Методичка

71

6.2Індивідуальні завдання

1.Нехай a = (x, y, z). Чи будуть лінійними наступні перетворення:

Aa , Ba , Ca ?

2. Знайти матрицю в базисі {e1 ,e2 ,e3 }, яка в базисі {i, j, k} має вигляд

D , якщо e1 = i − j + k , e2 = −i + j − 2k , e3 = −i + 2 j + k .

3.Знайти власні значення та власні вектори матриці G .

4.Привести квадратичну форму F(x, y, z) до канонічного вигляду.

5.Дослідити криву другого порядку Φ(x, y) = 0 та побудувати її.

Варіанти індивідуальних завдань

1.Aa = (6x − 5y − 4z, 3x + 2y − z, y + 2z),

Ba = (6 − 5y − 4z, 3x − 2y − z, y + 2), Ca = (z 4 , 3x − z, y + 2z),

æ1		0	2	ö	æ	4	- 2	-1ö
ç	3 -1 0			÷	ç				÷
D = ç				÷	, G = ç	-1 3 -1÷ ,
ç	1	1	- 2	÷	ç	1	- 2	2	÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = x2 + y2 − z 2 − 2xy + 2xz + 2yz ,

Φ(x, y) = −x2 − y2 + 4xy + 2x − 4y +1.

2.Aa = (5x − 4y − 3z, 2x − y, y + 2),

Ba = (5x − 4y − 3z, 0, y4 + 2z), Ca = (5x − 4y, 2x − z, y + 2z),

æ2 1			0ö		æ 2		-1	0ö
ç	3	0	4	÷	ç	-1 2		0	÷
D = ç				÷	, G = ç				÷ ,
ç	1	-1	2	÷	ç	1	-1	1	÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = x2 + y2 − z2 − 8xy + 4xz + 4yz ,

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

72

Φ(x, y) = 2x2 + 2y2 − 2xy − 2x − 2y +1.

3.Aa = (4x − 3y − 2z, x − z, x + 2y4 + z),

Ba = (4x − 3y − 2z, x, x + 2y + 3z), Ca = (4x, x, y + z + 3),

æ0 2			3 ö		æ	3	-1	1 ö
ç	4	1	0	÷	ç	0			÷
D = ç				÷	, G = ç		2 -1÷ ,
ç	2	-1	- 2	÷	ç	0	-1	2	÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + 2xy − 2xz − 2yz ,

Φ(x, y) = 4xy + 4x − 4y .

4.Aa = (3x + 2y + z, z, 2x − 3y + 4z),

Ba = (3x + 2y + z, z, 2x − 3y + 4), Ca = (3x, z, 2x2 + y + z),

æ	1	2	0 ö	æ	5	-1	-1ö
ç	3	0	÷	ç	0			÷
D = ç			-1÷	, G = ç		4 -1÷ ,
ç	2	1	÷	ç	0	-1	4	÷
è			-1ø	è				ø

F(x, y, z) = −2z2 − 2xy + 2xz + 2yz ,

Φ(x, y) = −2x2 − 2y2 + 2xy − 6x + 6y + 3 .

5. Aa = (x + 6y − z, x − 2y − 3z, 4x + y − 6),

Ba = (x, x − 2y − 3z, xy + z), Ca = (x, x − 2y − 3z, x + y + z),

æ	2	0	1ö		æ	6	- 2	-1ö
ç	3	0	2	÷	ç				÷
D = ç				÷	, G = ç	-1 5 -1÷ ,
ç	-1 1		2	÷	ç	1	- 2	4	÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = 5x2 + 5y2 + 3z 2 − 8xy + 4xz + 4yz ,

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

73

Φ(x, y) = −3x2 − 3y2 + 4xy − 6x + 4y + 2 .

6. Aa = (2x + y, y − 2z, 3x − 4y2 + z),

Ba = (2x + y, y − 2z, 3x − 4y − 5z), Ca = (2x + y, y − 2, y + z),

æ	0	3	2 ö		æ	3	1	-1ö
ç	2	1		÷	ç	2	2		÷	,
D = ç			-1÷		, G = ç			-1÷
ç	0	-1 2		÷	ç	- 2 1		4	÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = 5x2 + 5y2 + 3z 2 − 2xy + 2xz + 2yz ,

Φ(x, y) = −2xy − 2x − 2y +1.

7.Aa = (x, x + 2y − 3z, 4x + 5y + 6z), Ba = (x, x + 2y − 3, y + z), Ca = (x, x + 2y + 3z, 4x3 + 5y + z),

æ	1	3	0 ö		æ	2	0	-1ö
ç	2	1		÷	ç	1	1		÷	,
D = ç			-1÷		, G = ç			-1÷
ç	0	2	1	÷	ç	-1 0		2	÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = x2 + 3y2 + 3z 2 + 4xy + 4xz − 8yz ,

Φ(x, y) = −x2 − y2 − 4xy − 4x − 2y + 2.

