Граничные условия для нормальных составляющих

Определим соотношение между нормальными составляющими поля. Для этого построим на плоской границе раздела цилинд, охватывающий обе среды (рис 19).

Рисунок 19 – К определению граничных условий нормальных составляющих

Считаем, что . Основания цилиндров лежат в разных средах. Цилиндр настолько мал, что внутри него величины и направления полей в каждой из сред можно считать неизменными. На поверхностив бесконечно тонком слое может в общем случае находиться поверхностный заряд с плотностью:

, откуда .

Применим к поверхности цилиндра теорему О-Г.

С учетом направления нормали имеем:

. (84)

При поток вектора через боковую поверхность будет бесконечно малым и им можно пренебречь. После интегрирования и сокращения на∆S = ∆S₁ = ∆S₂ получим:

. (85)

Из выражения (85) следует, что нормальная составляющая вектора электрической индукции при переходе через границу поверхности при наличии зарядов на ней претерпевают скачок, численно равный поверхностной плотности электрического заряда.

Физически это обусловлено тем, что заряд, расположенный на поверхности, создаёт собственное поле, ориентированное таким образом, что по одну сторону от границы раздела это поле складывается с внешним полем, а по другую вычитается.

При отсутствии на поверхности С зарядов (ρ=0) нормальные составляющие вектора эл. индукции на границе двух сред непрерывны, а нормальные составляющие вектора терпят скачок.

; . (86)

Из четвёртого уравнения Максвелла следует:

.

Аналогично предыдущему получаем:

, ;. (87)

Если , то,.

Выводы. Нормальная составляющая вектора магнитной индукции при переходе через границу двух сред не изменяется, а напряжённость магнитного поля на границе испытывает скачок. Для идеального проводника Нn = 0, т.е. магнитные силовые линии всегда касательны к поверхности идеального проводника.

Граничные условия для тангенсальных составляющих

Для определения тангенсальных составляющих поля рассмотрим контур l, плоскость которого перпендикулярна поверхности S (рис 20). Введём обозначения:

₁₁

₂₂

• –нормаль к плоскости S;

• –нормаль к площади S;

• = единичный касательный вектор;

• → направление обхода контура.

Рисунок 20 – К определению граничных условий тангенсальных составляющих

Предположим, что по поверхности S протекает ток j_s в направлении . Применим к рассмотренному контуру закон полного тока. С учетом направления обхода контура имеем:

.

Здесь необходимо рассмотреть два случая.

1. параметры граничащих сред является конечными, т.е. ≠ ∞. При ∆h→0 циркуляция вектора по боковым сторонам→ 0 и

т.к. , (88)

с учетом этого выражения после интегрирования и сокращения на ∆l имеем:

, или , или. (89)

Таким образом, при конечных значениях параметров граничащих сред тангенсальные составляющие векторов напряжённости магнитного поля непрерывны. А тангенсальные составляющие векторов магнитной индукции терпят скачок.

2) проводимость одной из граничащих сред бесконечна σ1 = ∞. При σ → ∞, на любой частоте. В результате токи проводимости протекают по поверхности нулевой толщины, поэтому (88) даёт отличный от нуля результат. Следовательно:

. (90)

После интегрирования и сокращения на ∆l имеем

. (91)

Внутри идеального проводника составляющие электромагнитного поля равны 0. Поэтому иподставляя выражение для вектораимеем:

, после циклической перестановки имеем: или

. (92)

Рисунок 21 – К определению поверхностного тока

Выражение (92) позволяет определить плотность поверхностного тока по известному магнитному полю на границе идеального проводника.Поверхностный ток протекает в направлении, перпендикулярном вектору и численно равен напряженности магнитного поля.

Для определения тангенсальных составляющих электрического поля применим к рассматриваемому контуру закон электромагнитной индукции

. (93)

При т.к..

После интегрирования и сокращения на ∆l имеем:

, (94)

Откуда

, .

Из выражения 94 следует, что тангенсальные составляющие вектора напряжённости электрического поля на границе раздела сред непрерывны, а вектор электрической индукции претерпевают разрыв.

Если среда 1 идеальный проводник (σ₁ = ∞), то Е₁ = 0. Таким образом, граничное условие для идеального проводника имеет вид: Е_t = 0. Силовые линии электрического поля всегда нормальны (┴) к поверхности идеального проводника.

У реального проводника на границе раздела имеется тангенсальная составляющая, но она весьма мала, и её во многих случаях можно не учитывать.

Таким образом:

, если, то

, ,

, , (94)

, для идеальных проводников

, .