Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.

26

1.3. Подавление высших гармонических в токе управляемых реакторов

При использовании тиристоров для управления током реактора возникает новая проблема - подавление высших гармонических в токе реактора. Высшие гармонические образуются при неполных углах горения тиристоров, когда ток через тиристорный блок протекает с перерывами. При углах 0≤ωt≤ψ и π−ψ≤ωt≤π ток равен нулю, а при углах ψ<ωt<π−ψ

i(t)= Im (sin ωt − sin ψ) ,

где угол зажигания тиристоров ψ может меняться в пределах 0<ψ<π/2. Среднеквадратичный ток через тиристорный блок (действующее значе-

ние тока) за полупериод промышленной частоты

I (ψ)= I m			1 π−ψ∫ (sin ωt − sin ψ)2 dωt =
			π ψ
= I m	1	[(π − 2ψ) (0,5 + sin 2 ψ)− 1,5 sin 2ψ].
	π

Отношение действующего значения тока через тиристорный блок при произвольном угле зажигания ψ к действующему значению номинального

тока I =Im / 2 (соответствующего углу ψ=0) равно

I(ψ)		=	1	[(π− 2ψ) (1+ 2sin2 ψ)−3sin2ψ]=
	I		π
=			2ψ		(1+ 2sin2	ψ)−	3	sin2ψ.
	1−		π				π

При увеличении угла зажигания ψ ток через тиристорный блок быстро уменьшается (см. рис. 1.6). При этом содержание высших гармонических сильно изменяется при изменении угла зажигания и может быть вычислено по формуле

			Ik		2		sin(k −1) ψ	+ sin(k +1) ψ
	kг.к	=		=			k −1	k +1	.	(1.55)
			I1		k		π − 2ψ − sin 2ψ

где Ik и I1 - амплитуды k-ой и основной гармоники.

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.

27

Результаты расчетов по этой формуле приведены на рис.1.6. Как видно, при увеличении номера гармоники k уменьшается ее содержание. При этом содержание третьей гармоники в токе реактора непрерывно увеличивается при уменьшении времени горения тиристоров (увеличении угла зажигания тиристоров). Увеличение содержания пятой гармоники при малых углах зажигания (больших углах горения) тиристоров сменяется уменьшением вплоть до нуля при угле зажигания ψ=0,22π , а затем оно снова увеличивается, приближаясь к 100% при очень малом токе реактора. Содержание седьмой гармоники дважды проходит через минимум (нуль), а затем резко увеличивается, приближаясь к 100% (рис. 1.6,а).

Совершенно иной характер имеют зависимости отношения тока соответствующей высшей гармонической по отношению к номинальному току реактора (к току при полностью открытых тиристорах). Для третьей гармоники это отношение достигает максимума при токе реактора I=0,42Iном (см. кривые 1 и 4 рис. 1.6, б). Для пятой гармоники максимум достигается при токе реактора I=0,63Iном (см. кривые 2 и 4 рис.1.6, б). Для седьмой гармоники максимум содержания достигается при токе реактора I=0,72Iном. Второй максимум пятой гармоники значительно меньше первого. Второй и третий максимумы седьмой гармоники также значительно меньше первого.

Значение первых максимумов, отнесенных к амплитуде номинального тока, приведенывтабл.1.1 (обозначеныбуквойβк).

Для компенсации наибольшей (третьей) гармоники обычно используют соединенную в треугольник специальную обмотку (компесационная обмотка). В этом случае для третьей гармоники эта компенсационная обмотка короткозамкнута, что исключает возможность существования третьей гармоники в магнитном потоке, охватываемом компенсационной обмоткой.

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.

28

kг.к; I/Iном

1,0

1

0,8

4

0,6

2 3

0,4

0,2

2 3 3

ψ/π

0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5

а)

kг.н.к

0,14

1

0,12

0,10 1,0

0,08 0,8

4

0,06 0,6

2 2

0,04 0,4

3 3

3

0,02 0,2

ψ/π

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

б)

Рис.1.6. Отношение токов высших гармонических: третьей (1), пятой (2), седьмой (3) к току основной частоты в зависимости от угла зажигания тиристоров 0<ψ<90°: а – по отношению к текущему току основной частоты; б – по отношению к номинальному току (при полностью открытых тиристорах); 4 –отно- шение действующего значения полного тока к номинальному току

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.

