- •Дифференциальные уравнения Лекция 19. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
- •Это уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Разделим почленно на :
- •Можно показать, что функции и- линейно независимы. Поэтому общее решение уравнения (3) имеет вид
- •При введенных обозначениях уравнение (1) можно записать
- •Лекция 22. Дифференциальные уравнения с частными производными. Основные понятия. Линейные уравнения n-го порядка с частными производными первого порядка.
Дифференциальные уравнения Лекция 19. Дифференциальные уравнения первого порядка
План лекции
19.1. Задачи, приводящие к дифференциации уравнениям.
19.2. Основные понятия о дифференциальных уравнениях.
19.3. Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
19.4. Однородные уравнения.
19.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
19.6. Линейные уравнения и уравнения Бернулли.
19.7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
19.1
В различных областях науки и техники весьма часто выражаются задачи, для решения которых требуется решить одно или несколько уравнений, содержащих производные искомых функций. Такие уравнения называются дифференциальными. Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
Задание 1.на плоскости ХОУ найти кривую, проходящую через О(0;0), у которой угловой коэффициент касательной, проведен к любой точке кривой, равен удвоенной абсциссе точки касания.
Пусть у = f(x) – уравнение искомой кривой. По условию известно, что в каждой точке M(x;f(x)) есть касательная к этой кривой, угловой коэффициент которой, то есть f/(x) равняется 2х. Найти уравнение кривой.
Таким образом, имеем (1).
Из (1) следует, что y = f(x) есть первообразная для 2х. Следовательно, (2).
Из (2) следует, что дифференциальное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений, то есть уравнению (1) удовлетворяет не одна кривая, а бесконечное множество парабол. Чтобы из этого множества кривых выбрать нужную кривую, надо воспользоваться тем, что искомая кривая проходит через точку О(0;0). Следовательно, координаты О должны удовлетворять (2). Поэтому О = О + С, то есть С = О. Значит, искомая кривая будет .
Задание 2. Найти закон уравнения свободного падающего в пустоте тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна нулю. Скорость в этом случае выражается, как известно, формулой .
Решение.
(3) следовательно, S – первообразная для gt, следовательно . Имеем.следовательно, то, то есть.
Задание 3. Пусть тело имеющее температуру Q0 в момент времени t=0, помещено в среду температуры Q(Q0>Q). Требуется найти закон, по которому изменяется температура тела в зависимости от времени. Искомая температура есть функция от времени, которую обозначают через Q(t).
Из функции известно, что скорость движения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Учитывая, что функция Q(t) убывает, в силу максимального смысла произведения получаем , гдеk – коэффициент пропорциональности. ,.
Заметим, что уравнение (4) при Q=0 так же записывает радиоактивный распад.
В рассмотренных задачах мы приходим к дифференциации уравнения вида . Это уравнение является простейшим дифференциальным уравнением. Однако в большинстве случаев естественные и технические процессы описываются гораздо более общими и сложными дифференциальными уравнениями.
19.2.
Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения.
Общий вид дифференциального уравнения: F(x,y.y/,…y(n)) = 0 (1).
Причем F(x,y.y/,…y(n)) может не зависеть от некоторых величин x,y.y/,… Но если это уравнение n-го порядка, то от y(n) обязательно зависит.
Например, у/ + ху = 0, у//+2у/ = 1,
1-го порядка 2-го порядка 1-го порядка.
Всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение (1), обращает его в тождество, называетсярешением этого уравнения.
График решения обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка будем называть интегральной кривой этого уравнения.
Например, является ли функция y = 1+2e-4x решением дифференциального уравнения а) , б). Найдему/ и у// и подставим у, у/, у// в данные уравнения:
,
а) б)
0 = 0 – верно - ложно.
Следовательно, данная функция решения дифференциального уравнения а) не является решением дифференциального уравнения б).
Дифференциальное уравнение первого порядка называется соотношение вида F(x,y,y/) = 0 (2) - в полном виде.
Относительно y/: - в явном или естественном его можно разрешить. (2/).
Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , зависящая от переменойx и от произвольной постоянной C, обращающая уравнение (2) в верное равенство.
Иногда решение уравнения может быть получено и неявной форме: Ф(х,у,с) = 0 или Ф(х,у) = С.
Решить данное дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение в той или иной форме.
Решение, которое получается из общего решения при котором фиксированном значение произвольной постоянной C, называется частным решением.
Частное решение выделяется из общего с помощью так называемого начального условия.
Условие, что при х = х0 функция у должна равняться заданному числу у0 называется начальным условием.
Пример. По общему решению дифференциального уравнения у = сх2 + х2sinx. Найти частное решение удовлетворяющее начальному условию
Тогда частное решение имеет вид: .
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка F(x,y,…y/) = 0(1) называется функция , зависящая отn произвольных постоянных и образующая уравнение (1) в тождество.
Решение, получаемое из общего при закреплении постоянных С1, С2,,….Сn называются частными.
Пусть при заданном значении х = х0 функция у и ее первые (n-1) производная принимают значения: . Эти условия называются начальными. С их помощью можно выделить из общего решения единственное частное решения.
Пример. По общему решению дифференциального уравнения . Найти частное отвечающее условию(так как в общем решении 2 постоянных, то это решение дифференциального уравнения 2-го порядка).
, ,
,,
- частное решение.
Остановимся далее на отдельных видах дифференциальных уравнений и методах их решения.
19.3.