1.11 Сучасні тенденції у розвитку засобів економіко-математичного моделювання

Складність економічних систем і велика кількість факторів, більшість з яких або суперечлива, або знаходиться в зоні ризику, або невизначена і потребує використання спеціальних методів моделювання світогосподарських процесів. Все більшего значення набуває необхідність використання якісних чинників, які не припускають числового вимірювання. Набуває розвитку методи врахування величин, які не мають чіткого уявлення і розглядаються як нечітки множини.

Задачі прийняття рішень. Будь-яка задача прийняття рішень характеризується наступними елементами:

Особа, що приймає рішення (ОПР) і повинна відповідати за наслідки цих рішень.

Множина змінних, значення яких вибираються ОПР. Будемо називати їх керуючими впливами або стратегіями.

Множина змінних, значення яких залежать від вибору стратегій. Їх будемо називати вихідними змінними (характеристиками прийняття  рішень або исходами рішень).

Множина змінних, значення яких не регулюються ОПР. Ці змінні можуть залишатися певними при рішенні тієї або іншої задачі, і тоді їх називають параметрами задачі. В інших випадках вони можуть змінюватися незалежно від ОПР і тоді вони є збурюваннями (зовнішнім середовищем).

Задано інтервал часу Т, на якому приймається рішення в даній задачі (ситуації).

Математична модель задачі прийняття рішень, що являє собою множину співвідношень, які зв'язують стратегії (керуючий вплив) і параметри задачі з вихідними змінними.

Обмеження відображають вимоги, що накладаються ситуацією прийняття рішень на вихідні змінні й стратегії задачі.

Цільова функція (критерій оптимальності), що дає можливість оцінювати властивості обраного рішення. При цьому цільова функція може залежати від стратегій відповідно до  математичної моделі задачі прийняття рішень.

Формалізація задачі прийняття рішень. Для формалізації задачі прийняття рішень введемо наступні позначення:

X - множина векторів стратегій;

P – множина векторів параметрів задачі;

 - множина векторів зовнішніх збурювань (стан зовнішнього середовища);

Y – множина векторів вихідних змінних.

Математична модель задачі прийняття рішень описується відображенням y вида:

. (1.12.1)

Залежно від виду відображення існують різні типи моделей. Так, залежно від ступеня мінливості параметрів і зовнішніх збурювань, моделі можуть бути статичними або динамічними. Якщо параметри P й зовнішні збурювання   не змінюються в часі, то математична модель буде статичною. У противному випадку, маємо динамічну модель ситуації прийняття рішень. Відображення y, що  описує динамічну модель, може бути задано різними класами диференціальних і кінцево-різнисних рівнянь.

Математичні моделі різняться також видом зовнішніх збурювань, які можуть бути як детермінованими ,так і випадковими.

Якщо збурювання невипадкові, то їх можна віднести до параметрів задачі, і тоді детермінована модель буде описуватися відображенням виду

. (1.12.2)

Якщо ж збурювання є випадковими, то маємо стохастичну модель задачі прийняття рішень, яка описується загальним відображенням (1.12.1). У цьому випадку вихідні змінні будуть також випадковими, їх розподіл при заданих параметрах P  будуть визначатися розподілами зовнішніх збурювань.

Залежно від умов зовнішнього середовища й ступеня інформованості особи, яка приймає рішення, існує така класифікація завдань прийняття рішень: а) в умовах визначеності; б) в умовах ризику; в) в умовах невизначеності; г) в умовах конфліктних ситуацій або протидій (активного супротивника).

Прийняття рішень в умовах визначеності Прийняття рішень в умовах визначеності характеризується однозначним або детермінованим зв'язком між прийнятим рішенням і його результатом. Головні труднощі – це наявність багатьох критеріїв, по яких варто порівнювати результати. Тоді виникає проблема прийняття рішень при так званому векторному критерії оптимальності. Рішення багатокритеріальних задач знаходиться в кружині деякої оптимальної точки. Сукупність значінь всіх критеріїв, які складають оптимальне рішення зветься Парето множиною.

