M04502

51

г) рівняння регресії Х на У.

8. Щільність ймовірності двовимірної випадкової величини (Х,У):

( ) ìcxy (x, y)Î D

f x, y = íî0, (x, y)Ï D D : (y £ x, y ³ 0;0 £ x £ 1)

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії Х на У.

Варіант 12

1. При штампуванні 9 % деталей йде в брак. Знайти закон розподілу випадкової величини Z - числа бракованих деталей у

вибірці із 6 штук. Знайти mx ,σx ,F(x).

2. В ящику 7 валів, із них 3 браковані. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа придатних валів у вибірці із 4-х штук. Знайти mx ,σx ,F(x).

3.У машині за 9150 годин роботи виходить із ладу 27 вузлів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 150 годин і надійність машини за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,1. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 11 та дисперсія D(x) = 9.

5. Щільність розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £ 4;

наступним чином: f (x) = ïía(4 - x)2 , 4 < x £ 5;

ïî0, x > 5.

Знайти: а) параметр а; б) функцію розподілу F(x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на інтервал [4,2; 4,3]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

6. Похибка вимірювання є нормальна випадкова величина Х з m = 0, σ = 5 . Знайти ймовірності Р(|x|<2), P(1<x<2).

y\x	1,8	1,9	2,0	2,1
2,8	0,01	0,02	0,04	0,04
2,9	0.01	0,22	0,13	0,04

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

					52
					7. Дана двовимірна дискретна
3,0	0,065	0,145	0,1	0,08
3,1	0,015	0,035	0,03	0,02	випадкова величина (Х, У). Знайти:

а) граничні закони випадкової величини Х та У; б) умовний закон випадкової величини У при Х=2;

в) числові характеристики mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння регресії У

на Х.

8. Щільність ймовірності випадкової величини (X, Y)

f (x, y)= íìc(xy -1),(x, y)Î D	, D :{(x.y),1< x < 2,1< y < 2}.
0,(x, y)Ï D
î

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії У на Х.

Варіант 13

1. При штампуванні 5% деталей йде в брак. Вибрано 7 деталей. Знайти закон розподілу випадкової величини У - число бракованих деталей у вибірці. Знайти mx ,sx ,F(x).

2. Серед 8 шарів 3 білих. Вибрано 5 шарів. Знайти закон розподілу випадкової величини Z – числа білих шарів у вибірці. Знайти mx ,sx ,F(x).

3.У приладі за 4200 годин реле відказує 11 разів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 60 годин і надійність приладу за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,9. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 4 та дисперсія D(x) = 9.

5. Функція розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £ 0;

наступним чином: F(x) = ïía(x2 - 2x), 0 < x £ 2;

ïî1, x > 2.

Знайти: а) параметр а; б) щільність розподілу f (x);в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на відрізок [1; 1,5]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

53

6.		Довжина валу є нормальна випадкова величина з m = 210 ,
σ = 5 . Знайти ймовірності Р( |x-m|<2 ),							P( 209<x<214)
7. Дана двовимірна дискретна випадкова величина (Х, У). Знайти:
						а)	граничні	закони випадкової
y\x		2,9	3,0	3,1	3,2
						величини Х		та У; б) умовний
3,9		0,01	0,02	0,04	0,04
						закон випадкової величини Х
4,0		0,005	0,215	0,125	0,035
						при У=4,1;
4,1		0,065	0,125	0,105	0,105
						в)	числові	характеристики
4,2		0,02	0,04	0,03	0,02
						mx ,my ,σx ,σ y ,ρxy ; г) рівняння

регресії У на Х.

8. Щільність ймовірності випадкової величини (Х,У):

( ) ìc (x, y)Î D

f x, y = íî0, (x, y)Ï D D : (- x £ y £ x, 0 £ x £ 1)

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії X на Y.

Варіант 14

1. При штампуванні 5% деталей йде в брак. Вибрано 7 деталей. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа бракованих

деталей у даній вибірці. Знайти mx ,σx ,F(x).

