Методичка

7.a = −5i − 3 j + 7k

8.a = −6i + 5 j + α k

9.a = −4i + 5 j − 3k

10.a = αi + 2 j + 13k

11.a = −i + 2 j + 2k

12.a = −7i −11 j + k

13.a = αi + 8 j − k

14.a = −5i + j − 7k

15.a =15i − 6 j + k

41

b = αi + 7 j − 2k b = −16i − 8 j − 7k b = αi − 6 j + 2k b = −2i − 3 j + 2k b =12i − α j − 5k b = −3i + 3 j + α k b = 3i + 5 j + k

b = −7i + α j + 7k b = −i − 5 j + α k

Перевірити перпендикулярність векторів ` a і b .

16.		= ( 2, -3,-1)		= ( 7, 5, -1 )
	a		b
17.		= ( 7, -5, 2 )		= ( 3, 5, 3 )
	a		b
18.		= ( 6 , -17, -3 )		= ( -4, -3, 9)
	a		b
19.		= ( -6, 2, -7)		= ( -2, -5, 1 )
	a		b
20.		= ( 5, 1, -3 )		= ( 4, -2, 6 )
	a		b
21.		= ( 4, 9, 3 )		= ( 12, -4, -2 )
	a		b
22.		= (-7, 7, -2 )		= (-5, -3, 7 )
	a		b
23.		= ( 10, -2, 13 )		= (-4, 3, 3 )
	a		b
24.		= (-9, -6, 2 )		= (-4, 5, -3 )
	a		b

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

				42
25.		= ( 3, 2, 5 )				= (-13, -1, 8 )
	a				b
26.			= ( 12, 11,-5 )			= (-1, 2, 2 )
	a				b
27.			= (-2, 6, 1 )			= (-5, 1, -7 )
	a				b
28.			= (-1, -5, -15 )			= ( 15, -6, 1 )
	a				b
29.			= ( 4, 9, -7 )			= ( 12, -4, 2 )
	a				b
30.			= ( 16, 8, 7 )			= ( 6, -5, -8 )
	a				b

2.2.9 Знайти роботу, яку виконує сила `f , рухаючись

прямолінійно із точки А в точку В.

1.	`f = ( 3, -2, 6 ),	А ( 2, -6, -1 ),	В ( -3,-5, 2 )
2.	`f = ( -2, 7, -1),	А ( -4, 4, 3 ),	В ( 2, 5, -4 )
3.	`f = ( 5, -6, -1),	А ( -3, 3, -2),	В ( 1, 5 , 3)
4.	`f = ( -3, 7, -2),	А ( -8,-1, 5),	В (-1, 2 , 3)
5.	`f = ( 8, -3, 7),	А ( -2, -5, 7),	В ( 3, 2, 5)
6.	`f = ( -2, -3, 7 ),	А ( -15, 8, 4 ),	В ( -7, 3, 5 )
7.	`f = ( 1,-5, -2 ),	А ( -10, -2, 2),	В ( 2, 1, -3)
8.	`f = ( 4, 5, -1 ),	А ( 2, -1, -3),	В ( -1, 2, -8)
9.	`f = ( 7, 5, -4),	А ( 7, 5, -1),	В ( 5, 8, -3)
10.	`f = ( -2, 5, -3),	А ( -8, 1, 3),	В ( -1, 7, 5)
11.	`f = ( 3, -4, 2 ),	А ( -5, 2, 8),	В ( 2,3, 5 )
12.	`f = ( -3, 5, -2),	А ( -5, -4, 12),	В ( 3, -6, -11 )
13.	`f = ( -4,-3, 7 ),	А ( 2, 8, -3),	В ( 8, -9, -5)
14.	`f = ( 3, 2, 13),	А ( 7, -6, 6),	В ( 5, -9, 8)

