Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Кавказский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции 19-22 ИСИТ Диф. уравнения.doc

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

(1)

Перепишем его в виде или(2).

Этому уравнению можно придать форму:

(3).

Эта форма удобна тем, что здесь х и у равноправны, то есть каждую из них можно рассматривать, как функцию другой. Предположим, что функции иможно представить в виде произведения функций, зависящих от одной переменной:

Тогда получим (4).

Это уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Разделим почленно на :

(5).

Это уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Перепишем (5) в виде:

и проинтегрируем его:

Найдя эти интегралы, мы и получаем общее решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными.

Примечание. В общем случае, деля на произведение , мы рискуем потерять те решения уравнения (4), которые обращают это произведение в нуль. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция, гдеb – корень уравнения , есть решение уравнения (4). Аналогично, функция, гдеQ – корень уравнения , также является решением уравнения (4). Подобные решения называются особенными.

Примеры. Найти общие решения уравнений:

Найти частное решение д/у

отвечающее начальному условию

при

- частное решение.

19.4.

Функция называется однородной измеренияm, если .

Пример. - однородная измерения 2.

С понятием однородной функции связано понятие однородного дифференциального уравнения.

Уравнение (1)

Называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функции иявляются однородными функциями одного и того же измерения.

С помощью подстановки , гдеz – новая искомая функция от x уравнение (1) легко приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Заметим, что . Иногда целесообразно использовать подстановку.

Примеры.

Преобразуем (1)

то есть , гдеf– некоторая функция от одного переменного. Введем вместоуновую функциюz(х)при помощи подстановки,, тогдаили- уравнение с разделенными переменами.

19.5.

Уравнения вида приприводятся к однородным подстановкой, где- точка пересечения прямыхи.

Если , то подстановкапозволяет разделить переменные.

Пример 1.

подставим

- однородное.

Пример 2.

Получим

19.6.

Линейное дифференциальное уравнение – это уравнение вида

где ,- непрерывно дифференцируемые функции на.

Решение ищем в виде , где. Тогда. Подставляем в данное уравнение

Далее группируем .

Решение сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными: ,.

Уравнение Бернулли

, где. (1)

Если n = 0илиn = 1– линейное дифференциальное уравнение (n = 1– с разделяющей переменой)

Пусть .

Его можно преобразовать в линейное с помощью подстановки

, тогда

Пример.

Замена , показать, что сводится к линейному.

Замечание.При интегрировании конкретных уравнений Бернулли их не надо предварительно преобразовывать в линейные, а сразу применять либо метод Бернулли, либо метод вариации произвольных постоянных.

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа, варьируя произведения постоянных, то есть полагая , где- некоторая подлежащая определению, дифференцируемая функция. Для нахождениянужно подставитьyв искомое уравнение, что приводит к уравнению

, откуда и находим

Тогда искомое общее решение множества неоднородного уравнения имеет вид

19.7.

Дифференциальное уравнение , где, называется уравнением в полных дифференциалах, то есть левая часть такого уравнения есть полный дифференциал и(в односвязной области). Перепишем уравнение в виде, тогда общее решение определяется равенством. Функцияможет быть найдена по формуле, гдех₀ иу₀– произвольные, лишь бы интегралы имели смысл.

Пример.

, то есть.

Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции , то есть.

Проинтегрируем пох:

Найдем функцию , продифференцировав последнее выражение поу:, тогда.

Тогда , то есть. Таким образом, общее решение

или.

Если условие не выполняется, то в некоторых случаях можно привести рассматриваемое уравнение к указанному типу умножением на некоторый множитель, который является функцией отхиу:.

Если у данного уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от х, то он находится по формуле

, где- функция отх.

Аналогично, интегрирующий множитель, зависящий только от у, определяется по формуле:

, где- функция оту.

Пример.

Показать, что , поэтому данное уравнение им интегрирующий множитель, зависящий только отх:.

Умножая на , получаем уравнение

(убедиться, что уравнение в полных дифференциация)

Лекция 20. Множество комплексных чисел

План лекции

20.1. Определение множества комплексных чисел.