2. В ящику 9 валів, із них 3 браковані. Вибрано 5 валів. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа бракованих валів у даній вибірці. Знайти mx ,σx ,F(x).

3.За 9800 годин автомат відмовляє 17 раз. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 200 годин і надійність автомата за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2.	Відомо, що ймовірність появи значення x1		дорівнює
p1 = 0,3. Знайти	розподіл випадкової величини Х, якщо		відомо її
математичне сподівання M (x) = 5,5 та дисперсія D(x) = 5,25.
5. Щільність розподілу неперервної випадкової величини задана
		ì0, x £ 0;
наступним чином:		f (x) = íïax4 , 0 < x £ 5;
		ï
		î0, x > 5.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

54

Знайти: а) параметр а; б) функцію розподілу F(x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на інтервал [3; 4];д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

6.	Діаметр валу є нормальна випадкова величина Х з
m = 210, σ = 5 . Знайти ймовірність P( 200<x<208 ).
7.	Дана двовимірна дискретна випадкова величина (Х, У). Знайти:

y\x	1,3	1,4	1,5	1,6
2,3	0,01	0,02	0,04	0,04
2,4	0,01	0,22	0,13	0,04
2,5	0,065	0,125	0,105	0,105
2,6	0,015	0,035	0,025	0,015

а) граничні закони випадкової величини Х та У; б) умовний закон випадкової величини У при Х=1,5;

в) числові характеристики mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння

регресії Х на У.

8. Щільність ймовірності випадкової величини (х,у):

( ) ìcx(x + y -1),(x, y)Î D

f x, y = íî0,(x, y)Ï D , D :{(x.y),0 < x,0 < y, x + y <1}.

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії Y на X.

Варіант 15

1. При штампуванні ймовірність браку 17 %. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа бракованих деталей у

вибірці із 8 штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

2. В ящику 8 валів, із них 3 браковані. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа придатних валів у вибірці із 4-х штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

3.У машині за 1310 годин роботи виходить із ладу 19 вузлів.. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 120 годин і надійність машини за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,4. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 8 та дисперсія D(x) = 24.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

55

5. Функція розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £ 0;

наступним чином: F(x) = ïía(x2 - 3x), 0 < x £ 3;

ïî1, x > 3.

Знайти: а) параметр а;б) щільність розподілу f (x);в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на відрізок [1; 2]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

6. Похибка вимірювання є нормальна випадкова величина Х з m = 0,σ = 7 . Знайти ймовірності

		y/x	1,9	2,0	2,1	2,2	Р(|x|<4), P(2<x<5).
		2,9	0,017	0,027	0,047	0,047
							7.	Дана	двовимірна
		3,0	0,003	0,089	0,123	0,033
							дискретна випадкова величина.
		3,1	0,122	0,12	0,1	0,1
							Знайти: а) граничні закони
		3,2	0,02	0,04	0,092	0,02
							випадкової величини Х та У; б)
	умовний закон ВВ Х при У=3;
		в)	числові характеристики mx ,my ,σx ,σ y ,ρxy ;						г) рівняння
	регресії У на Х.
		8. Щільність ймовірності випадкової величини (Х,У):
				f (x, y) = íìc (x + 2)y (x, y)Î D
					î0, (x, y)Ï D D : (0 £ y £ 3, 0 £ x £ 1)
		Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії						Х на У.
						Варіант 16
		1. У ящику 10%			бракованих деталей . Знайти закон розподілу

випадкової величини Х - числа придатних деталей у вибірці із 8 штук. Знайти mx ,σx ,F(x).

2. Серед 10 шарів 6 білих. Вибрано 4 шари. Знайти закон розподілу випадкової величини Х числа білих шарів в вибірці. Знайти

mx ,σx ,F(x).

3.В приладі за 9700 годин реле відмовляє 16 разів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 80 годин і надійність приладу за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

56

дорівнює p1 = 0,5. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 5,5 та дисперсія

D(x) = 12,25.

5. Щільність розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £ 3;

наступним чином:

f (x) = íïa(x - 3), 3 < x £ 6;

ï

î0, x > 6.