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

		43
15.	`f = ( -7, -11, 5),	А ( -8, 4, -3),	В ( -5, 3, 2)
16.	`f = ( -12, 13, -2)	А ( 8, -7, -2),	В (9, -5, -3 )
17.	`f = ( -9, 5, -4),	А ( -3, 8, 2),	В ( -7, 5, 3)
18.	`f = ( -6, 5, -4),	А ( 6, 3, -2),	В ( -7, -5, 3)
19.	`f = ( -3, -5, 1),	А ( 5, 2, 3),	В ( 10, -5, 2)
20.	`f = ( 11, -3, -4),	А ( -10, 2, 6),	В ( -13, 3, -8)
21.	`f = ( -8, 7, 1),	А ( 8, -2, -3),	В ( 5, -3, 1)
22.	`f = ( 15, -6, 1),	А ( 4, -3, -5),	В ( 3, -8, 2)
23.	`f = ( 5, -4, -7),	А ( -4, -3, 10),	В ( 2, 4, 7)
24.	`f = ( -4, -3, -1),	А ( 4, -3, -1),	В ( -5, 2, -4)
25.	`f = ( 3, -2, 5),	А ( -10, -3, -1),	В ( 7, 5, -3)
26.	`f = ( -5, 3, -7 ),	А ( -4, -9, 3),	В ( 3, -5, -4)
27.	`f = ( 2, 7, -3 ),	А ( 6, -11, 4),	В ( -7, -3, 5)
28.	`f = ( -5, -13, 3),	А ( 5, 7, -2),	В ( 8, 3, -5)
29.	`f = ( 7, -4, 1),	А ( -5, -3, 2),	В ( 3, 2, -5)
30.	`f = ( 12, -7, -2),	А ( -8, -1, 2),	В ( -5, 3, -9)

2.2.10 Знайти вектор `m, коли відомо, що він колінеарний до

вектора		a	і задовольняє умові			m	×	a	= c
1.. a = ( 5,-1 ,7 ),				с = 150	2.	a = ( 2,-3 ,4 ),				с = -58
3.	a = ( 4, 2,-1 ),			с = 42	4.	a = ( 3, 2,-2 ),				с = -34
5.	a = ( -6, 1,-3 ), с = 92				6.	a = ( 1, -4, 6),				с = -106
7.	a = ( 2, -2, 7 ),			с = 114	8.	a = ( -3, -4, 2 ), с = -58
9.	a = ( 1, 7, -2),			с = 108	10. a = ( 2, -6, 1),					с = -82

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

			44
11. a = ( 1, -3, -5 ), с = 70			12. a = ( -4, 2, -3), с = -58
13. a = ( 7, -2,	4 ),	с = 138	14. a = ( -5, 1, -3), с = -70
15. a = ( 2, -3,	-2),	с = 34

Знайти координати вектора `с, колінеарного до вектора `а, причому вектор `с утворює гострий кут з віссю Ох, а модуль вектора `с відомий.

16.

a =(-2, 1,-2),

=6

17.

a =( 3,4,-1),

== 2

c

c

26

18.

a =( 1,-2, 1),

19.

a =(1,-2,1),

c

= 2

21

c

= 2

6

20.

a =(-3, 1,-2),

21.

a =(2,-1,-2),

c

= 2

14

c

=6

22.

a =(-4, 1, 1),

23.

a =(1,-3, 4),

c

= 6

2

c

= 2

26

24.

a =(-1, 2, 1),

25.

a =(4,-1,-1)

c

=2

6

c

= 6

2

26.

a =(-2, 1,-1),

27.

a =(3,2,-2),

c

=2

6

c

=2

17

28.

a =(-2, 4, 1),

29.

a =(2,-2, 3)

c

= 2

21

c

=2

17

30.

a =(-1,-2, 4),

c

= 2

21

2.2.11 Обчислити площу паралелограму, побудованого на векторах `m та `n і знайти скалярний добуток m × n .

1.

m = a - 3

n = a + 2

a

= 1/5

= 4

b

b

b

2.

m = a + 3

n = 3a -

a

=

= 1/3

b

b

3

b

3.

m = 4a -

n = a + 2

a

=

= 2/3

b

b

2

b

4.

m = 3a +

n = a - 2

a

=

= 1

b

b

2

b

5.

m = 3a + 2

n = 2a -

a

= 4/7

= 4

b

b

b

( a,ˆ b )=p/2. ( a,ˆ b )=2p/3 ( a,ˆ b )=p/4 ( a,ˆ b )=3p/4 ( a,ˆ b )=p/6

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

6.m = 2a + 3b

7.m = 3a + 2b

8.m = 6a − b

9.m = 5a + b

10.m = a − 4b

11.m = 3a − b

12.m = a − 2b

13.m = 3a + 4b

14.m = 3a − 2b

15.m = 5a − b

16.m = 3a − 5b

17.m = 4a + b

18.m = 2a − b

19.m = 2a − 3b

20.m = a + 3b

21.m = 5a − b

22.m = 3a + b

23.m = 6a − b

24.m = a + 4b

25.m = 2a + 3b

26.m = 2a − 5b

27.m = a + 3b

n = a − 2b n = a − b n = a + b n = a − 3b

n = 3a + b n = a + 2b n = 2a + b n = b − a n = a + 5b n = a + b n = 2a + 3b n = a − b n = a + 3b n = 3a + b n = 7a − 2b