8. Aa = (3x − 2y − z, 1, x + 2y + 3z),

Ba = (3x − 2y − z, 0, x3 + 2y), Ca = (3x − 2y − z, z, x + 2y + 3z),

æ	2	1	2ö		æ	2	1	0	ö
ç	3	0	2	÷	ç	1	2	0	÷	,
D = ç				÷	, G = ç				÷
ç	1	0	1	÷	ç	-1 1		3	÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = x2 + 3y2 + 3z 2 + 2xy + 2xz − 2yz ,

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

74

Φ(x, y) = −4x2 − 4y2 + 2xy +10x −10y +1.

9.Aa = (2x − y, z, x + 2y + 3z4 ),

= (2x − y, z, x + 2y + 3z),

Ba

Ca = (2x − y, 1, x + 2y + 3),

æ 0

1

2ö

æ

4

1

0

ö

ç

4

0

1

÷

ç

1

4

0

÷

,

D = ç

÷

, G = ç

÷

ç

-1

- 2 1

÷

ç

-1 1

5

÷

è

ø

è

ø

F(x, y, z) = x2 + y2 + 3z 2 + 8xy + 4xz + 4yz ,

Φ(x, y) = 4xy + 4x − 4y − 2 .

10. Aa = (z, 2x + 3y − z, 5x + 6y + 7z),

Ba = (z, 2x + 3y −1, 5x + 6 + 7z), Ca = (z, 0, 5x2 + 6y + z),

æ1 1			0ö		æ	5 -1 -1ö
ç	0	-1	1	÷	ç	- 2	4		÷	,
D = ç				÷	, G = ç			-1÷
ç	2	3	1	÷	ç	- 2	1	6	÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + 2xy + 2xz + 2yz ,

Φ(x, y) = x2 + y2 + 2xy − 8x − 8y +1.

11. Aa = (6x − 5y − 4z, 3x − 2y − z, 0),

Ba = (6x − 5y − 4, 3x − 2y − z, 0), Ca = (6x − 5y − 4z, 3x − z2 , 0),

æ	2	1	1 ö		æ5 - 4			4ö
ç	0	0	2	÷	ç	2	1	2	÷	,
D = ç				÷	, G = ç				÷
ç	1	3		÷	ç	2	0	3	÷
è			-1ø		è				ø

F(x, y, z) = 5x2 + 3y2 + 5z 2 − 4xy + 8xz + 4yz ,

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

75

F(x, y) = x2 + y2 + 4xy - 8x - 4y +1.

12. Aa = (5x - 4y - 3, 2x - y, y + z2 ),

Ba = (5x - 4y - 3z, 2x - y, 1), Ca = (5x - 4y - 3z, 2x - y, y),

æ	3	0	1 ö		æ3 - 2			2ö
ç	1	-1 0		÷	ç	2	-1	2	÷
D = ç				÷	, G = ç				÷ ,
ç	2	1		÷	ç	2	- 2	3	÷
è			-1ø		è				ø

F(x, y, z) = 5x2 + 3y2 + 5z 2 - 2xy + 2xz + 2yz ,

F(x, y) = x2 + y2 - 2xy - 2x + 2y - 7 .

13. Aa = (4x - 3y - 2z, x2 , y + 2z),

Ba = (4x - 3y - 2z, x, y + 2z), Ca = (4x - 3y - 2, x2 , y + 2),

æ	1	2	1ö		æ	3	- 2 2ö
ç	0	2	0	÷	ç	0	3	0	÷	,
D = ç				÷	, G = ç				÷
ç	-1 1		1	÷	ç	0	2	1	÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = 3x2 + y2 + 3z 2 - 4xy + 8xz + 4yz ,

F(x, y) = 2xy + 2x + 2y - 3.

14. Aa = (3x + 2y + z, 0, x - 2y + 3z),

Ba = (3x + 2y +1, 0, x - 2y + 3z), Ca = (3x + 2y + z, 0, x2 ),

æ1		1	2ö		æ	5	- 2 2ö
ç	0 2		1	÷	ç	0	5	0	÷	,
D = ç				÷	, G = ç				÷
ç	1	-1	0	÷	ç	0	2	3	÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = 3x2 + y2 + 3z 2 + 2xy + 2xz - 2yz ,

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

76

F(x, y) = 4x2 + 4y2 + 2xy +12x +12y +1.