Прийняття рішень в умовах ризику. Задача виникає у тому випадку, коли з кожною стратегією x_i пов’язана множина можливих результатів { y₁, y₂,…,y_n }, кожен з яких має свою корисність { u_i1, u_i2,…,u_in }. Для кожного результату визначена ймовірність P(y_j(x_i)). Формально модель задачі можна уявити у вигляді матриці:

,

де: u_ij – корисність результату y_j при використанні стратегії x_i .

Таблиця 1.12.1 Таблиця рішень в умовах ризику
	y1	y2	…	yj	…	yn
x1	u11	u12	…	u1j	…	u1n
…	…	…	…	…	…	…
xi	ui1	ui2	…	uij	…	uin
…	…	…	…	…	…	…
xm	um1	um2	…	umj	…	umn

Хай апріорно визначені умовні ймовірності P ( yj|xi ), i = 1,m, j = 1,n. Запровадимо очікувану корисність для кожної стратегії:

Правило визначення оптимальної стратегії:

, (1.12.3)

Приклад 1.

Прийняття рішень в умовах невизначеністі. В умовах невизначеністі система, яка досліджується може знаходитися в одном з становищ S₁, S₂, …, S_k , які не відомі ОПР. Математичну модель задачі прийняття рішень в умовах невизначеністі можна сформулюювати натупним чином.

Візьмемо матрицю U розмірністю mn (таблиця 1.12.1). Елемент цієї матриці u_ij можна розглядати як корисність результату y_j при використанні стратегії x_i :

u_ij = u (y_j, x_i), j = 1,n, i =1,m.

В залежності від стану природи S_k результат y_j досягається з ймовірностю P(S_k,y_j|x_i). Крім того, ОПР не має інформації про апріорні ймовірності P(S_k). ОПР може деякі гіпотези про стан природи, які називають суб’єктивними ймовірностями. Якщо величіна P(S_k) була би відома ОПР, то це була бі математична задача пошуку рішень в умовах ризику.

В умовах, якщо ОПР не має інформації про стан природи і не визначено розподіл ймовірностей {P(S_k)} k=1,K , існуєть декілька критеріїв щодо вибору оптимальної стратегії.

Критерій Вальда (критерій обережного спостірегача). Цей критерій оптимізує корисність при найгіршому стані, в якому може знаходитись природа для спостеригача. За даним критерієм правили прийняття рішень має наступний вигляд:

,

де:

. (1.12.4)

За критерієм Вальда обирають стратегію, яка надає гарантований виграш при найгіршому варіанті стану природи.

Критерій Гурвиця заснован на наступних двух припущеннях: якщо обрати деякий коефіцієнт довіри -, то природа може знаходитися в найгіршому стані з ймовірністю 1-, а у найвигіднішому – з ймовірностю . За цім критерієм правило прийняття рішень має наступний математичний вигляд:

, (1.12.5)

Якщо  = 0, то отримуємо критерій Вальда. Якщо  = 1, то отримуємо правило, яке має назву стратегії оптиміста. Правило має математичний вигляд:

.

Критерій Лапласа. Якщо стан природи (зовнішнього середовища) невизначений, то вважається що будь-який стан має рівну ймовірність, тобто P(S₁) = P(S₂) = … = P(S_k) = 1/k . Тому правило прийняття рішення визначається співвідношенням (1.12.3).

Критерій Севіджа (критерій мінімізації жалів). Жаль - це вилічина, яка дорівнює виміру корисності рішення (результата) при даному поточному стані середовища відносно найкращого можливого стану (для даного рішення). Для того, щоб визначити жаль, виконують наступні процедури.

Обчислюють матрицю , деu_ik=u(x_i, S_k), i=1,m , k=1,k. У кожному стовпці цій матриці знаходять максимальний елемент:

, k=1,K

Його відраховують від усіх елементів стовпця. Потім будують матрицю жалів:

,

де: .

Правило обрання оптимальної стратегії відповідно до критерію Севіджа записується наступним чином:

.

