Методичка

13.c =(-9; -12; 36 ),

15.c =( 2; 2;-1 ),

17.c =( 3; -1; 1,5 ),

19.c =(-30; 20; 12 ),

21.c =( 3; -6, -2 ),

23.c =( 5; 2,5; -5 ),

25.c =( -3; -4; 3 34 ),

27.c =( 1; 1; -0,5 ),

29.c =( 5; -3; 7,5 ),

31

= 13

14.

=( 2; 3; -6 ),

= 14

c

d

d

= 15

16.

=(10; 3

1

;-5 ),

= 35

d

d

c

18.

3

= 7

=(1; -3; 1,5 )

= 28

c

d

d

= 19

20

=(-7,5;5;15 ),

= 35

c

d

d

= 21

22.

=( -2, -2; 1 ),

= 12

c

d

d

= 15

24.

=(2; 4; −1

1

),

= 14

d

d

c

26.

3

= 25

=(-3; 6; -2 ),

= 35

c

d

d

= 6

28.

=(-3; 2; -6 ),

= 28

c

d

d

= 19

=(0;-28; 21),

= 5

c

d

d

2.2.4. Дано

чотири

вектори: `

,

Якщо вектори

a

b, c, m .

,

утворюють базис,

знайти розвинення вектора `m за цим

a,

b

c

базисом.

1.

a = (2 , 3,1)

= (- 3,4 ,-5)

c = (6 ,-1,2 )

m = (17, - 3,10 )

b

2.

a = (1, 2,3)

= (1,-1,1)

c = ( - 3,1, 2)

m = (6, 5, 7)

b

3.

a = (1,-1,4 )

= (4 ,5 ,-6)

c = (- 2 , 3, -1)

m = (8, -1, - 4)

b

4.

a = (7 ,-1,1)

= ( 2,3,-4)

c = ( 4, 2, -1)

m = (- 4, 5 ,-1 )

b

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

5.a = ( 2,4 ,1)

6.a = ( 2, 3, 3)

7.a = (1,1,-1)

8.a = (3 ,-1, 5)

9.a = ( 3, 5,1)

10.a = (1, 5, 3)

11.a = ( 3, 2, 2)

12.a = (1, 2, 3)

13.a = ( 4, 2, 5)

14.a = (1, 2, 4)

15.a = ( 2, 3, 3)

16.a = ( 3, 2,1)

17.a = (1, 8,4 )

18.a = (1, 3, 3)

19.a = ( 7, 4, 2)

20.a = (1, 5, 3)

21.a = ( 4, 6, 9)

22.a = (−1,-4 ,3 )

23.a = ( 3,1, 3)

24.a = ( 4, 6, 2)

25.a = ( 4, 3,1)

				32
			= ( - 2, 3,-4)	c = (1, -1, 2)	m = (- 6, 3,-9 )
	b
			= (- 3,-2 ,-4)	c = (- 2 ,1, -1)	m = (4,11, 7)
	b
		= (3, 4 ,5)		c = (1, 2, 3)	m = (- 2,-3,-10 )
	b
			= (- 2 , 2 ,-3)	c = (- 2 , 3, - 2)	m = (2,1, 3)
	b
			= ( 2, - 4,-3)	c = (5 , - 3,1)	m = (- 3, - 9, 2)
	b
			= (2 ,1,1)	c = ( 3, - 2,1)	m = ( 7,-7 , 2)
	b
			= (2 , 3,1)	c = (1,1,3)	m = (5 ,1,11)
	b
			= ( - 2, 3,-2)	c = ( 3, - 4,-5)	m = ( 6,20 ,6)
	b
		= ( - 3, 5,6)		c = ( 2, - 3,-2)	m = ( 9, 4,18)
	b
			= (1, -1,1)	c = ( 2, 2,4)	m = (-1,-4 ,-2)
	b
		= (-1,4 ,-2)		c = ( -1, - 2,4)	m = (4 ,11,11)
	b
			= (4 , -1,5)	c = (2 ,-3,1)	m = (8 ,-9,-3)
	b
		= (1, 3,1)		c = (-1,-6 ,-3)	m = (1, 2,3)
	b
		= (- 4 ,1,-5)		c = (- 2 ,1,-6)	m = (0 , 6,7)
	b
		= (- 5 ,-9 ,3)		c = (1,11,4)	m = (26 ,-25,-20)
	b
		= (2 ,1,-1)		c = (4 , 2,1)	m = (28 , 5,0)
	b
			= (3, - 4,1)	c = (5 ,1,8)	m = (- 9 ,16,2)
	b
		= ( 3,1,-4)		c = (- 2 , 2, 5)	m = (- 2 , -17, 3)
	b
			= (-1, 2, 2)	c = (5, 4, -1)	m = (2 , 3,-22)
	b
			= (3 , - 9,1)	c = (8 ,1,8)	m = (3 ,13,-7)
	b
		= (3,1,-2)		c = (1, 2,-1)	m = (0 , 5,3)
	b