15. Aa = (x, y - 2z, 3x - 4y - 5),

Ba = (x, y2 - 2z, 3x - 4y - 5z), Ca = (x, y - 2z, 3x - 4y - 5z),

æ	1	1	1ö	æ7 - 4			4ö
ç	2	0	÷	ç	2	3	2	÷	,
D = ç			1÷	, G = ç				÷
ç	0	1	÷	ç	2	0	5	÷
è			1ø	è				ø

F(x, y, z) = x2 + 3y2 + z 2 + 4xy - 8xz - 4yz ,

F(x, y) = 3x2 + 3y2 + 4xy + 8x +12y +1.

16. Aa = (x + y, z 2 , 2x - 3y + 4z),

Ba = (x + y, z, 2x - 3y + 4z), Ca = (x + y, z, 2x - 3 + 4z),

æ	1	1	3ö	æ7 - 6			6ö
ç	1	0	÷	ç	4	-1	4	÷	,
D = ç			1÷	, G = ç				÷
ç	2	0	÷	ç	4	- 2	5	÷
è			1ø	è				ø

F(x, y, z) = x2 + 3y2 + z2 + 2xy - 2xz - 2yz ,

F(x, y) = x2 + y2 - 8xy - 20x + 20y +1.

17. Aa = (x, y + 2, 3x + 4y + 5z),

Ba = (x, y + 2z, 3 + 4y + 5z), Ca = (x3 , y + 2z, 3x + 4y + 5z),

æ1 0			1ö		æ	7	- 6 6ö
ç	0	-1	2	÷	ç	2	3	2	÷	,
D = ç				÷	, G = ç				÷
ç	3	-1	1	÷	ç	2	2	3	÷
è				ø	è				ø

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

77

F(x, y, z) = 3x2 + 5y2 + 5z 2 − 4xy − 4xz − 8yz ,

Φ(x, y) = 3x2 + 3y2 − 2xy − 6x + 2y +1.

18. Aa = (3x − 2y −1, 0, x + 2y + 3z),

Ba = (3x2 − 2y − z, 0, x + 2y + 3z), Ca = (3x − 2y − z, 0, 0),

æ1		0	2 ö		æ13
ç	3 0			÷	ç	6
D = ç			-1÷		, G = ç
ç	1	- 2	1	÷	ç	2
è				ø	è

F(x, y, z) = 3x2 + 5y2 + 5z 2

Φ(x, y) = 4xy + 4x + 4y +1.

2	- 2	ö
9	- 6	÷	,
		÷
- 2	5	÷
		ø

− 2xy − 2xz − 2yz ,

= (2x2

− y + 5z, z, 2y + 3z),

19. Aa

Ba

= (2x − y + 5z, z, 2y + 3z), Ca = (2x − y + 5z, z, 2y + 3),

æ 2

0

0ö

æ7 2 - 2

ö

ç

1

-1

1

÷

, G

=

ç

4

5

- 2

÷

,

D = ç

÷

ç

÷

ç

-1 2

1

÷

ç

0

0

3

÷

è

ø

è

ø

F(x, y, z) = 3x2 + 3y2 + z 2 − 8xy − 4xz − 4yz ,

Φ(x, y) = 3x2 + 3y2 − 4xy + 6x − 4y − 7 .

20. Aa = (0, x − 2y + 3z, 4x + 5y + 6z),

Ba = (0, x − 2y, 4x + 5y + 6), Ca = (0, x3 − 2y, 4x + 5y + 6z),

æ	1	1	0ö		æ9		0	0	ö
ç	1	1	1	÷	ç	2 7		- 4	÷	,
D = ç				÷	, G = ç				÷
ç	0	2	1	÷	ç	2	- 2 5		÷
è				ø	è				ø

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

78

F(x, y, z) = 3x2 + 3y2 + z 2 − 2xy − 2xz − 2yz ,

Φ(x, y) = −4xy − 4x + 4y + 6 .

21. Aa = (6x − 5y − 4z, 3x − 2y − z, y),

Ba = (6x − 5y − 4, 3x − z, y), Ca = (6x − 5y − 4z2 , 3x − 2y, 0),

æ	0	1	1ö		æ15 0			0	ö
ç	1	1	0	÷	ç	2	13	- 4	÷	,
D = ç				÷	, G = ç				÷
ç	2	1	1	÷	ç	2	- 2 11		÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = 3x2 + y2 + z 2 − 4xy − 4xz + 8yz ,

Φ(x, y) = 5x2 + 5y2 − 2xy +10x − 2y +1.

