканчивается в двух случаях:

1) дробная часть некоторого произведения равна 0;

2) достигнута заданная точность перевода.

Контрольный пример. Перевести число 0,125₁₀ в двоичную систему счисления.

0,125 0,25 0,5

2 2 2

---------- ---------- ----------

0,250 0,50 1,0

_______ _______ ______

0 0 1

Таким образом, 0,125₁₀ = 0,001₂.

1.3 Перевод смешанных чисел из одной системы счисления в другую

Если требуется перевести смешанное десятичное число из одной системы счисления в другую, то для этого следует воспользоваться сформулированными выше правилами отдельно для целой и дробной частей.

2 Задания

1. Перевести число 715₈ в двоичную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа.

2. Перевести число 111100001110011₂ в восьмеричную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа.

3. Перевести число 715₁₆ в двоичную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа.

4. Перевести число 111100001110011₂ в шестнадцатеричную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа.

5. Перевести число 251₈ в шестнадцатеричную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа. Примечание: для перевода используйте промежуточную систему счисления, например, двоичную.

6. Перевести число 251₁₆ в восьмеричную систему счисления. Выполнить обратный перевод полученного числа. Примечание: для перевода используйте промежуточную систему счисления, например, двоичную.

7. Перевести число 253,718₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

8. Перевести число 11011,011₂ в десятичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

3 Вопросы к практическому занятию

1. Сформулируйте общее правило перевода восьмеричных целых чисел в двоичную систему счисления. Как выполнить обратный перевод числа?

2. Сформулируйте общее правило перевода шестнадцатеричных целых чисел в двоичную систему счисления. Как выполнить обратный перевод числа?

3. Как перевести смешанное число из одной системы счисления в другую?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4

ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА

1 Теоретическое обоснование

1.1 Формы и форматы представления числовых данных в ПЭВМ

ЭВМ может обрабатывать информацию только в закодированном виде. Информация называется закодированной, если любая ее элементарная часть представлена в виде числа. Такие числа называются кодами.

Минимальной единицей информации является бит. Один бит информации – это одна двоичная цифра 0 или 1. Это очень маленькое количество информации, поэтому в ЭВМ используется более крупная единица – байт. Один байт равен восьми битам. В одном байте можно хранить одно из целых чисел от 0 до 255. Один байт – это не только единица информации, это элементарная ячейка памяти ЭВМ. Память ЭВМ состоит из последовательности таких ячеек. Каждая ячейка (байт) имеет адрес – номер ячейки и содержимое – двоичный код данных, который хранится в ней. Когда процессор ЭВМ обрабатывает информацию, он находит по адресу в памяти нужную ячейку, читает из нее содержимое, выполняет необходимые действия и записывает результат в другую ячейку памяти. Память ЭВМ измеряется в более крупных единицах:

1Кбт = 1024 бт, 1Мбт = 1024 Кбт, 1Гбт = 1024 Мбт.

Для записи целого числа в памяти ЭВМ отводится 2 (или 4) байта. Для записи вещественного числа – 4 (или 8) байт.

При вводе в ПЭВМ вся информация кодируется определенной последовательностью из двоичных цифр, а при выводе – декодируется.

Совокупность определенного количества двоичных элементов служит для представления многоразрядных двоичных чисел и составляет разрядную сетку или формат представления числовых данных. В ПЭВМ используются естественная и нормальная формы записи чисел.

Естественной формой представления данных обычно называют пред­ставление чисел с фиксированной запятой, положение которой строго устанавливается для правильных дробей – перед старшим разрядом, для смешанных дробей – в определенном месте, отделяющем целую и дроб­ную части числа, для целых чисел – после младшего разряда. В совре­менных ПЭВМ естественная форма используется в основном для пред­ставления целых чисел. Во всех форматах знак числа занимает место перед старшим разрядом и кодируется 0 – знак «плюс» и 1 – знак «минус». Знак от числа отделяется воображаемой точкой.

Рассмотрим диапазон представления чисел в коротком формате  – Н = 2 байта и в длинном – F = 4 байта (рисунок 1) В разрядных сетках вместе указаны коды наименьшего и наибольшего значений чисел.

Числа в формате Н имеют значения:

|A|_min = 1;

|A|_max = 2¹⁵-1.

Числа в формате F имеют значения:

|A|_max = 1;

|А|_max = 2³¹-1.

Формат H

Знак 2¹⁴ 2¹³ 2¹ 2⁰

Amin	0	0	0	…	0	1
Amax	0	1	1	…	1	1

Формат F

Знак 2³⁰ 2²⁹ 2¹ 2⁰

Amin	0	0	0	…	0	1
Amax	0	1	1	…	1	1

Рисунок 1 – Форматы чисел в естественной форме

Достоинствами естественной формы являются простота и наглядность представления чисел, простота алгоритмов реализации операций, а следовательно, простота устройств и высокая скорость выполнения операций. Существенным недостатком является ограниченный диапазон пред­ставления величин. Если результаты вычислений выходят за допустимые пределы, то наступает переполнение разрядной сетки и результат иска­жается. В больших машинах вырабатывается при этом запрос на преры­вание программы, а в персональных производится автоматический переход к представлению данных в нормальной форме.

Нормальной формой представления числа называется представление его в виде мантиссы и основания системы в соответствующей степени.

Любое число можно представить в различной форме записи, например:

А = 55,25 = 5525 · 10^-2 = 0,5525 · 10² = 0,005525 · 10⁴.

Любое число в нормальной форме представляется в виде:

А = ± m_а · q ^±P.

где m_A – мантисса числа А;

q – основание системы счисления;

Р – порядок.

Для однозначности представления чисел используется нормализован­ная форма, при которой мантисса должна отвечать условию:

.

Ограничение справа требует, чтобы мантисса представлялась правильной дробью, ограничение слева, чтобы после запятой присутствова­ла значащая цифра (не 0).

Для представления чисел в нормальной форме используются фиксированные форматы разной длины. В разрядной сетке форматов отводятся места для знака мантиссы (нулевой разряд), знака порядка (первый разряд), значение порядка (6 разрядов, со второго по седьмой), в остальные разряды записывается мантисса числа.

На рисунке 2 представлена разрядная сетка в формате 4 байта.

Зн. mA	Зн. PA	PA			mA
0	1	2	…	7	8	9	…	30	31

Рисунок 2 – Формат числа в нормальной форме