n = 3a + b n = a − 3b n = a + 2b n = 2a − b n = a − 2b n = a − 3b n = a − 2b

45

a				= 3
										3
a			= 10
a			= 11
a			=				3
						4
a			= 1
a			= 2
									3
a			=
								2
a			= 8
a			= 1/2

a = 2 a = 2/3 a = 4 a = 3 a = 1 a = 2

a = 3 a = 1/2

a = 23 a = 2

a = 2/3 a = 29 a = 4

b = 2/7 b = 1/5 b = 2/7 b = 2

b = 2 b = 2/3 b = 3 b = 2/7

	b			= 4
				= 3
	b
				=
	b				3
				=
	b				2
				= 11
	b
				= 4
	b
				= 1/2
	b
				= 2
	b
				= 5
	b					2
				= 2/3
	b
				=
	b				3
				= 6
	b						2
				= 2
	b
				=
	b				3

( a,ˆ b )=π/3 ( a,ˆ b )=π/2 ( a,ˆ b )=5π/6 ( a,ˆ b )=2π/3

( a,ˆ b )=π/6 ( a,ˆ b )=π/3 ( a,ˆ b )=3π/4 ( a,ˆ b )=π/2 ( a,ˆ b )=5π/6 ( a,ˆ b )=π/6 ( a,ˆ b )=π/3 ( a,ˆ b )=π/4 ( a,ˆ b )=π/2 ( a,ˆ b )=π/6 ( a,ˆ b )=π/2

( a,ˆ b )=5π/6 ( a,ˆ b )=π/6 ( a,ˆ b )=2π/3 ( a,ˆ b )=π/3 ( a,ˆ b )=π/4 ( a,ˆ b )=5π/6 ( a,ˆ b )=π/3

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

46

28.

m = 4a − 3

n = 5a − 4

a

= 1

= 31

( a,ˆ

)=π/2

b

b

b

b

29.

m = 2a + 7b

n = 2a − b

a

= 4

b

= 1

ˆ

( a, b )=π/6

30.

m = 7a +

n = a − 3

a

= 1,5

=

( a,ˆ

)=3π/4

b

b

b

2

b

2.2.12 Дано векторного добутку.

1.a =(-1, 2, 1),

2.a =(5, 1, 1),

3.a =(-1, 2,-1),

4.a =( 10, 3, 12),

5.a =( 1, 1, 1),

6.a =(-3, 1, 1),

7.a =( 1,-1,-3),

8.a =(-3, -4, -3),`

9.a =( 3,-2, 4),

10.a =( 5, 17, 9),

11.a =( 1, 2, 1),

12.a =(-1,-1, 3),

13.a =( 1, 2, 1),

14.a =( 17, 10, 7)

15.a =( 1, 9, 3),

вектори `а та` b . Знайти координати

b = (3,-4, 2), b = ( 5, 1, 3), b = ( 2, 4,-5), b = ( 2, 1, 4) b = ( 10,-1, 2), b = ( 5,-2, 1), b = ( 1, 1, 1), b = (0,-2,-2),

b = (-3, 3, -8), b = (-1, -2, -1), b = ( 1, 6, -1), b = (-2, -1, 3), b = ( 11, 12, 4), b = ( 1, 1, 1), b = ( 1, 4, 1),

[(3 a + 2b ), (2a + b )] [(3 a − 2b )(, 2a − b )] [(5 a − 2b ), (3a − b )] [(2 a − 7b ),(5b − a )] [(7a − b ), (b − 2a )]

[(4 a + 3b ), (3a + 2b )]

[(2a + 3b )(, a + 3b )]

[(3a − 7b ),(1/ 2b − a )]

[(5 a + 3b ),(3a + 2b )] [(2 a + 13b ), (a + 5b )] [(5 a − 2b ), (2a − 3b )]

[(3a − 4b ),(b − 3a )]

[(13 a − 2b )(, b − 6a )] [(a − 11b ), (17b − a )]

[(4 a − 7b ), (3b − a )]

