M04502

61

Варіант 21

1. При штампуванні ймовірність браку 0,2 %. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа бракованих деталей у

вибірці із 4-х штук. Знайти mx ,σx ,F(x).

2. В ящику 10 валів, із них 3 браковані. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа придатних валів у вибірці із 5 штук. Знайти mx ,σx ,F(x).

3.У машині за 1000 годин роботи виходить із ладу 10 вузлів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 100 годин і надійність машини за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,8. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 2,6 та дисперсія D(x) = 10,24.

5. Функція розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £ -1;

наступним чином: F(x) = ïía(x2 - 2x - 3), -1< x £ 1;

ïî1, x >1.

Знайти: а) параметр а; б) щільність розподілу f (x);в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на відрізок [1; 2];д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

6.Похибка вимірювання є нормальна випадкова величина Х з m = 3, σ = 2 . Знайти ймовірності Р(|x-3|<0,1), P(3,1<x<4).

7.Дана двовимірна дискретна випадкова величина. Знайти: а)

y/x	2,3	2,4	2,5	2,6
3,3	0,005	0,015	0,035	0,035
3,4	0,015	0,225	0,135	0,045
3,5	0,06	0,12	0,1	0,1
3,6	0,02	0,04	0,03	0,02

граничні закони випадкової величини Х та У;б) умовний закон випадкової величини Х при У=1,4;

в) числові характеристики

mx ,my ,σx ,σ y ,ρxy ;

г)

рівняння регресії У на Х.

8. Щільність ймовірності випадкової величини (х,у):

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

							62
ì						2	,(x, y)Î D , D :{(x.y),
f (x, y)= íïc		x			y			x	<1,	y	<1}.
ï
			(x, y)Ï D
î0,

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії Х на У.

Варіант 22

1. У ящику 6 % бракованих деталей . Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа придатних деталей у вибірці із 5 штук.

Знайти mx ,sx ,F(x).

2. Серед 5 шарів 3 білих. Вибрано 4 шари. Знайти закон розподілу випадкової величини Х числа білих шарів в вибірці. Знайти

mx ,sx ,F(x).

3.В машині за 8000 годин роботи ламається 12 вузлів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти ймовірність зупинки машини за 90 годин через поламку вузла.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,9. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 3,9 та дисперсія D(x) = 7,29.

5. Щільність розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £ 2;

наступним чином: f (x) = ïía(x4 -16), 2 < x £ 5;

ïî0, x > 5.

Знайти: а) параметр а; б) функцію розподілу F(x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на інтервал [3; 4]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

6. Відхилення довжини вала від

	y\x	2,4	2,5	2,6	2,7	стандарту 9,5 є нормальна випадкова
	6,2	0,06	0,07	0,09	0,09
						величина	Х	з σ = 0,3 . Знайти
	6,4	0,01	0,02	0,04	0,04
						ймовірність	P( 9,1<x<9,6).
	6,6	0,03	0,05	0,1	0,02
						7. Дана		двовимірна дискретна
	6,8	0,07	0,17	0,08	0,06
						випадкова	величина. Знайти: а)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

63

граничні закони випадкової величини Х та У; б) умовний закон випадкової величини Х при У=2,6; в) числові характеристики

mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння регресії У на Х.

8.Щільність ймовірності випадкової величини (х,у):

( ) ìcxy (x, y)Î D

f x, y = íî0, (x, y)Ï D D : (x + y £ 2, x ³ 1, y ³ 0)

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії У на Х.

Варіант 23

1. У ящику 9 % бракованих деталей . Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа придатних деталей у вибірці із 6 штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

2. Серед 6 шарів 3 білих. Вибрано 4 шари. Знайти закон розподілу випадкової величини Х числа білих шарів в вибірці. Знайти

mx ,sx ,F(x).

3.В машині за 6000 годин роботи ламається 12 вузлів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти ймовірність зупинки машини за 80 годин через поламку вузла.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,9. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 3,1 та дисперсія D(x) = 0,09.

5. Функція розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £ 5;

наступним чином: F(x) = ïía(x2 - 5x), 5 < x £ 6;

ïî1, x > 6.