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

					33
26.	a = (−1, - 4, 3)		= (8 , 3,-8)		c = (- 2 , 2,5)	m = (− 16,15, 27)
		b
27.	a = ( 2, 7, 6)		= ( -1,1, 4)		c = (- 5 ,4 ,-7)	m = (15	,-4 ,8)
		b
28.	EMBED			= (- 3 ,1,5)	c = (4 ,-5,1)	m = (10	,26 ,-13)
		b
29.	a = (- 7 ,-2 ,3)		= (- 3 , 5,-4)		c = (1, 3,-5)	m = (1,7 ,2)
		b
30.	a = (3,-2 ,8 )		= (- 2 , 4,-3)		c = (-1,5 ,-2)	m = (8 ,11,20)
		b

2.2.5Знайти орт вектора a .

1.	a = ( 12, 9, -8)	2.	a = ( 12, -8, 24)
3.	a = ( 0, 4,-3)	4.	a = ( 3,4,-12)
5.	a = ( 16, -8, 16)	6.	a = (-15,-10, 30)
7.	a = (15, 10, 6)	8.	a = (-18, 6, 9)
9.	a = ( 2, 9,-6 )	10.	a = ( 26, -13, -26)
11.	a = ( 12, -16, 15)	12.	a = ( 10, -10, 5)
13.	a = (-12, 24, -3)	14.	a = ( 2,-8, 16)
15.	a = (-3, 18, 14)	16.	a = ( 8, 4, -8)
17.	a = (-30, 24, -32)	18.	a = (12, 30, -20)
19.	a = ( 4,-6, 12)	20.	a = (2,-4,4 )
21.	a = (-8, 0, 6)	22.	a = (12, -4, 18)
23.	a = (16, -18, 24)	24.	a = (28, -6, 36)
25.	a = ( 2, -2, 1)	26.	a = ( 1, 8 ;4 )
27.	a = ( 20, 0, 21 )	28.	a = ( 12, -16, 0 )
29.	a = ( 3, 6 ,-2 )	30.	a = ( 24, -8,-6 )

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

					34
	2.2.6. Скалярний добуток векторів
1		B			2
						B			K	C
	C	K		A		A			D
В	трикутнику		АВС	CB =`а,	У	паралелограмі				АВСD
CA =`b Виразити через вектори					AB = a, BC = b .			Виразити			через
`а та `b вектор			BK (	ВК АС,	вектори `а		та	`b	вектор		DK
К є АС).					(DK BC, K BC)
3	D				4
						B
								K
	A		C
		K				C				A
	B
У ромбі АВСD			AC = a , BD = b		В	трикутнику		АВС		CB =`а,
Виразити через вектори `а і `b					CA	= b .	Виразити				через
					вектори`а		та	`b	вектор		CK
вектор AK (АК ВС, КєВС).					(СК АВ, К є АВ).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