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

16.a =(0, -2, -2),

17.a =(-2, 8, 4),

18.a =( 4,-11, 18),

19.a =( 2, -1, -2),

20.a =( 1, 0, -7),

21.a =( 1, 2, -3),

22.a =( 1, -1, -1),

23.a =(-1, 1, 1),

24.a =( 11, 16, 13),

25.a =( 2, 3, 5),

26.a =(-1, 4, 1),

27.a =( 1, -1, 0),

28.a =( 3, 1, 10),

29.a =( 3, 2, -2),

30.a =(-1, -1, 9),

47

b = ( 1, 4, 7), b = (-1, 1, 1), b = ( 1, 1, 1),

b = ( 10,-6, -11), b = (-1, 1, 5),

b = ( 0, 1, -2), b = (0,-6, -2), b = ( 1, 6, 3), b = (1, 1, 1) b = ( 3, 2, 5),

b = =(-1, 2, -1), b = ( 1 ,-3 , 1), b = ( 1, 0, 1), b = ( 6, 5, -4), b = ( 0, -1, 2),

[(7 a + 3b ), (1/ 2a + b )]

[(a − 7b )(, 4b − a )]

[(a −13b ), (11b − a )] [(13a − 2b ), (6a − b )]

[(5 a + 8b )(, a + 2b )] [(3a − 8b ), (a − 2b )]

[(5 a − b ), (1/ 2b − a )]

[(8 a − b ),(b − 3a )]

[(a − 17b )(, 22b − 2a )] [(6 a − 5b ),(2a − 3b )]

[(2 a − 5b ), (a − 3b )] [(8a − 3b ), (b − 2a )]

[(2 a −15b ),(10b − a )] [(12 a − 5b ), (2a − b )] [(3 a −11b ), (4b − a )]

2.2.13 Знайти момент сили `p відносно точки С, якщо сила

прикладена до точки А.

1.	p =( 0, -4, -8),	А( -1, 2, 4),	С (3, 0, -1).
2.	p =(-5 -7, -4),	А( 3, 10, -1),	С (-6, 0, -3).
3.	p =( 4, -1, -10),	А( -7, 3, 2),	С (-4, 1,-8 ).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

		48
4.	p =(-2, 2, 3),	А( -2,-1,-1),	С (-6,-1,-7).
5.	p =( 4, -5, 0),	А( -3, 3, 5),	С (-3, 7, 2).
6.	p =( 4, 0, 8),	А( -1, -4, 2),	С (1, 1, -2).
7.	p =( 7, 4, 5),	А( -3, -3, -2),	С (7, -1, 7).
8.	p =(-1,-10, 4),	А(-3, 6, -2),	С (-5, -4, 1).
9.	p =(-2, -3, 2),	А( -7, 11, 3),	С (-7, 17, 7).
10.	p =( 5, 0, -4),	А( 5, 2, 7),	С (1, 5, 7).
11.	p =(-8, 0,-4),	А( -1, -4, 2),	С (-6, 0, 0).
12.	p =(-4,-5,-7),	А(11, -3, 12),	С (9, -12, 2).
13.	p =(-10, 4,-1),	А(12, 6, -7),	С (2, 9, -9).
14.	p =( 2, 3, -2),	А( 6, -8, -5),	С (6,-14,-9).
15.	p =( 0, 4,-5),	А( 7, -5, 2),	С (4, -5, 6).
16.	p =( 0, 4, 8),	А(-3,-6,-2),	С (-7, -4, 3).
17.	p =( 5, 7, 4),	А( 2,-5,-2),	С (11, 5, 0).
18.	p =(-4, 1, 10),	А( 1, -5, -4),	С (-2, -3, 6).
19.	p =( 2, -2, -3),	А(-1, 1, 3),	С (3, 1, 9).
20.	p =(-4, 5, 0),	А( 1, 2,-7),	С (1,-2,-4).
21.	p =(-4,-8, 0),	А( 0, 1, 1),	С (-2,-4, 5).
22.	p =(-7,-4, -5),	А(-2,-1, 2),	С (-12,-3,-7).
23.	p =( 1,10,-4),	А(-1, 2, 1),	С (1,12,-2).
24.	p =( 3,-2, 2),	А(-5, 5,-2),	С (-11, 1,-2).
25.	p =(-5, 0, 4),	А( 1, 2, 3),	С (5, -1, 3).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

		49
26.	p =( 8, 0, 4),	А(-5, 5, 5),	С (0, 1, 7).
27.	p =( 4, 5, 7),	А( 0,-4,-6),	С (2, 5, 4).
28.	p =( 10,-4, 1),	А(-5, 3,-4),	С (5, 0, 2).
29.	p =(-3, 2,-2),	А(-4, 1,-3),	С (2, 5,-3).
30.	p =( 0,-4, 5),	А(-2,-10, 9),	С (1,-10, 5).

