1.2.3 Перевірка точності знайденої емпіричної формули.
Після того, як повністю визначено функцію залежності можна знайти оцінку відповідності визначеної функціональної залежності з результатами спостережень. Для цього розраховується середньоквадратична похибка, яку будемо визначати :
,
Чем менш , тім блище наближаються результати спостережень до заданої емпіричної кривої. Обчислення средньоквадратиної похибки має суттєве значення при порівняні декількох моделей. Краща модель має найменше значення похибки .
Приклад 1. Організація має 300 кг. металу, 100 м2 скла та 160 чол.год робочого часу. Для виготовлення виробу А потрібно 4 кг. металу, 2 м2 скла і 2 чол.год. робочого часу. Для виготовлення виробу В потрібно 5 кг. металу, 1 м2 скла і 3 чол.год. робочого часу. Прибуток від реалізації А складає 10 у.о., а В – 12 у.о. Треба спланувати випуск продукції так, щоб прибуток був максимальним.
Рішення:
Визначимо невідомі величини, які потрібно знайти. Нехай x1 і x2 – кількість вробів А і В відповідно, тобто план виготовлення, який треба знайти. Прибуток від реалізації продукції буде визначатися лінійною формою:
F = 10x1 + 12 x2 max
при обмеженнях на ресурси виробництвапо металу, склу та трудовим ресурсам відповідно до технологічних норм,
4x1 + 5x2 300
2x1 + x2 100
2x1 + 3x2 160
x1 0; x2 0
Це типова задача лінійного програмування.
Приклад 2. На двох складах зберегається 12т. та 15т. товару який треба перевезти до трьох крамниць (до 1-й крамниці – 8т., до 2-й крамниці – 10т., до 3-й крамниці – 9 т.). Необхідно скласти оптимальний план перевезень якщо вартість перевезення в у.о. 1т. товару зі складів до крамниць наведено в таблиці:
Таблиця 1.1.1
|
Крамниці Склади |
Крамниця 1 |
Крамниця 2 |
Крамниця 3 |
|
Склад1 |
30 |
46 |
32 |
|
Склад2 |
20 |
53 |
40 |
Рішення:
Позначимо через x1, x2, x3 - кількість товару, який треба перевезти з першого складу відповідно до крамниці 1, крамниці 2, крамниці 3, а через x4, x5, x6 - кількість товару, який треба перевезти з другого складу відповідно до крамниці 1, крамниці 2, крамниці 3.
У математичному вигляді умови розподілу товарів зі складів до крамниць можна записати двома рівнянями:
x1 + x2 + x3 = 12
x4 + x5 + x6 = 15
x1 + x4 = 8
x2 + x5 = 10
x3 + x6 = 9
До цієї системи треба додати умови для значень xi 0 i = 1,2,…,6,яки означають, що товар не повертається на склади. Цільова функція буде мати вид:
F(x) = 30 x1 + 46 x2 +32 x3 + 20 x4 + 53 x5 + 40 x6 min
Таким чином, економіко-математична модель задачі складається з цільовой функції і обмежень. Даний приклад являє собою транспортну задачу.
1.3 Загальний вигляд задачі лінійного програмування
Загальна постановка задачі лінійного програмування в канонічному виді вимагає знайти значення змінних x1, x2, …, xn, які забезпечують найменше значення цільової функції
f(x1, x2, …, xn) = c0 + c1x1 + c2 x2 + … + cn xn, (1.3.1)
і задовольняють системі лінейних рівнянь
a11x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
………………………………. (1.3.2)
am1x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
Прі цьому m < n та всі невідомі хі (і=1,2,..., n) 0 (1.3.3)
Набір змінних x1, x2, …, xn, які зодовільняють вимогам (1.3.2), (1.3.3) звуться припустимим рішенням. Припустиме рішення, при якому цільова функція має найменше значення є оптимальним рішенням.
Полагаємо, що всі рівняння системи (1.3.2) лінійно незалежні, а система совмесна. Необхідними умовами існування рішення в задачі оптимізації є співвідношення m < n. При m=n система має тільке одне рішення, що виключає можливість оптимізації. При m > n не виконуються положення, які прийняти вище.