29

Имеются схемные решения подавления пятой и седьмой гармоник. Но они очень сложны и дороги. Наиболее простым, дешевым и достаточно надежным решением является применение фильтров высших гармонических, подключаемых к компенсационным обмоткам каждой из фаз. Каждый такой фильтр состоит из последовательно соединенных реактора (со стабильной индуктивностью) и конденсатора, подобранных таким образом, что они обеспечивают короткое замыкание компенсационной обмотки для каждой из гармоник. При этом в магнитном потоке, охватываемом компенсационной обмоткой, не может содержаться соответствующая гармоника. Компенсация третьей гармоники однофазного реактора также может быть обеспечена фильтром.

Поскольку источником высших гармонических в токе реактора является обмотка управления с тиристорным блоком, компенсационная обмотка должна охватывать ее, чтобы исключить возможность содержания высших гармонических в магнитном потоке и тем самым в токе сетевой обмотки, охватывающей обмотку управления и компенсационную обмотку.

Таким образом, для компенсации k-ой гармоники в токе УШРТ должно

соблюдаться равенство
kωLk	=		1	,	(1.56)
		kωC k
откуда
ωСk	=		1	,	(1.57)
		k 2
			ωLk

где Lk иCk - индуктивность и емкость фильтра k-ой гармоники.

При этом при запертых тиристорах блока управления (рис.1.7) в режиме холостого хода КО УШРТ нагружена на сопротивление

X 1.k = ωLk −	1	= ωLk (1 − k 2 )=	1	1 − k 2 .	(1.58)
	ωC k		ωC k	k 2

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.			30
Uф
C3	C5	C7	C11
КО			ВВ
L3	L5	L7	L11

СО

ОУ ТБ

Рис.1.7. Принципиальная схема УШРТ с фильтрами высших гармонических

Соответственно ток основной частоты в токе СО УШРТ, обусловленный фильтром k-ой гармоники, равен

I1.k =		Uф			= δX		Uф	(1− k 2 )=		Uф	,(1.59)
	δX	ном	+ Х	1.k		ном	+ ωL			1 1
							k		δX ном +		−1
										ωCk k 2

где δХном определяет сопротивление короткого замыкания основной обмотки по отношению к КО с фильтрами, Хном номинальное сопротивление короткого замыкания основной обмотки по отношению к ОУ. Поскольку оптимальное значение сопротивления фильтра X1.k ,больше сопротивления δXном (см. ниже), ток через фильтр имеет емкостный характер и отношение тока I1.k к номинальному току имеет отрицательный знак

I1.k =

Хном

(1−k2 )

=

Хном

= −α

k

≈

Хном

,(1.60)

Iном

δХном +ωLk

δXном +

1

1

δXном −

1

ωC

k

k2

−1

ωC

k

где αk - абсолютное значение отношения тока основной частоты через фильтр k-ой гармоники к номинальному току реактора.

Разрешая уравнение (1.60) относительно ωLk получаем

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.			31
ωLk = X ном	1 + αk δ
	αk (k 2 −1)	.	(1.61)

Сопротивление конденсатора фильтра k-ой гармоники току промышленной частоты согласно (1.57), (1.61) равно

1		k 2 (1 + αk δ)
	= X ном		.	(1.62)
ωСk		αk (k 2 −1)

Мощность дросселя фильтра k-ой гармоники, обусловленная током основной частоты,

2	2	2	1 + αk δ
QLk = I1.k ω Lk = αk		Iном Хном	αk (k 2 −1).

Мощность конденсатора того же фильтра

2	1	2	2	k 2 (1 + αk δ)
QCk = I1.k	ω Ck	= αk	Iном X ном	αk (k 2 −1)	.

Суммарная мощность фильтра k-ой гармоники, обусловленная током промышленной частоты

Q	= Q		+ Q	= α		Q		(1+ k 2 ) (1+ αk δ),	(1.63)
Σ.k		Lk	Ck		k		ном	k 2 −1

где номинальная мощность одной фазы реактора равна

Qном = I ном2 X ном .

(1.64)

Максимальный ток k-ой гармоники через фильтр этой гармоники может быть вычислен аналитически и определен соотношением согласно (1.55)

I k = βk I ном .