Знайти: а) параметр а;

б)

y\x

1,1

1,2

1,3

1,4

функцію

розподілу

F(x);

в)

2,1

0,01

0,02

0,045

0,035

параметри розподілу М(х); σ(х); г)

2,2

0,01

0,22

0,135

0,035

ймовірність попадання

випадкової

2,3

0,06

0,12

0,105

0,095

величини х на інтервал [3; 4]; д)

2,4

0,02

0,04

0,035

0,015

побудувати графіки функцій

f (x)

і F(x).

6.

Довжина

валу

є

нормальна

випадкова

величина

Х

з

m = 200, σ = 10 . Знайти ймовірності Р( |x-200|<5 ), P( 202<x<208).

7. Дана двовимірна дискретна випадкова величина (Х, У). Знайти:

а) граничні закони випадкової величини

Х

та У; б) умовний закон

випадкової

величини

У

при

Х=1,2;

в)

числові

характеристики

mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння регресії У на Х.

8.Щільність ймовірності випадкової величини (Х, У):

ì					2	,(x, y)Î D , D :{(x.y),
f (x, y)= íïc		x		y			x	<1,	y	<1}.
ï
î0,(x, y)Ï D
Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії Y на X.
						Варіант 17

1. При штампуванні 13% деталей йде в брак. Вибрано 7 деталей. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа бракованих

деталей у даній вибірці. Знайти m,s,F(x).

2. В ящику 9 валів, із них 4 браковані. Вибрано 3 вали. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа бракованих валів у

даній вибірці. Знайти m,s,F(x)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

57

3.За 1470 годин автомат відмовляє 18 разів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 100 годин і надійність автомата за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,6. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 3,2 та дисперсія D(x) = 2,16.

5. Функція розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £ 0;

наступним чином: F(x) = ïía(x3 - 3x2 ), 0 < x £ 3;

ïî1, x > 3.

Знайти: а) параметр а; б) щільність розподілу f (x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на відрізок [1; 2]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

6. Діаметр валу є нормальна ВВ Х з m = 300, σ = 7 . Знайти

ймовірність P( |x-300|<2 ).

7. Дана двовимірна дискретна випадкова величина. Знайти: а)

y\x	1,7	1,8	1,9	2,0
2,7	0,01	0,02	0,04	0,04
2,8	0,01	0,22	0,13	0,04
2,9	0,05	0,125	0,12	0,105
3,0	0,015	0,035	0,025	0,015

граничні закони випадкової величини Х та У; б) умовний закон випадкової величини Х при У=2,9;

в) числові характеристики mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння

регресії Х на У.

8. Щільність ймовірності випадкової величини (х,у):

( ) ìc x(y +1) (x, y)Î D

f x, y = íî0, (x, y)Ï D D : (y ³ x, y £ 2, x ³ 0)

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії Y на X.

Варіант 18

1. При штампуванні ймовірність браку 7 %. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа бракованих деталей у

вибірці із 6 штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

58

2. В ящику 10 валів, із них 4 браковані. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа придатних валів у вибірці із 5 штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

3.У машині за 1210 годин роботи виходить із ладу 26 вузлів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмовв за 85 годин і надійність машини за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,7. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 5 та дисперсія D(x) = 21.

5. Щільність розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £1,5;

наступним чином: f (x) = ïía(2x - 3), 1,5 < x £ 3;

ïî0, x > 3.

Знайти: а) параметр а; б) функцію розподілу F(x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на інтервал [1; 2]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

	6. Похибка вимірювання є нормальна випадкова величина Х з
					m = 0, σ = 2.	Знайти	ймовірності
y\x	1,5	1,6	1,7	1,8
2,5	0,005	0,025	0,04	0,04	Р(|x|<3), P(1<x<7).
2,6	0,005	0,225	0,13	0,04	7. Дана двовимірна дискретна
2,7	0,055	0,125	0,1	0,1	випадкова величина. Знайти: а)
2,8	0,015	0,045	0,03	0,02	граничні	закони	випадкової

величини Х та У; б) умовний закон випадкової величини Х при У=2,9; в) числові характеристики

mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння регресії У на Х.