						35
5		B	C			6			B
								K
		A		K	D		C				A
В трапеції АВСD				AB = a, AC = b .		В		трикутнику			АВС
						CA = a ,CB =`b.Виразити					через
Виразити через вектори `а та `b						вектори		`a	та	`b	вектор
вектор CK (СК АD, Кє АD ).						AK ( AK BC, K AB )
7						8				C
		D	C
							D			B
		A	K		B					K
				CB = a, CD = b .					A
В трапеції АВСD						У	ромбі АВСD			DB = a , BC = b
Виразити			через	вектори `а та		Виразити через вектори `а і `b
b вектор CK (СК АВ, Кє АВ ).						вектор DK (DК AВ, КєAВ).
9					D	10	D				C
			C
							A				B
		A			B
В	рівнобедреному				трикутнику В			трапеції			АВСD
АВС		ÐA = 30° AB = a , BC = b .				ÐA = 45° AB = a, AD = b .Вирази
Виразити через вектори ` a та b						ти через вектори `а та `b
вектор BD (BD AС, D є AС).						вектор		BC , (CB AB).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

				36
	11	D	C	12		C	D
		A	B			B	A
	В	трапеції	АВСD	В	трапеції		АВСD	ÐА=30°,
	ÐА=ÐB=60°, AD = b, CD = a .			AD = a,CD = b .			Виразити через
	Виразити через вектори `а та `b
	вектор BC .			вектори `а та `b вектор BD .
	13	D	C		14	N
						C
	A		B		A		B
	В трапеції АВСD		ÐА=ÐB=45°,	В	трикутнику		АВС	AB =`c,
	AD = c,CD = b . Виразити через			AC =`b, ÐА==45°,
				Виразити через вектори `b та `с
	вектори `c та `b вектор BD .			вектор BN (BN ^АC, N є АC).
	15	A	D	16		C
								B
	B		C		D	A
	В	трапеції	АВСD	У		трикутнику		АВС
				BC = a, CA = b , ÐB==30°,
	ÐB=60° AВ = c, ВС = b . Виразити			Виразити через вектори ` та `b
	через вектори `c і b вектор BD .
				вектор CD (CD ^ АB, D є АB).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

				37
17	A	D		18			A
B		C			B		D	C
В трапеції АВСD		ÐB=ÐC=60°		В	трикутнику		АВС	ÐC==30°
AВ = c, ВС = b . Виразити			через	BС = b ,СA = c .			Виразити через
				вектори `b та `c вектор DA (DА ^
вектори `c і b вектор BD				ВC, DÎBC).
19	D		C		20	A		D
A	K		B		B	M	C
В	трапеції		АВСD	В	ромбі	АВСD		ÐB=60°,
ÐА=60°, DA = a, DC = b .				CA =`с, BD = b .			Виразити через
Виразити через вектори `а та `b				вектори `с та `b вектор MA .(АM
вектор DK. (DK ^ AB, K Î AB)				^ ВС, M є ВС).
21	D	C			22	A
					M
A		K	B		B			C
В трапеції АВСD ÐCАB=30°,				В	трикутнику		АВС	ÐB=60°
AD = a, AC = b Виразити через				AC = c , AB =`b .Виразити через
вектори `а та `b вектор CK (CK				вектори `c та `b вектор CM (СМ
^ AB, K AB)				^ АВ, М є АВ).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

						38
	23	D	M	C		24	D	C
			A	B			A	B
	В паралелограмі АВСD BA = b ,					В трапеції АВСD CB = b, DC = a .
	CB = c . Виразити через вектори					Виразити через вектори `b і `а
	`b та `c вектор			MA (АМ DС,		вектор CA (DА AB).
	М є DС).
	25		K	C		26		C
			A		B		A	K	B
	В		трикутнику		АВС	У	трикутнику	АВС	AC = a ,
	BС = c , AB = b .			Виразити	через	AB = b . Виразити через вектори
	вектори `с та `b вектор DK (AK					`b і `а вектор CK . (CK AB, K є
	BС, K є BС).					AB).		C
	27					28	M
			A	D
							D	B
			M B	C			A
	В	паралелограмі			АВСD
						У ромбі ABCD		CA = b ,	BD = a .
	СB = a , BA = b . Виразити				через
	вектори `b та `a вектор MA (AM					Виразити через вектори			b і `а
						вектор BM (ВM DС, M є DС).
	BС, M є BС).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

39

29

30

D

C

A

B

C

A M

B

D

В

трикутнику

АВС

В

трапеції

АВСD

=

,

=

.