(1.65)

Соответственно суммарная мощность фильтра k-ой гармонической, обусловленная током k-ой гармоники

Q		= I		2		L		+	1		=
	k .k			k	k ω		k
									k ω C k
		2		2				k (1 + α k δ)
=	2βk		I ном Х ном					α k (k 2		− 1)	=

2I k2	k ω Lk =
2		k (1 + α k δ)
2βk	Qном	α k (k 2 − 1)	. (1.66)

Суммарная мощность фильтра k-ой гармонической, обусловленная токами основной и k-ой гармоник равна

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.

32

Qk = Qk .1 + Qk .k

= Qном

1 + αk

δ

αk (1 + k 2 )+

2βk2

k

.

(1.67)

k 2 −1

αk

Оптимальную величину Qk

найдем, приравнивая нулю производную Qk

по αk

1

2

∂Qk

=

1

+ k 2 − 2 βk k

+

2αk δ (1+ k

2 )

Qном = 0.

∂αk

k 2 −1

α2

k

Из последнего уравнения получаем величину αk, соответствующую минимальной мощности фильтра k-ой гармоники

		2k	(1.68)
	αk = βk	(1 + k 2 ) (1 + 2αk δ).

В этом решении αk содержится также в малом члене под корнем. Малость этого члена позволяет вычислить αk методом последовательных приближений, полагая в первом приближении αk=0 или αk=βk. Принимая расчетные данные для высших гармонических согласно данным нижеследующей таблицы и оценивая величину δ=0,5 получаем следующие величины αk и соответственно мощности фильтров согласно (1.67), а также относительные величины мощности конденсаторов (Qс.k) и реакторов (QL.k) фильтров с учетом высокочастотных составляющих тока (см. табл.1.1).

Из приведенных данных следует, что мощность фильтров составляет небольшую часть мощности УШРТ, особенно в том случае, когда третья гармоническая компенсируется путем соединения в треугольник компенсационных обмоток трех фаз УШРТ. В этом случае суммарная мощность фильтров не превышает 10% от мощности реактора.

						Таблица 1.1
	k	βk	αk	Qk	Qс.k	QL.k
				Qном	Qном	Qном
	3	0,138	0,102	0,28	0,19	0,087
	5	0,05	0,030	0,068	0,049	0,019
	7	0,026	0,013	0,028	0,020	0,0073
	11	0,0105	0,0044	0,0090	0,0067	0,0023
	13	0,0075	0,0030	0,006	0.0045	0,0015

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.

33

Для того, чтобы оценить эффективность ограничения высших гармонических в токе реактора рассмотрим его эквивалентную схему в режиме резонанса на k-ой гармонической (рис.1.8). Оценим параметры эквивалентной схемы УШРТ согласно рис.1.7. В этом случае эквивалентное сечение магнитного потока, сцепляющегося с сетевой обмоткой (СО), при коротком замыкании обмотки управления (ОУ) равно согласно (1.32,а)

						a + a	2
F	≈ πd		a		+	1		,	(1.69)
						3
эф.1		12		12

где d12 - средний диаметр зазора между ОУ и СО, а12 - толщина (радиальный размер) зазора, a1 и a2 - толщины (радиальные размеры) ОУ и СО.

Ck Lk

X3

Uф X1

X2

ТБ

Рис.1.8. Эквивалентная трехлучевая схема УШРТ

Эквивалентное сечение магнитного потока, сцепляющегося с СО, при коротком замыкании КО, параллельно которой включены фильтры,

F	≈ π d				+	a + a	3		(1.70)
			a			1		,
эф.2		13		13		3

где d13 - средний диаметр зазора между КО и СО, a3 - толщина (радиальный размер) КО (a3≈0,3а2).

Если КО расположена посредине между ОУ и СО d13=d12+a13; a13=0,5a12..

Эквивалентное сечение магнитного потока, сцепляющегося с КО при коротком замыкании ОУ,

F		≈ πd				+	a	2	+ a	3		(1.71)
	эф.3		23	a	23						,
									3

где d23 - cредний диаметр зазора между ОУ и КО, а23 - толщина этого зазора.

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.

34

В частном случае расположения КО посередине между ОУ и СО при учете малой толщины КО по сравнению с ОУ и СО получаем:

a23 = 0,5a12 ; d23 = d12 − a23 .