Знайти: а) параметр а; б) щільність розподілу f (x); в) параметри

y\x	2,5	2,6	2,7	2,8
3,5	0,01	0,02	0,04	0,04
3,6	0,015	0,215	0,13	0,04
3,7	0,06	0,12	0,1	0,1
3,8	0,02	0,04	0,03	0,02

розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на відрізок [5,2; 5,4]; д) побудувати графіки функцій

f(x) і F(x).

6.Відхилення довжини вала

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

64

від стандарту 9,5 є нормальна випадкова величина Z з σ = 0,6 . Знайти

ймовірність P( 9<x<9,6).

7. Дана двовимірна дискретна випадкова величина (X,Y). Знайти: а) граничні закони випадкової величини Х та У; б) умовний закон розподілу випадкової величини У при Х=2,7; в) числові

характеристики mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння регресії Х на У. 8. Щільність ймовірності випадкової величини (Х, У):

ì	2	y (x, y)Î D
f (x, y) = íïcx
ï		(x, y)Ï D D : (x + y £ 2, x ³ 0, y ³ 1)
î0,

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії Х на У.

Варіант 24

1. При штампуванні 4 % деталей йде в брак. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа придатних деталей у вибірці із 7 штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

2. В ящику 7 валів, із них 3 браковані. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа придатних валів у вибірці із 4-х штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

3.В машині за 1000 годин роботи виходить із ладу 23 вузла. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 120 годин і надійність машини за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2.	Відомо, що ймовірність появи значення x1		дорівнює
p1 = 0,7. Знайти	розподіл випадкової величини Х, якщо		відомо її
математичне сподівання M (x) = 6 та дисперсія D(x) = 21.
5. Щільність розподілу неперервної випадкової величини задана
		ì0, x £1;
наступним чином:		f (x) = íïa(1- x),1 < x £ 7;
		ï
		î0, x > 7.

Знайти: а) параметр а; б) функцію розподілу F(x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на інтервал [2; 3]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

65

6.Похибка вимірювання є нормальна випадкова величина Х з m = 3,2 , σ = 0,2 . Знайти ймовірність Р(3,1<x<3,4), P(|x-3,2|<0,1).

7.Дана двовимірна дискретна випадкова величина (X, Y). Знайти:

y/x	2,1	2,2	2,3	2,4
3,2	0,02	0,01	0,045	0,035
3,3	0,22	0,01	0,135	0,035
3,4	0,12	0,06	0,105	0,095
3,5	0,04	0,02	0,035	0,015

а) граничні закони випадкової величини X та Y; б) умовний закон випадкової величини Х при У =3,5; в) числові характеристики mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння

регресії Х на У.

8. Щільність ймовірності випадкової величини (X,Y):

ìcy		(x, y)Î D
ï
f (x, y) = í x		(x, y)Ï D D : (x + y £ 2, x ³ 1, y ³ 0)
ï
î0,

Знайти: а) сталу С;б) рівняння регресії У на Х.

Варіант 25

1. При виготовленні деталей на автоматі 3% іде в брак. Знайти закон розподілу випадкової величин Х – числа придатних деталей в

вибірці з 5-ти штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

2. В ящику 6 однотипних деталей, із них 2 браковані. Знайти закон розподілу випадкової величин Х – числа придатних деталей в

вибірці із 3 штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

3.В машині за 7000 годин ламається 9 вузлів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти ймовірність зупинки машини за 80 годин і надійність машини за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,7. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 3,9 та дисперсія D(x) = 1,89.

5. Функція розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £ 7;

наступним чином: F(x) = ïía(7x - x2 ), 7 < x £ 8;

ïî1, x > 8.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

66

Знайти: а) параметр а; б) щільність розподілу f (x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на відрізок [7,2; 7,3]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

6.Відхилення довжини вала від стандарту 10,2 є нормальна випадкова величина Х з σ = 0,1. Яке середнє число із 200 валів будуть мати довжини в інтервалі (10,1; 10,3).