2.2.14 Дано координати вершин трикутника АВС. Знайти

S ABC , npAC AB , довжину висоти ВD та внутрішній й зовнішній кут

при вершині А.

1.	А(-3,-6,-2),	В (-7,-4, 3),	С (-3,-2, 6).
2.	А( 3, 10,-1),	В (-6, 0,-3),	С (-2, 3,-5).
3.	А( 1, 1, 2),	В (-1, 1, 3),	С ( 2,-2, 4).
4.	А( 2,-1, 2),	В ( 1, 2,-1),	С ( 3, 2, 1).
5.	А( 2, 3, 1),	В ( 4, 1,-2),	С ( 6, 3, 7).
6.	А(-1, 2, 4),	В ( 3, 0,-1),	С ( -1,-2,-4).

7.А( 2,-5,-2), В ( 11, 5, 0), С ( 7, 2, 2).

8.	А( 0,-1,-1),	В (-2, 3, 5),	С ( 1,-5,-9).
9.	А(-2, 0,-4),	В (-1, 7, 1),	С ( 4,-8,-4).
10.	А(-2,-1,-1),	В (-4, 1, 2),	С (-6,-1,-7).
11.	А( 1, 0, 1),	В ( 5,-2,-4),	С ( 1,-4,-7).
12.	А( 2,-2,-1),	В (-7,-12,-3),	С ( -3,-9,-5).
13	А( 5,-1,-2),	В ( 6,-4, 1),	С ( 4,-4,-1).
14.	А( 7, 2, 4),	В ( 3, 3, 1),	С ( 7,-1,-2).
15.	А(-1, 1, 3),	В ( 1,-1, 0),	С ( 3, 1, 9).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

			50
16.	А( 2,-1,-4),	В (-2, 1, 1),	С ( 2, 3, 4).
17.	А(-2,-3,-3),	В ( 7, 7,-1),	С ( 3, 4, 1).
18.	А( 4,-1,-3),	В ( 3, 2,-5),	С ( 6,-1,-4).
19.	А( 3,-1, 4),	В ( 5,-5,-2),	С ( 2, 3, 12).
20.	А( 5,-2,-5),	В ( 3, 0,-2),	С ( 1,-2,-11).
21.	А(-4, 2,-1),	В ( 0, 0,-6),	С (-4,-2,-9).
22.	А(-3, 12, 11),	В (-12, 2, 9),	С (-8, 5, 7).
23.	А( 6,-3,-4),	В ( 7, 4, 1),	С ( 0, 5,-4).
24.	А( 2,-3,-4),	В ( 4,-3,-5),	С ( 1, 0,-6).
25.	А( 3,-7, 11),	В ( 5,-9, 8),	С ( 7,-7, 17).
26.	А( 5, 5,-5),	В ( 1, 7, 0),	С ( 5, 9, 3).
27.	А( -4, -6, 0),	В ( 5, 4, 2),	С ( 1, 1, 4).
28.	А(-3, 4,-1),	В ( 1, 3, 2),	С (-3, 7, 5).
29.	А( 1, 1, 2),	В ( 2,-2, 4),	С (-1, 1, 3).
30.	А(-5, 6,-8),	В (-7, 8,-5),	С (-9, 6,-14).

2.2.15 Дано вектори `а, `b `с. Знайти їх мішаний добуток і з′ясувати, праву чи ліву трійку утворюють дані вектори.

1.	`а= ( 3,-1, 2),	`b= ( -3, 1, 3),	`с= (-2, 1,-4).
2.	`а= (-4, 7, 2),	` b = ( 3,-5,-1),	`с= ( 7,-9,-3).
3.	`а= ( 6,-3,-5),	` b = (-3, 1, 2),	`с= ( 7,-4,-6).
4.	`а= ( 5, 12,-3),	` b = ( 3, 7,-2),	`с= (-3,-6, 1).
5	`а= ( 12, 9,-2),	` b = ( 2, 1,-1),	`с= (-7,-5, 2).
6.	`а= (-1, 2, 3),	`b = ( 1, 3,-3),	`с= ( 1,-4,-2).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com