20.2. Алгебраическая форма записи комплексного числа, действия над комплексными числами в алгебраической форме.

20.3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Геометрическая интерпретация модуля и аргументы комплексного числа.

20.4. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

20.5. Показательная форма записи комплексного числа.

20.1

На множестве действительных чисел не выполняется операция извлечения корня четной степени из отрицательного действительного числа.

Поставим задачу расширить множество R таким образом, чтобы существовал дляиа < 0, то есть двухчленное уравнение в новом множестве должно всегда иметь решение. Более того, в новом множестве любое уравнениеn-ой степени с действительными коэффициентами должно иметь ровно n корней, учитывая их краткость.

Для решения поставленной задачи достаточно потребовать, чтобы в новом множестве существовал и имел хотя бы одно значение .

Системой комплексных чисел называется минимальное поле С, обладающее свойствами:

1⁰. ;

2⁰.Существует элемент , обладающий свойством.

Комплексным числом Z называется пара действительных чисел , взятых в определенном порядке. Если, то числоизображается в виде точки, лежащей на оси абсцисс. Так как между множествомR и точками числовой оси существует взаимно-однозначное соответствие, то будем считать, что число - действительное, а ось абсцисс – действительная ось. Введем операции сложения и умножения комплексных чисел таким образом, чтобы эти операции совпадали с операциями над действительными числами.

Пусть даны два комплексных числа и.

Суммой двух комплексных чисел иназывается число, определяемое равенством:

. (5.1)

Произведением двух комплексных чисел иназывается число, определяемое равенством:

. (5.2)

Введенные операции не приводят к противоречию с арифметикой действительных чисел:

Обозначим . Тогда

Числа вида будем называть чисто мнимыми, а ось ординат – мнимой осью.

Пользуясь введенными определениями (5.1) и (5.2), нетрудно показать, что - поле (проверить самостоятельно).

Всякое комплексное число может быть представлено в виде действительного числаи чисто мнимого числа:

Существуют различные формы записи комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая, показательная. Рассмотрим эти формы.

20.2

Алгебраической формой записи комплексного числа называется его представление в виде

, (5.3)

где ,,- действительная часть,- мнимая часть,- коэффициент при мнимой части,- мнимая единица.

Сопряженным числом числу (5.3) называется комплексное число .

Два комплексных числа иравны, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях, то есть,.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел определяются следующими правилами:

1. .

2. .

3. ,

в частности, .

4. ,

где , то есть.

С геометрической точки зрения комплексное число в алгебраической форме можно интерпретировать как точкукоординатной плоскости.

Можно сказать, что с комплексными числами можно оперировать так же, как с двучленами в алгебре, но при этом операции упрощаются тем, что .

Пример 1. Вычислить в алгебраической форме:

Решение.

Вычисления проведем по действиям:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Ответ: .

Возводить в целую степень n (при больших n) и извлекать корень из комплексного числа в алгебраической форме неудобно. Для облегчения выполнения этих операций и вводится тригонометрическая форма записи комплексного числа.

20.3

С геометрической точки зрения комплексные числа интерпретируются как точки плоскости, причем каждому комплексному числу на плоскости соответствует единственная точкаи, обратно, каждой точке плоскости соответствует единственное комплексное число. При этом каждое комплексное число можно также интерпретировать и как радиус-вектор точки, то есть(рис.5.1).

Рис. 5.1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Модулем комплексного числа называется длина радиус-вектора, изображающего комплексное число. Модуль комплексного числа определяется по формуле . Очевидно,.

Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением осии радиус-вектором точки. Аргумент комплексного числа определяется из соотношений:

Так как и- периодические функции, то аргумент определяется неоднозначно, а именно, если, то. Поэтому рассматривают главные значения аргумента:<.

Тригонометрической формой записи комплексного числа называется его представление в виде

, (5.4)

где – модуль комплексного числа, ,– аргумент комплексного числа, <.

20.4

В тригонометрической форме над комплексными числами удобно выполнять действия умножения, деления, возведения в целую степень и извлечение корня.

Пусть даны два числа и.

Тогда

1. , (5.5)

то есть при перемножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число сомножителей.