Виразити

через

=

,

=

. Виразити

через

BC

a

AB

b

BC

a

BD

b

вектори `a та `b вектор BD. (ВD

вектори `а та `b вектор DM. (DМ

AС, D є AС).

АВ , М є АВ).

,

,які є

2.2.7. Дано розвинення векторів

AB

BC,

CA

сторонами трикутника

АВС , за двома взаємно

і

перпендикулярними ортами. Обчислити довжину медіани

AM

висоти

AD

.

1.

=

+ 3

= −

+ 2

= −

− 5

AB

5a

b

BC

a

b

CA

a

b

2.

= 9

+ 5

= −2

+ 2

= −7

− 7

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

3.

= −9

+ 2

=12

+ 4

= −3

− 6

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

4.

= −2

+ 4

= −12

+ 4

=14

− 8

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

5.

= 2

− 3

= 2

− 2

= −4

+ 5

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

6.

= 7

− 5

= 2

− 2

= −9

+ 7

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

7.

= −

− 5

= −4

+ 2

= 5

+ 3

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

8.

= −7

− 4

= −2

− 4

= 9

+ 8

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

9.

= 3

+ 5

= 2

− 4

= −5

−

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

10.

= 7

+ 6

= −2

+ 4

= −5

− 10

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

11.

= −6

+ 7

= 4

− 8

= 2

+

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

12.

= −8

+ 9

= 4

− 2

= 4

− 7

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

13.

= 5

− 4

= −2

+ 2

= −3

+ 2

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

14.

= −3

− 5

= 18

− 6

= −15

+ 11

AB

a

b

BC

a

b

CA

a

b

D

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

40

15.AB = −a − 4b

16.AB = −3a − 7b

17.AB = 6a − 5b

18.AB = 7a + 8b

19.AB = a + 6b

20.AB = −6a + 10b

21.AB = −6a − 7b

22.AB = −a − 9b

23.AB = −4a − b

24.AB = −5a − 7b

25.AB = 5a + 2b

26.AB = 9a − b

27.AB = −3a + b

28.AB = −2a + 6b

29.AB = 3a − 6b

30.AB = 5a − 7b

2.2.8Визначити при взаємно перпендикулярні.

1.a = 7i + 5 j − k

2.a = 3i + 5 j + α k

3.a = −4i − 3 j + 9k

4.a = αi − 2 j + 6k

5.a = −2i + α j + k

6.a =12i − 4 j − 2k

BC

= −6

a

+ 2

b

CA

= 7

a

+ 5

b

= −6

− 2

= 9

+ 9

BC

a

b

CA

a

b

= −6

+ 18

= −13

BC

a

b

CA

b

= 2

− 4

= −9

− 4

BC

a

b

CA

a

b

= −8

− 4

= 7

− 2

BC

a

b

CA

a

b

= −4

− 8

=10

− 2

BC

a

b

CA

a

b

= 18

+ 6

= −12

+

BC

a

b

CA

a

b

= 18

+ 6

= −17

+ 3

BC

a

b

CA

a

b

= 2

− 6

= 2

+ 7

BC

a

b

CA

a

b

= −6

+ 2

=11

+ 5

BC

a

b

CA

a

b

= −2

+ 2

= −3

− 4

BC

a

b

CA

a

b

= −6

+ 18

= −3

−17

BC

a

b

CA

a

b

= −2

+ 4

= 5

− 5

BC

a

b

CA

a

b

= −8

+ 4

=10

−10

BC

a

b

CA

a

b

= 2

+ 6

= −5

BC

a

b

CA

a

= 2

− 2

= −7

+ 9

BC

a

b

CA

a

b

якому значенні α

вектори `а та ` b

= 2i − 3

+ α

b

j

k

= 7i − 5

+ 2

b

j

k

= 6i − 17

+ α

b

j

k

= 5i +

− 3

b

j

k

= −6i +

− 7

b

j

k

= 4i + 9

+ α

b

j

k

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com