7. Дана двовимірна дискретна випадкова величина. Знайти: а)

y\x	1,7	1,8	1,9	2,0
4,2	0,015	0,035	0,025	0,015
4,3	0,01	0,22	0,13	0,04
4,4	0,05	0,125	0,12	0,105
4,5	0,01	0,02	0,04	0,04

граничні закони випадкових величин Х та У; б) умовний закон випадкової величини У при Х=2; в) числові характеристики

mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння

регресії Х на У.

8. Щільність ймовірності випадкової величини (Х, У):

ìcx		(x, y)Î D
f (x, y) = íï
	y
ï0,		(x, y)Ï D D : (x + y £ 3, x ³ 1, y ³ 1)
î

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії Х на У.

Варіант 26

1.У ящику 2 % бракованих деталей . Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа бракованих деталей у вибірці із 5 штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

2. Серед 6 шарів 2 білих. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа білих шарів в вибірці із 4-х штук. Знайти

mx ,sx ,F(x).

3.За 5000 годин автомат відмовляє 17 разів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 3000 годин і надійність автомата за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,5. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 9 та дисперсія D(x) = 25.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

67

5. Щільність розподілу неперервної випадкової величини задана

	ì0, x £1;
наступним чином:	f (x) = íïa(1- x)2, 1 < x £ 3;
	ï
	î0, x > 3.

Знайти: а) параметр а; б) функцію розподілу F(x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на інтервал [1; 2]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

6. Похибка вимірювання є нормальна випадкова величина Х з m = 2,5 і σ=0,2. З якою ймовірністю похибка буде потрапляти в

інтервал (2,4, 2,9)?

7. Дана двовимірна дискретна випадкова величина (Х, У). Знайти:

y\x		2,5	2,6		2,7							2,8	а) граничні закони випадкової
													величини	Х та У; б) умовний
3,2		0,035	0,02		0,045							0,01
													закон випадкової величини Х при
3,4		0,035	0,22		0,135							0,01
													У=3,4; в)	числові характеристики
3,6		0,095	0,12		0,105							0,06
													mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння
3,8		0,015	0,04		0,035							0,02
регресії Х на У.
	8. Щільність ймовірності випадкової величини (х,у):
			ì							2	,(x, y)Î D , D :{(x.y),
		f (x, y)= íïc					x		y						x	<1,	y	<1}.
			ï
			î0,(x, y)Ï D
	Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії													У на Х.

Варіант 27

1. При виготовленні деталей на автоматі 2% йде в брак. Знайти закон розподілу випадкової величин Х – числа придатних деталей в

вибірці із 4-х штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

2. В ящику 7 валів, із них 3 браковані. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа придатних валів у вибірці із 4 штук.

Знайти mx ,sx ,F(x).

3. В приладі за 3000 годин реле відмовляє 12 разів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 200 годин і надійність приладу за цей час.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

68

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ; причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,3. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 7,5 та дисперсія D(x) = 5,25.

5.Функція розподілу неперервної випадкової величини задана

ì0, x £ -2;

наступним чином: F(x) = ïía(x + 2)2 , - 2 < x £ 0;

ïî1, x > 0.

Знайти: а) параметр а; б) щільність розподілу f (x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини х на відрізок [-1; -0,2]; д) побудувати графіки функцій f (x) і F(x).

6.Похибка вимірювання є нормальна випадкова величина Х з m = 3,1 , σ = 0,2 . Знайти ймовірність Р (|x-3|<0,1).

7.Дана двовимірна дискретна випадкова величина (X, Y). Знайти:

y/x	2,2	2,3	2,4	2,5
1,3	0,02	0,03	0,03	0,03
1,4	0,1	0,06	0,1	0,12
1,5	0,02	0,18	0,05	0,15
1,6	0,01	0,04	0,02	0,04

а) граничні закони випадкових величин Х та У; б) умовний закон розподілу випадкової величини У при Х=2,3;

в) числові характеристики mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння

регресії У на Х.

8. Щільність ймовірності випадкової величини (X, Y):

ì	2	y	3	(x, y)Î D
f (x, y) = íïcx
ï		(x, y)Ï D D : (1 £ x £ 3; 0 £ y £ 1)
î0,

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії Х на У.

Варіант 28

1. При штампуванні 3,5 % виробів йде в брак. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа бракованих деталей у

вибірці із 5 штук. Знайти mx ,sx ,F(x).