Соответственно сопротивление короткого замыкания СО относительно ОУ равно

X 12 =	8 10 −7	π2 f N12 Fэф.1	= Х мин ,	(1.72)
		l0

где N1 - число витков СО, l0 - высота окна магнитопровода.

Сопротивление короткого замыкания СО относительно КО, замкнутой фильтрами,

	8 10−7 π2 f N2		F		F
X13 =		1	эф.2	= Хмин	эф.2	=δ Хмин.	(1.73)
	l	0			F
					эф.1

Например, всегда можно подобрать такое расположение КО, чтобы обеспечить δ=0,5.

Сопротивление короткого замыкания КО относительно ОУ

X 23	=	8 10−7 π2 f N12 Fэф.3 = (1−δ)X мин .	(1.74)
		l0
При δ=0,5	Х23 =0,5 Хмин.

Из приведенных соотношений следует, что параметры трехлучевой эквивалентной схемы УШРТ k-ой гармонической равны (см.рис.1.8)

X

X

X

1.k

2.k

3.k

=k2 (X12 + X13 − X 23 )=

=k2 (X12 + X 23 − X13 )=

=k2 (X13 + X 23 − X12 )=

kδХмин ;
		(1.75)
k (1 − δ) Хмин ;
0.

Следовательно, эквивалентная схема для k-ой гармонической имеет вид, изображенный на рис.1.9, где тиристорный блок эквивалентирован генератором тока. Как видно, в этом случае весь ток к-ой гармоники замыкается фильтром и не попадает в сетевую обмотку.

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.		35
	X2.k
Ik ~	X1.k	X3.k

Рис.1.9. Эквивалентная трехлучевая схема УШРТ для k-той гармоники при расположении КО между ОУ и СО

Однако, если расположить КО внутри ОУ ситуация резко изменяется. В этом случае

X12	= X мин
X13	= X мин (1+δ)		(1.76)
X 23 = δ X мин

и параметры эквивалентной трехлучевой схемы УШРТ на к-ой гармонической окажутся равными

X1.k	= 0,5 k [X мин +(1+δ) Хмин −δ Х мин ]= k X мин
X 2.k	= 0,5 k [X мин −(1+δ) Х мин +δ Х мин ]= 0		. (1.77)
X 3.k
	= 0,5 k [− X мин +(1+δ) Хмин +δ Хмин ]= k δ X мин

При этом эквивалентная схема для k-ой гармоники примет вид, изображенный на рис.1.10.

X2.k

Ik ~

X1.k

X3.k

Рис.1.10. Эквивалентная трехлучевая схема УШРТ для k-той гармоники при расположении КО внутри ОУ

Эквивалентное сопротивление контура Х1.к÷Х3.к равно:

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.

36

X э.k =

X1.k X 3.k

=

k X мин k δ X мин

= k

δ X мин

. (1.78)

X1.k + X 3.k

k X мин + k δ X мин

1+ δ

Следовательно, ток k-ой гармоники в ветви Х3.к с фильтром равен

I k .ф =

I k X э.k

= βk I макс

1

,

(1.79)

X 3.k

1+ δ

а в сетевой обмотке (ветвь Х1.к)

I k .СО =

I k X э.k

= βk I макс

δ

.

(1.80)

1

+ δ

X1.k

Отношение тока k-ой гармоники в СО к току в фильтре равно

I k .CO

= δ .

(1.81)

I k .ф

Чем больше изоляционное расстояние между ОУ и КО, тем больше отношение δ и тем больше содержание высших гармонических в токе УШРТ. Этот вывод полностью подтверждает результаты вышеприведенного рассмотрения условий работы УШРТ на основе анализа его магнитного поля.

Таким образом КО наиболее эффективно подавляет высшие гармонические при ее расположении между ОУ и СО.

Далее необходимо выяснить, какое влияние наличие фильтров высших гармонических оказывает на номинальный ток УШРТ. Номинальный режим соответствует полностью открытым тиристорам, когда высшие гармонические в токе реактора отсутствуют.

Для первой гармонической эквивалентная схема при полностью открытых тиристорах изображена на рис.1.11. Эквивалентное сопротивление ветви 3 с фильтром равно сопротивлению фильтра (1.58)

X3 Ck Lk

Uф X1

X2

Рис.1.11. Эквивалентная схема УШРТ в нормальном режиме для вычисления тока промышленной частоты с учетом фильтра k-той гармоники

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.

