Построение интервальных оценок

Доверительный интервал задается своими концами и. Однако найти функцииииз условия (3.23) невозможно, поскольку закон распределения этих функций зависит от закона распределенияξи, следовательно, зависит от неизвестного параметра. Используют следующий прием, позволяющий в ряде случаев построить доверительный интервал. Подбирается такая функция, чтобы:

- ее закон распределения был известен и не зависел от неизвестного параметра ;

- функция была непрерывной и строго монотонной по.

Тогда для любого βможно выбрать два числаитак, чтобы выполнялось равенство

. (3.24)

Отсюда находят икак квантили функции распределения. Границы искомого доверительного интервала выражают через найденные квантили и выборочные данные, используя для этого соотношения, связывающие новую и старую случайные величины.

Если плотность распределения случайной величины симметрична, то доверительный интервал симметричен относительно точечной оценки , и для нахождения границ доверительного интервала вместо условия (3.23) можно использовать соотношение (3.21).

Основные статистические распределения

Построение разного рода оценок и статистических критериев часто основывается на использовании ряда специальных распределений случайных величин.

Нормальное распределение.Случайная величинаимеет нормальное распределение с параметрамии, что обозначается как, если плотность вероятности этой случайной величины имеет вид

. (3 .25)

График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальное распределение, представлен на рисунке 3.5, на котором видно, что максимум функции находится в точке .

Поскольку нормальное распределение подробно изучается в курсе теории вероятностей, напомним свойства нормальной случайной величины, которые будут использоваться в дальнейшем.

Рис. 3.5

1) ,.

2) Случайная величина называется центрированной, если ее математическое ожидание равно нулю. Для того чтобы центрировать случайную величину, надо вычесть из нее математическое ожидание:

.

3. Случайная величина называется нормированной, если ее дисперсия равна единице, а математическое ожидание равно нулю.

Для того чтобы нормировать случайную величину, надо ее поделить на среднее квадратическое отклонение:

.

Центрированная и нормированная нормальная случайная величина называется стандартной. Таким образом, стандартной будет случайная величина

~ . (3.26)

Вероятность попадания случайной величины в интервал (α,β) вычисляется по формуле

, (3.27)

где - интеграл вероятности, представляющий собой функцию распределения стандартной нормально распределенной случайной величины. Интеграл вероятности табулирован. Его значения приведены в таблице В Приложения.

Для стандартной нормальной случайной величины и симметричного промежутка формула (3.27) принимает следующий вид:

. (3.28)

Распределение (хи-квадрат).Если,независимые стандартные нормальные случайные величины, то говорят, что случайная величина

(3.29)

имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы, что обозначается как. Графики плотности вероятности для двух значений степени свободы приведены на рис.3.6.

Рис. 3.6

С увеличением числа степеней свободы плотность вероятности стремится к нормальной. Приплотность вероятности постоянно убывает, а приимеет единственный максимум,,.

Распределение Стьюдента. Пусть,,,- независимые стандартные нормальные случайные величины. Тогда случайная величина

(3.30)

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, что обозначается как, при этом

, .

На рис.3.7 приведены кривые стандартного нормального распределения (кривая 1) и плотности распределения Стьюдента (кривая 2).

Рис. 3.7

При плотность распределения Стьюдента стремится к плотности стандартной нормальной случайной величины.

На практике, как правило, используется не плотность вероятности, а квантиль распределения. Напомним, что квантилью порядка (или уровня) непрерывной случайной величиныназывается такое ее значение, которое удовлетворяет равенству,

где - функция распределения, а- заданное значение вероятности. Рис.3.8 поясняет понятие квантили порядка.

Рис. 3.8

Следующая теорема устанавливает свойства основных выборочных характеристик, вычисленных по выборке, соответствующих нормальному распределению.

Теорема Фишера. Пусть - случайная выборка из генеральной совокупности , тогда выборочное среднее и несмещенная выборочная дисперсия независимы, и при этом

1) случайная величина имеет распределение ;

2) случайная величина имеет распределение ;

3) случайная величина имеет распределение .

Доказательство теоремы приведено в [2].