2. Серед 5 валів міститься 2 бракованих. Вибрано 3 вали. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа бракованих валів у

вибірці. Знайти mx ,sx ,F(x).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

69

3.За 1500 годин роботи агрегат відмовляє 25 разів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 200 годин і надійність автомата за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,2. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 8,8 та дисперсія D(x) = 5,76.

5. Щільність розподілу неперервної випадкової величини задана

	ì0, x £ 3;
наступним чином:	f (x) = íïa(x - 3)3, 3 < x £ 4;
	ï
	î0, x > 4.

Знайти: а) параметр а; б) функцію розподілу F(x); в) параметри розподілу М(х); σ(х); г) ймовірність попадання випадкової величини

y\x	2,5	2,6	2,7	2,8
3,0	0,04	0,02	0,04	0,01
3,1	0,22	0,01	0,13	0,04
3,2	0,115	0,06	0,09	0,105
3,3	0,-3	0,04	0,02	0,03

хна інтервал [3,5; 3,7]; д)

побудувати графіки функцій f (x)

іF(x).

6.Довжина валу є нормальна випадкова величина Х з m = 120,

σ = 1,8 . Знайти ймовірності Р( |x-m|<0,1 ), P( 119<x<121).

7. Дана двовимірна дискретна випадкова величина (X, Y). Знайти: а) граничні закони випадкових величин Х та У; б) умовний закон розподілу випадкової величини X при У=3,2; в) числові

характеристики mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння регресії Х на У. 8. Щільність ймовірності випадкової величини (X, Y):

ì	2	y (x,y)Î D
f (x,y)= íïcx
ï		(x,y)Ï D D : (| x |<1;| y |£ 3)
î0,

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії У на Х.

Варіант 29

1. При штампуванні 7 % виробів йде в брак. Вибрано 5 деталей. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - числа придатних

деталей у даній вибірці. Знайти mx ,sx ,F(x).

2. В ящику 10 деталей, із них 20% браковані. Вибрано 5 деталей. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

70

показниковим законом, знайти закон розподілу випадкової величини

Х– числа придатних деталей у даній вибірці. Знайти mx ,sx ,F(x).

3.За 7500 годин роботи автомат відмовляє 16 разів. Вважаючи, що час безвідмовної роботи розподіляється за показниковим законом, знайти число відмов за 1000 годин і ймовірність безвідмовної роботи за цей час.

4.Випадкова величина Х приймає тільки два значення x1, x2 ;

причому x1 < x2. Відомо, що ймовірність появи значення x1 дорівнює p1 = 0,1. Знайти розподіл випадкової величини Х, якщо відомо її математичне сподівання M (x) = 13 та дисперсія D(x) = 9.

5. Функція розподілу неперервної випадкової величини задана

							ì0, x £ 0,5;
наступним чином:					F(x) = íïa(2x -1)2, 0,5 < x £ 2;
							ï
							î1, x > 2.
									Знайти: а) параметр а; б)
y\x		4,5	4,6		4,7	4,8
									щільність	розподілу	f (x);	в)
3,0		0,035	0,01		0,04	0,025
3,1		0,13	0,22		0,04	0,01			параметри розподілу М(х); σ(х); г)
3,2		0,1	0,06		0,12	0,1			ймовірність	попадання	випадкової
3,3		0,04	0,02		0,03	0,02			величини х на відрізок [1; 1,8]; д)
побудувати графіки функцій							f (x	)	і F(x).
6.		Діаметр		валу		є	нормальна випадкова величина Х					з

m= 42, σ = 0,3 . Знайти ймовірність P( 40<z<42,9 ).

7.Дана двовимірна дискретна випадкова величина (Х,У). Знайти: а) граничні закони випадкової величини Х та У; б) умовний закон

випадкової величини Х при У =3,1; в) числові характеристики

mx ,my ,sx ,s y ,rxy ; г) рівняння регресії Х на У.

8.Щільність ймовірності випадкової величини (Х, У):

ìcxy (x, y)Î D	, y ³ 0)
f (x, y) = í0, (x, y)Ï D D : (y £ 1- x2
î

Знайти: а) сталу С; б) рівняння регресії У на Х.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com