- •Векторна алгебра
- •1. Скалярні та векторні величини
- •1.1. Вектори
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •2. Дії над векторами
- •2.1. Додавання векторів
- •Властивості додавання векторів
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •3. Проекція вектора на вісь і на вектор
- •Властивості проекції вектора на вісь
- •4. Базис на площині.
- •Кілька властивостей розкладу вектора
- •5. Базис у просторі. Геометричні задачі
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •6. Скалярний добуток векторів
- •Властивості скалярного добутку векторів
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •7. Векторний добуток векторів
- •Властивості векторного добутку векторів (наводимо без доведення)
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •8. Мішаний добуток векторів
- •Властивості мішаного добутку векторів
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •Список літератури
- •Методичні вказівки до вивчення розділу
- •З дисципліни “Вища математика”
- •65044, Одеса, пр. Шевченка, 1.
Вправи для самостійного розв’язування
За даними векторами іпобудувати вектор:
а) ;
б) .
Точка О є центром ваги трикутника . Довести, що
.
Довести, що з медіан трикутника можна побудувати трикутник.
Побудувати вектор і знайти, якщо
.
Відповідь. .
У паралелограма позначено:. Записати черезівекторий, де— точка перетину діагоналей паралелограма.
Відповідь. ,,,.
—правильний шестикутник. причому . Записати черезівекторита.
Відповідь. ,,,,,,.
У трапеції відношення довжин основидо довжини основидорівнює. Покладаючизаписати черезтавекторий.
Відповідь. , , , .
Дано тетраедр . Записати через векториівектори:
а) , деі— середини реберта;
б) вектор , де— точка перетину медіан основи.
Відповідь. ,.
3. Проекція вектора на вісь і на вектор
Рис.
14
Властивості проекції вектора на вісь
1. , якщо— ненульовий вектор, що утворює гострий кут з віссю;
, якщо — ненульовий вектор, що утворює тупий кут з віссю;
Рис.
16
Рис.
15
Рис.
17
3. З не випливає.
Рис.
18
в)
б)
Рис.
19
а)
г)
Позначимо через відстань між проекціями.
Для випадку а): .
Для випадку б): .
Для випадку в) і г):
Рис.
20
Що і треба було довести.
6. .
Як видно з рис. 20
.
.Що і треба було довести.
Дана властивість узагальнюється на довільну скінчену кількість векторів: проекція суми будь-якої скінченої кількості векторів на вісь дорівнює сумі проекцій цих векторів на цю ж вісь.
7. .
Для випадків іця властивість очевидна.
Для випадку ,:
.
Для випадку ,(рис. 21):
Рис.
21
Розглянемо тепер ненульовий вектор і вектор.Проекцією вектора на вектор називається проекція вектора на вісь, що спрямована по .
Зауваження. Вісь вводиться тому, що вектор може виявитись “недостатньо довгим”, щоб на нього можна було б спроектувати початок та кінець вектора .
Властивості проекції вектора на вектор аналогічні властивостям проекцій вектора на вісь.
4. Базис на площині.
Розклад вектора по базису на площині
Базисом на площині називається будь-яка упорядкована пара ненульових неколінеарних векторів даної площини (рис. 22).
Рис.
22
Розкладемо вектор поі
. (5)
Вектори ізобразимо наступним чином
Рис.
23
Тоді — розклад вектора по базисута.
Рис.
24
;
, ,
, ,
, ,
, .
Таким чином,
.