- •Векторна алгебра
- •1. Скалярні та векторні величини
- •1.1. Вектори
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •2. Дії над векторами
- •2.1. Додавання векторів
- •Властивості додавання векторів
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •3. Проекція вектора на вісь і на вектор
- •Властивості проекції вектора на вісь
- •4. Базис на площині.
- •Кілька властивостей розкладу вектора
- •5. Базис у просторі. Геометричні задачі
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •6. Скалярний добуток векторів
- •Властивості скалярного добутку векторів
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •7. Векторний добуток векторів
- •Властивості векторного добутку векторів (наводимо без доведення)
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •8. Мішаний добуток векторів
- •Властивості мішаного добутку векторів
- •Вправи для самостійного розв’язування
- •Список літератури
- •Методичні вказівки до вивчення розділу
- •З дисципліни “Вища математика”
- •65044, Одеса, пр. Шевченка, 1.
Вправи для самостійного розв’язування
Нехай маємо векториі, для яких,,Обчислити.
Відповідь. .
Маємо взаємно перпендикулярні вектори і, для яких,, Обчислити: а); б).
Відповідь. а) 24; б) 60.
Вектори задовольняють умову. Довести, що.
Маємо ,. Знайти: а);
б) ; в).
Відповідь. а) ; б); в).
Обчислити площу трикутника з вершинами ,
,.
Відповідь. 14.
Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і, де,,.
Відповідь. 4.
Сила прикладена до точки. Знайти момент силивідносно точки.
Відповідь. .
Записати в декартових прямокутних координатах .
Довести, що якщо , то.
Довести тотожність .
8. Мішаний добуток векторів
Розглянемо впорядковану трійку векторів ,,.
Мішаним добутком векторів ,,називається скаляр, який дорівнює векторно–скалярному добутку векторів:
. (11)
Мішаний добуток векторів ,,позначається, або
Знайдемо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах ,,(рис. 34) . Маємо
(оскільки ,
Рис.
34
тобто
геометричний зміст мішаного добутку полягає в тому, що мішаний добуток векторів з точністю до знака дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.
Об’єм піраміди, побудованої на векторах ,,можна записати у вигляді
,
оскільки він становить об’єму відповідного паралелепіпеда.
Нехай ,,. Беручи до уваги розклад визначника в (10) за елементами першого рядка, дістаємо
Властивості мішаного добутку векторів
1. Вектори ,,компланарні тоді і тільки тоді, коли(умова компланарності ненульових векторів). Зауважимо, щоколи один з векторів нульовий.
2. Якщо , то трійка векторів,,права;
якщо , то трійка векторів,,ліва.
3. Для мішаного добутку виконується циклічна перестановка
.
4. Якщо у відмінному від нуля мішаному добутку поміняти місцями два будь-яких вектори, то зміниться тільки знак добутку
.
Властивості 3 і 4 випливають з того, що парна перестановка рядків визначника не змінює його знак, а непарна змінює на протилежний.
Приклад 1. Нехай маємо взаємно перпендикулярні вектори ,,, що утворюють праву трійку, для яких,,. Знайти.
Використовуючи властивість 2, маємо .
Приклад 2. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах ,,.
Маємо
(куб.ед.).
Вправи для самостійного розв’язування
Маємо вектори ,,, для яких,,,,,. Обчислити.
Відповідь. .
Обчислити об’єм піраміди з вершинами ,,,.
Відповідь.
Обчислити висоту піраміди з вершинами ,,,, опущену з вершини.
Відповідь. 11.
Довести, що точки ,,,лежать в одній площині.
Довести, що при будь-яких тамає місце тотожність
.
Довести, що вектори
компланарні.
Список літератури
1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988.
2. Кулініч Г. Л., Таран Є. Ю. та ін. Вища математика. Кн.1. — К.: Либідь, 1996.
3. Пак В. В., Носенко Ю. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996.
4. Дюбюк П. Е., Кручкович Г. И. и др. Сборник задач по курсу высшей математики. — М.: Высш. шк., 1965.
5. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1986.
ЗМІСТ
1. Скалярні та векторні величини 3
1.1. Вектори 3
2. Дії над векторами 6
2.1. Додавання векторів 6
2.2. Віднімання векторів 8
2.3. Множення вектора на число 9
3. Проекція вектора на вісь і на вектор 12
4. Базис на площині. Розклад вектора по базису на площині 15
5. Базис у просторі. Геометричні задачі 19
6. Скалярний добуток векторів 23
7. Векторний добуток векторів 27
8. Мішаний добуток векторів 30
Навчальне видання