Вибір критерію прийняття рішень є найбільш складним і відповідальним етапом при прийнятті рішень в умовах не визначеністі. При цьому не існує яких-небудь загальних рекомендацій. Вибір критерію повина робити ОПР на найвищому рівні ієрархії й у максимальному ступені погоджувати його зі специфікою конкретної задачі й своїми цілями. Зокрема, якщо приймається дуже відповідальне рішення й навіть мінімальний ризик неприпустимий, те варто використовувати критерій Вальда – гарантованого результату. Навпаки, якщо певний ризик допустимо й керівництво фірми (замовник) готово вкласти в намічувану операцію стільки засобів, скільки потрібно, щоб потім не шкодувати за втраченою вигодою, то вибирають критерій Сэвиджа.

При відсутності достатньої інформації для вибору того або іншого критерію можливим є альтернативний підхід, повязаний з обчисленням імовірностей (шансів) успіху й невдачі на основі минулого досвіду.

Приклад 1.

Судова компанія планує організацію перевезень туристів на літній сезон. Кількість лайнерів, які треба зафрактувати, а також кількість екіпажів, з якими треба заключити контракт і підготувати до наступної весняно-літньої навігації, є величини змінні, які визначаються фактичною потребою в пасажироперевезеннях в даний сезон. Положемо, що воно може мати значення 10, 20, 30, 40 і 50 суден. Фактична потреба у пасажироперевезенях є випадковою величиною, яка залежить від багатьох невідоміх факторів. Судова компанія склала смету експлуатаційних витрат і визначила розмір доходів від виконання плана перевезень в залежності від кілкості зафрахтованих параходів x_i та фактичної потреби в перевезеннях для повного задоволення потреб пасажирів у перевезеннях S. Розраховані значення очикуємого доходу для усіх можливих значень x_i та S_k наведені в таблиці 1.12.2.

Таблиця 1.12.2. Значення очикуємого доходу

Sk xi		Потреба в судах для забезпечення перевезень
		10	20	30	40	50
Зафрахтовано суден	10	60	60	60	60	60
	20	10	110	110	110	110
	30	-48	30	160	160	160
	40	-100	-50	200	240	240
	50	-150	-100	50	200	340

Треба визначити оптимальну кількість параходів x_opt , які треба зафрактувати для одержання максимального доходу.

Відповідно до критерію Вальда оптимальна кількість параходів дорівнює x_opt = x₁ = 10.

Відповідно до критерію Лапласа оптимальна кількість параходів буде визначатися наступним чином:

x_opt = x₄ = 40.

Відповідно до критерію Гурвиця оптимальне рішення визначається на підставі умови:

.

Побудуємо таблицю очикуємих прибутків за критерієм Гурвіця (Табл..1.12.3). Значення в таблиці розраховуються за правилом:

.

Таблиця 1.12.3. Значення очикуємих прибутків за критерієм Гурвіця

 xi		Значення  (0    )
		0,1	0,2	0,5	0,8	0,9
Зафрахтовано суден	10	60	60	60	60	60
	20	20	30	60	90	100
	30	-27,2	-6,4	56	118,4	139,2
	40	-66,1	-32	70	172	206
	50	-101	-52	95	242	291

Тоді оптимальна кількість параходів в залежності від  має натупні значення (Табл. 1.12.4)

Таблиця 1.12.4 оптимальна кількість параходів в залежності від .

	0,1	0,2	0,5	0,8	0,9
xopt	10	10	50	50	50

Для визначення оптимальної кількості за критерієм Севіджа будується матриця жалів (Табл.1.12.5)

Таблиця 1.12.5. Матриця жалів

Sk xi		Потреба в судах для забезпечення перевезень
		10	20	30	40	50
Зафрахтовано суден	10	0	-50	-140	-180	-280
	20	-50	0	-90	-130	-230
	30	-108	-80	-40	-80	-80
	40	-160	-160	0	0	-100
	50	-210	-210	-150	-40	0

Розраховуваємо: , звідкиx_opt = 30

Таким чином, треба зробити вибір між наступними рішеннями:

За критерієм Вальда треба зафрактувати 10 параходів;

За критерієм Гурвіця – 10 параходів, якщо керівництво компанії має песимістичні погляди або 50 – якщо оптимістичні;

За критерієм Севіджа варто зафрактовати 30 параходів.

Вибір рішення залежить від обраного критерію в умовах невизначеністі.