8.Щільність ймовірності випадкової величини (х,у):

( ) ìc x(y +1) (x, y)Î D

f x,y = íî0, (x, y)Ï D D : (x + y £1, x ³ 0, y ³ 0)

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії Х на У.

Варіант 19

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

59

1. У ящику 10% бракованих деталей . Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа придатних деталей у вибірці із 6 штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

2. Серед 9 шарів 6 білих. Вибрано 5 шарів. Знайти закон розподілу випадкової величини Х числа білих шарів в вибірці. Знайти

mx ,sx ,F(x).

3.В приладі за 3500 годин реле відмовляє 17 разів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 80 годин і надійність приладу за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2.	Відомо, що ймовірність появи значення x1		дорівнює
p1 = 0,8. Знайти	розподіл випадкової величини Х, якщо		відомо її
математичне сподівання M (x) = 3,6 та дисперсія D(x) = 10,24
5. Функція розподілу неперервної випадкової величини задана
		ì0, x £ 5;
наступним чином:		F(x) = íïa(x - 5), 5 < x £ 7;
		ï
		î1, x > 7.

Знайти: а) параметр а; б) щільність розподілу f (x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на відрізок [6; 6,5]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

6. Довжина валу є нормальна випадкова величина Х з m = 150,

σ= 4 . Знайти ймовірності Р( |x-150|<2 ), P( 140<x<156).

7.Дана двовимірна дискретна випадкова величина. Знайти: а)

y\x	2,7	2,8	2,9	3,0
3,7	0,006	0,016	0,036	0,036
3,8	0,014	0,224	0,134	0,044
3,9	0,06	0,12	0,1	0,1
4,0	0,02	0,04	0,03	0,02

граничні закони випадкової величини Х та У; б) умовний закон випадкової величини Х при У=3,9;

в) числові характеристики mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння

регресії Х на У.

8. Щільність ймовірності випадкової величини (х,у):

ì	2	y	2	(x, y)Î D
f (x, y) = íïcx
ï		(x, y)Ï D D : (y £ x, x £ 2, y ³ 0)
î0,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

60

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії Х на У.

Варіант 20

1. При штампуванні 16 % деталей йде в брак. Вибрано 6 деталей. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа бракованих

деталей у даній вибірці. Знайти mx ,σx ,F(x).

2. В ящику 7 валів, із них 4 браковані. Вибрано 5 валів. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа бракованих валів у даній вибірці. Знайти mx ,σx ,F(x).

3.За 4300 годин автомат відмовляє 9 разів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 200 годин і надійність автомата за цей час.

4.Довжина валу є нормальна випадкова величина Х з m = 200 ,

σ= 10 . Знайти ймовірності Р( |x-200|<5 ), P( 202<x<208).

5.Щільність розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £ 4;

наступним чином: f (x)= ïía(4 - x), 4 < x £ 8;

ïî0, x > 8.

Знайти: а) параметр а; б) функцію розподілу F(x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на інтервал [5; 6]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

6.Діаметр вала є нормальна випадкова величина Z з

m= 15, σ = 0,12 . Знайти ймовірність P( 11<z<14 ).

7.Дана двовимірна дискретна випадкова величина. Знайти: а)

											граничні	закони	випадкової
y/x	1,2		1,3			1,4			1,5
											величини	Х та У;	б) умовний
2,2	0,01		0,02			0,04			0,04
											закон випадкової величини Х при
2,3	0,01		0,22			0,13			0,04
											У=1,4; в) числові характеристики
2,4	0,065		0,115			0,1			0,1
											mx ,my ,σx ,σ y ,ρxy ;		г) рівняння
2,5	0,02		0,04			0,03			0,02
											регресії У на Х.
8. Щільність ймовірності випадкової величини (х,у):
		f (x, y)		ì			2	(y +1)		(x, y)Î D
				= íïcx
				ï0,				(x, y)Ï D D : (x + y £ 2, x ³ 0, y ³ 0)
				î

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії Х на У.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com