- •Векторна алгебра
- •1. Скалярні та векторні величини
- •1.1. Вектори
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •2. Дії над векторами
- •2.1. Додавання векторів
- •Властивості додавання векторів
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •3. Проекція вектора на вісь і на вектор
- •Властивості проекції вектора на вісь
- •4. Базис на площині.
- •Кілька властивостей розкладу вектора
- •5. Базис у просторі. Геометричні задачі
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •6. Скалярний добуток векторів
- •Властивості скалярного добутку векторів
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •7. Векторний добуток векторів
- •Властивості векторного добутку векторів (наводимо без доведення)
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •8. Мішаний добуток векторів
- •Властивості мішаного добутку векторів
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •Список літератури
- •Методичні вказівки до вивчення розділу
- •З дисципліни “Вища математика”
- •65044, Одеса, пр. Шевченка, 1.
Вправи для самостійного розв’язування
швидкості його точки, що розміщена на відстані від осі обертання (рис. 7).
Відповідь. Вектор розміщений на дотичній до траєкторії точки, його модуль рівний і спрямований в бік руху точки.
Рис.
7
Довести, що якщо три вектори некомпланарні, то вони ненульові.
Показати, що якщо в правій (лівій) трійці векторів поміняти місцями два будь-яких вектори, то одержимо ліву (праву) трійку векторів.
Дано рівносторонній трикутник ABC з центром О. Знайти
, , , , .
Чи всякі колінеарні вектори є компланарними?
Чи нуль-вектор можна вважати колінеарним всякому іншому вектору?
2. Дії над векторами
2.1. Додавання векторів
Розглянемо впорядковану сукупність векторів
. (1)
(рис. 8).
Рис.
8
ється їх додаванням.
Зауваження 1. Якщо при додаванні векторів кінець останнього збігається з початком першого, то сума дорівнює .
Зауваження 2. Додавання двох неколінеарних векторів іможна виконувати за так званимправилом паралелограма (на відміну від цього правила звичайне додавання за правилом трикутника), яке полягає у наступному:
а) вектори ізводяться до спільного початку;
в) діагональ паралелограма, що виходить із спільного початку двох даних векторів є вектором – сумою векторів і(рис. 9).
Рис.
9
Рис.
10
Рис.
11
(рис. 11). Швидкість даного тіла відносно землі є вектор , побудований так, як показано на рис. 11.
Властивості додавання векторів
1. ;
2. ;
3. (комутативна властивість, від лат. comutatus — зміна, перетворення);
4. (асоціативна властивість, від лат. associo — приєднувати).
5. , причому рівність має місце тільки тоді, коли вектори колінеарні.
ЗАУВАЖЕННЯ. Властивість 3 узагальнюється на будь-яку скінчену кількість векторів: результат додавання будь-якої скінченої кількості векторів не залежить від порядку їх запису.
Вправи для самостійного розв’язування
Маємо паралелепіпед , в якому,,. Записати через векторивектори,,,,.
Відповідь. , ,,,.
Довести, що .
Вектори ,тамають один початок. Яку умову повинні задовольняти неколінеарні векториі, щоб векторділив кут між ними пополам?
Відповідь. .
Маємо. Знайти.
Відповідь. .
2.2. Віднімання векторів
Розглянемо упорядковану пару векторів ,. Вектор, який при додаванні здає, тобто початок якого збігається з кінцем, а кінець — з кінцемпри умові, що векториівідкладені від однієї точки, називаєтьсярізницею векторів ,і позначається-
(рис. 12).
Рис.
12
Знаходження різниці векторів називається відніманням векторів. Вектор, який збігається з діагоналлю паралелограма, що з’єднує
кінці векторів, називається вектором-різницею -векторів,.
Властивості віднімання векторів
1. .
2. .
Доведення.
Вправи для самостійного розв’язування
Яку умову повинні задовольняти вектори і, щоб:
а) ;
б) ?
Відповідь. а) ; б)іколінеарні, протилежно спрямовані вектори.
МаємоЗнайти.
Відповідь. 22.
Маємо . Знайти.
Відповідь. 7.
2.3. Множення вектора на число
Рис.
13
Знаходження добутку вектора на число називається їх множенням.
Властивості множення вектора на число
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. Якщо , то.
Доведення.
, тобто — одиничний вектор і цей вектор, очевидно, колінеарний і однаково спрямований з.
Отже, .
7. Якщо , то.
Доведення.
.
8. Якщо іколінеарний звектор, то, причому таке представлення єдине. Якщо, то векториі— однаково спрямовані, якщо, то векториі— протилежно спрямовані.
Наведемо кілька більш загальних означень.
Розглянемо вектори
(2)
і числа
. (3)
Вектор називаєтьсялінійною комбінацією векторів (2). Числа (3) називаються коефіцієнтами лінійної комбінації.
Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі дійсні , які одночасно не всі дорівнюють нулю, що. (4)
Вектори називаються лінійно незалежними, якщо рівність (4) справджується лише за умови .
Вектор називаєтьсялінійною комбінацією векторів , якщо існують одночасно ненульові ,, такі, що.
ТЕОРЕМА. Якщо вектори лінійно залежні, то хоча б один з них можна подати у вигляді лінійної комбінації решти і навпаки.
Доведення цієї теореми, яке, до речі, досить просте, опустимо.