2. , (5.6)

то есть при делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

3. Используя формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, легко показать, что при возведении комплексного числа в любую целую степеньn имеет место формула

, (5.7)

называемая формулой Муавра.

4. Корень n-ной степени из комплексного числаимеет ровноn значений, которые получаются по формуле

, где . (5.8)

Особенно важен случай извлечения корня n-ой степени из числа 1. Этот корень имеет n значений:

, .

Все значения корня n-ой степени из комплексного числа можно получить, умножая одно из значений этого корня на все корни n-ой степени из единицы.

С геометрической точки зрения все корни из комплексного числа расположены на окружности с центром в начале координат и радиусом , причем эти корни делят эту окружность наn равных частей.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Решение.

Выразим из уравнения:.

Для нахождения всех корней уравнения переведем все числа в тригонометрическую форму и проведем вычисления.

Пусть ,. Тогда,,

, , получаем

, .

Таким образом, ,.

Далее ,

Наконец,

где

Ответ: ,,.

20.5

Показательной формой записи комплексного числа называется его представление в виде

, (5.9)

где – модуль, – аргумент комплексного числа.

Пусть ,. Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам:

1. ;

2. ;

3. ,;

4. , где,,

Лекция 21. Дифференциальные уравнения второго порядка и более высоких порядков.

План лекции

. Дифференциальные уравнения высших порядков. Случаи понижения порядка дифференциальных уравнений.
. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.

21.1.

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида F(x,y,y^/,y^//,…..y⁽ⁿ⁾)=0.

Решением такого уравнения служит всякая n раз дифференцируемая функция y=(x), которая обращает данное уравнение в тождество, то есть

F(x,(x), ^/(x),^//(x),…..,⁽ⁿ⁾(x))0.

Понятие общего и частного решения были введены выше.

В некоторых случаях удается понизить порядок дифференциации уравнения.

Случаи понижения порядка дифференциального уравнения.

Уравнение . Решение этого уравнения находитсяn – кратным интегрированием

Пример. ..

Дифференциальное уравнение F(x,y⁽^k⁾, y⁽^k⁺¹⁾,…..,y⁽ⁿ⁾)=0, не содержащее искомой функции.

Порядок такого уравнения можно понизить, если за новую неизвестную взять низшую из производных данного уравнения:

Пример.

, ,

F(x,y^/,…..,y⁽ⁿ⁾)=0 не содержащее независимой переменой допускает понижение на единицу с помощью подстановки.

где за новую независимую переменную выбираем у (поэтому ,.

Пример.

(1+y^/2=yy^//), y^//(2y+3)-2y^/2=0.

y^/2+2yy^//=0

y^/=z(y), /

z²+2yzz^/_y=0

z(z+2yz^/_y)=0

z=0, z+2yz^/_y=0

, y=const.

Уравнение вида F(x,y^/,…..,y⁽ⁿ⁾)=0однородное относительноx,y^/,…..,y⁽ⁿ⁾допускает понижение на 1 при замене, то естьF(x,ty,ty^/,…..,ty⁽ⁿ⁾)=t^mF(x,y,y^/,…..,y⁽ⁿ⁾).

Пример.

3y^/2 = 4yy^// + y^,2, разделим на y²

, , тогда

или ;, тогда получим

3z²-4z²-4z^/=1

или –4z^/=1+z², то есть

…

21.2.

Уравнение

y^//+py^/+qy=f(x) (1),

где p = p(x), q=q(x) и f(x) – непрерывные функции в интервале (a,b) называется неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, p,q – его коэффициенты.

Если f(x) = 0, то уравнение будет иметь вид

y^//+qy^/+qy=0 (2)

– называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Если уравнение (2) имеет те же коэффициенты, как (1), то оно называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (1).

Функции у₁ и у₂ называются линейно независимыми в интервале (a,b), если только при условии, что.

Справедлива следующая

Теорема. Если у₁ и у₂ – линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка (2), то общее решение этого уравнения имеет вид:

y=C₁y₁+C₂y₂, где С₁ и С₂ - произвольные постоянные.