37

Х3.э =ω Lk (1− k 2 )=
	1+ δ α	(1	− k 2 )= −X мин	1+ δ α	k
= X мин	(k 2 −1) αk k					.	(1.82)
				αk

Эквивалентное сопротивление ветви 2 согласно (1.75) равно

X 2.э = (1− δ) Хмин .

Эквивалентное сопротивление параллельного соединения ветвей 2 и 3

	Х2.э Х3.э						1 − δ
Х2.3.э =	Х	2.э	+ Х	3.э	= X мин	−	α	k	(1 − δ) .	(1.83)
					1
							1	+ δ αk

Полное эквивалентное сопротивление УШРТ в номинальном режиме с учетом фильтра к-ой гармонической согласно (1.75), (1.83) равно

	1−δ	1+δ2αk
Хэ.мин = Х1 + Х2.3.э = δXмин + Xмин	αk (1−δ) = Хмин [1+αk (2δ−1)]. (1.84)
1−	1+δα
	k

Например, при δ=0,5 при учете фильтра третьей гармоники с наибольшим током холостого хода (см.Табл.1.1, α3=0,102) получаем

	1 + 0,102 0,52
Хэ.мин = Х мин	(1 + 0,102 0) =1,025 X мин .

Таким образом, при наличии фильтров номинальный ток УШРТ незначительно уменьшается (примерно на 3%) по сравнению с УШРТ без фильтров.

Следует отметить, что наличие компенсационной обмотки с фильтрами между ОУ и СО позволяет обеспечить кратковременную форсировку мощности реактора, необходимую для глубокого ограничения внутренних перенапряжений (см. §2.2). Поскольку индуктивное сопротивление УШРТ при коротком замыкании КО меньше, чем при замыкании ОУ (δ<1), кратковременное замыкание КО, например, вакуумным выключателем (ВВ на рис. 1.7) приведет к форсировке мощности УШРТ в 1/δ раз. При δ=0,5 форсированная мощность реактора вдвое превысит номинальную.

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.

38

В соответствии с вышеизложенным сечение компенсационной обмотки (КО) должно быть выбрано с учетом протекания всех токов. При соединении КО в треугольник необходимо учесть ток третьей гармонической в треугольнике согласно табл.1.1

I3 = 0,138I1.макс kтр ,

где kтр - отношение витков СО и КО.

Ток промышленной частоты и пятой гармоники через фильтр пятой гармоники

I5 = (0,03 + 0,05) I1.макс kтр .

Ток промышленной частоты и седьмой гармоники через фильтр седьмой гармоники

I7 = (0,013 + 0,025) I1.макс kтр .

При этом суммарный ток через КО равен

IКО.Σ = 0,256I1.макс kтр .

С учетом несовпадения максимумов токов всех составляющих можно снизить номинальный ток КО, соединенной в треугольник, и принять

I КО.ном = 0,2I1.макс kтр .

(1.85)

При разомкнутом треугольнике КО (при соединении ее звездой) необходимо учесть работу фильтра третьей гармонической и соответственно дополнительно ток промышленной частоты через фильтр третьей гармоники.

В итоге в этом случае суммарный ток КО равен

I КО.Σ = 0,358I1.макс kтр .

С учетом несовпадения максимумов токов всех составляющих можно снизить номинальный ток КО и принять

I КО.ном = 0,3I1.макс kтр .

(1.86)

Соответственно сечение проводника КО равно

Fм.КО =	I КО.ном .	(1.87)
	J КО.опт

Объем меди КО равен

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]

Александров Г.Н., Лунин В.П. Управляемые реакторы.	39
Vм.КО = πd КО.ср N КО Fм.КО ,	(1.88)

где NКО=N1/ктр.

Этот объем меди необходимо добавить к суммарному объему меди управляемых реакторов. Например, для реактора с КО, соединенной в звезду,

согласно (1.86), (1.87), (1.88)

Vпр.КО = πdКО.ср N1 0,3 I1.макс kтр = kтр JКО.опт

= πdКО.ср	0,3N1 I1.макс .	(1.89)
	JКО.опт

Центр подготовки кадров энергетики	www.cpk-energo.ru
Санкт-Петербург	[phone]