Лекция 22. Дифференциальные уравнения с частными производными. Основные понятия. Линейные уравнения n-го порядка с частными производными первого порядка.
Дифференциальным уравнением с частным производным называется равенство, связывающее неизвестную функцию от нескольких переменных, эти переменные и частные производные от неизвестной функции по независимым переменным.
Порядком дифференциального уравнения с частными производными называется порядок старшей частной производной, входящей в это уравнение.
Например, если u=u(x,y), то в общем случае дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка имеет вид
(1)
второго порядка
(2)
где F– известная функция.
Решением уравнений (1), (2) называется всякая функция u=(x,y), обращающая эти уравнения в тождество.
Как известно общие решения обыкновенных дифференциальных уравнений содержат произвольные постоянные. Для дифференциальных уравнений с частными переменными их общее решения включают произвольные функции.
Примеры.
Найти функцию z=z(x,y) удовлетворяющую функцию:
интегрируя получим
,z=x+(y),где(y)– произвольная функция.
2)
,
гдеz=z(x,y).
Дважды интегрируя поуполучаем
,
где(х) и(х)–
произвольные функции.
3)
интегрируя пох:
.
Проинтегрируем по у:
или
,
где
Дифференциальное уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и всех ее частных производных.
Первого порядка:
(3),
где X,Y, иZz - функцииy,x, и z
Для его решения составляем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
(4)
Иногда систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению, содержащему одну неизвестную функцию. Это может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (метод исключения). В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения (метод интегрируемых комбинаций), что позволяет найти решение системы. Пусть решения системы (4) определяются равенством
Тогда общее решение уравнения (3) имеет вид
,
где
- произвольная непрерывно дифференцируемая
функция.
Пример.
Рассмотрим систему:
Тогда общее решение
или
,
где- произвольная
функция.
Для физических приложений особый интерес представляют линейно дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Важнейшие из них:
волновое уравнение
- встречается при изучении колебательных
процессов.Уравнение теплопроводности
- описывает процессы распространения
тепла.Уравнение Лапласа
- приводят задачи об электрических
магнитных полях, о стационарном и
тепловом состоянии задач гидродинамики,
диффузий.