22. Aa = (5x − 4y − 3, 2x − z, x + 2y + z),

Ba = (5x − 3z2 , 2x − z, x + 2y), Ca = (5x − 4y, 2x − z, x + 2y),

æ	0	0	1 ö		æ19 2 - 2			ö
ç	2	1		÷	ç	6	15 - 6	÷	,
D = ç			-1÷		, G = ç			÷
ç	-1 1		1	÷	ç	2	- 2 11	÷
è				ø	è			ø

F(x, y, z) = 3x2 + y2 + z2 − 2xy − 2xz + 2yz ,

Φ(x, y) = 2x2 + 2y2 + 4xy + 8x + 8y +1.

= (x2

− 2z, x + z, y + z +1),

23. Aa

Ba

= (x − 2z, x + z, x + y + z), Ca = (x − 2z − 2, x + z, x + y + z),

æ

0

1

1ö

æ4 1

-1

ö

ç

0

2

÷

ç

2

3

- 2

÷

,

D = ç

1÷

,G = ç

÷

ç

-1 2

÷

ç

1

-1 2

÷

è

1ø

è

ø

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

79

F(x, y, z) = −z2 − 8xy + 4xz + 4yz ,

Φ(x, y) = −x2 − y2 + 2xy + 2x − 2y +1.

24. Aa = (3x + 5z, 6x + 7y − z, 9x + z),

Ba = (3x + 5, 6x + 7y − z, 9x + z), Ca = (3x + 5z, 6x3 + 7y − z, 0),

æ	0	2	1 ö		æ	2	1	-1ö
ç	0	3	2	÷	ç	1	2		÷	,
D = ç				÷	, G = ç			-1÷
ç	1	1		÷	ç	0	0	1	÷
è			-1ø		è				ø

F(x, y, z) = 2z 2 + 2xy − 2xz − 2yz ,

Φ(x, y) = 2x2 + 2y2 − 4xy − 8x + 8y +1.

25. Aa = (2x + 3y + 4, 5x + 6y − 7, 8y),

Ba = (2x + 3y + 4x2 , 5x + 6y, 0), Ca = (2x + 3y + 4x, 5x + 6y, 0),

æ2

0

1 ö

æ3

0

0 ö

ç

0

1

÷

, G

ç

1

2

÷

,

D = ç

-1÷

= ç

-1÷

ç

1

1

÷

ç

1

÷

è

-1ø

è

-1 2 ø

F(x, y, z) = 2z 2 + 8xy − 4xz − 4yz ,

Φ(x, y) = 3x2 + 3y2 + 2xy −12x − 4y +1.

= (x2

+ z, 2x + 3y + 4z, 2y + z),

26. Aa

Ba

= (x + z, 2x + 3y + 4z, 2y + z), Ca = (x +1, 2x + 3y + 4z, 2y),

æ2

0

1 ö

æ5

0

0 ö

ç

1

1

÷

, G

ç

1 4

÷

,

D = ç

1 ÷

= ç

-1÷

ç

0

2

÷

ç

1

÷

è

-1ø

è

-1 4 ø

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

80

F(x, y, z) = 2x2 + 2y2 − 2xy + 2xz + 2yz ,

F(x, y) = -4xy + 8x + 8y +1

27. Aa = (3x - 2y - z, y + 2z, 3x + y + z),

Ba = (3x − 2y −1, y + 2z, 3x + y + z), Ca = (3x − 2y − z3 , 2z, 0),

æ	2	1	-1ö		æ6 1			-1	ö
ç	-1 3		1	÷	ç	2	5	- 2	÷	,
D = ç				÷	, G = ç				÷
ç	0	1	0	÷	ç	1	-1 4		÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = 2x2 + 2y2 − 8xy + 4xz + 4yz ,

Φ(x, y) = 2x2 + 2y2 − 2xy + 6x − 6y − 6 .

28. Aa = (2x − y, x + 2y + 2z, 5y + 6z),

Ba = (2x − y2 , x + 2y + 2z, 0), Ca = (2x − y, x + 2y + 2, 5y + 6z),

æ2 1			0ö		æ	9 - 6 - 6ö
ç	1	0	1	÷	ç	- 2	5	- 2	÷	,
D = ç				÷	, G = ç				÷
ç	1	-1	1	÷	ç	- 2	2	13	÷
è				ø	è				ø

F(x, y, z) = 2x2 + 2y2 + 4z2 + 2xy + 2xz + 2yz ,

Φ(x, y) = x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y − 5 .

29. Aa = (x3 + 2y, 4x + 5y + 6z, 7x + 8y),

Ba = (x + 2y, 4x + 5y + 6z, 7x + 8y), Ca = (x + 2, y + 6z, 8y),

æ	2	1	0 ö		æ	5	- 2 - 4ö
ç	0	1		÷	ç	0	3	0	÷	,
D = ç			-1÷		, G = ç				÷
ç	-1 1		1	÷	ç	- 2 2		7	÷
è				ø	è				ø

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com