- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Кафедра информатики и прикладной математики математика ч. 2 Теория вероятностей и элементы математической статистики
- •Санкт-Петербург
- •Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Перечень видов практических занятий и контроля:
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа (объем 150 часов) Введение
- •Раздел 1. Случайные события (50 часов)
- •Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики Теория
- •Раздел 1 Случайные события
- •Раздел 3 Элементы математической статистики
- •Раздел 2 Случайные величины
- •2.5. Практический блок
- •2.6. Балльно-рейтинговая система
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Библиографический список Основной:
- •3.2. Опорный конспект по курсу “ Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики” введение
- •Раздел 1. Случайные события
- •1.1. Понятие случайного события
- •1.1.1. Сведения из теории множеств
- •1.1.2. Пространство элементарных событий
- •1.1.3. Классификация событий
- •1.1.4. Сумма и произведение событий
- •1.2. Вероятности случайных событий.
- •1.2.1. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа
- •1.2.4. Свойства вероятностей событий
- •1.2.5. Независимые события
- •1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора
- •Формулы для вычисления вероятности событий
- •1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •1.3.2. Условная вероятность события
- •1.3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Раздел 2. Случайные величины
- •2.1. Описание случайных величин
- •2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:
- •Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,,, а их возможные значения – латинскими буквами с индексамиxi,yi,zi.
- •2.1.2. Дискретные случайные величины
- •Рассмотрим события Ai , содержащие все элементарные события , приводящие к значению XI:
- •Пусть pi обозначает вероятность события Ai :
- •2.1.3. Непрерывные случайные величины
- •2.1.4. Функция распределения и ее свойства
- •2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •2.2. Числовые характеристики случайных величин
- •2.2.1. Математическое ожидание случайной величины
- •2.2.2. Дисперсия случайной величины
- •2.2.3. Нормальное распределение случайной величины
- •2.2.4. Биномиальное распределение
- •2.2.5. Распределение Пуассона
- •Раздел 3. Элементы математической статистики
- •3.1. Основные определения
- •Гистограмма
- •3.3. Точечные оценки параметров распределения
- •Основные понятия
- •Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •3.4. Интервальные оценки
- •Понятие интервальной оценки
- •Построение интервальных оценок
- •Основные статистические распределения
- •Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •Интервальная оценка дисперсии нормального распределения
- •Заключение
- •Глоссарий
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных работ
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа 1 описание случайных величин. Числовые характеристики
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Лабораторная работа 2 Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки.
- •Понятие статистической гипотезы о виде распределения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Ячейка Значение Ячейка Значение
- •5. Методические указания к выполнению контрольной работы Задание на контрольную работу
- •Методические указания к выполнению контрольной работы События и их вероятности
- •Случайные величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Элементы математической статистики
- •6. Блок контроля освоения дисциплины
- •Вопросы для экзамена по курсу « Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики»
- •Продолжение таблицы в
- •Окончание таблицы в
- •Равномерно распределенные случайные числа
- •Содержание
- •Раздел 1. Случайные события………………………………………. 18
- •Раздел 2 . Случайные величины ..………………………… ….. 41
- •Раздел 3. Элементы математической статистики ............... . 64
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных
- •5. Методические указания к выполнению контрольной
1.1. Понятие случайного события
1.1.1. Сведения из теории множеств
Понятие множества относится к фундаментальным понятиям математики. Под множеством понимают некоторую совокупность объектов, называемых элементами множества. Для задания множества можно или перечислить все элементы, в него входящие, или определить свойства, которыми они обладают. Множества обозначают прописными буквамиA, B, …, а их элементы– строчными буквамиa, b,… и заключают в фигурные скобки.
Пример 1.1.ОбозначимA -множество положительных целых чисел, меньших 6
A = { 1,2,3,4,5}.
Пример 1.2.ОбозначимB– множество всех действительных чисел
B = {x: }.
Пример 1.3.ОбозначимCмножество всех жителей некоторого города, которые старше 90 лет. Еслиxобозначает возраст жителя этого города, то все элементы множестваCможно определить
C= {x: x>90}.
Выражение "элемент a принадлежит множеству A"будем символически записыватьaA, а записьaAбудет означать "элемент a не принадлежит множеству A".
Множества, состоящие из конечного числа элементов, называют конечными, в противном случае –бесконечными.В примерах1.1и1.3определены конечные множества, а примером бесконечного множества является множество из примера1.2.
Символом Øбудем обозначать множество, не содержащее элементов. Это множество называютпустым множеством. Например, для некоторого города множествоCв примере1.3 может оказаться пустым.
Множество BназываютподмножествоммножестваA,если все элементыBпринадлежат множествуA,и символически записываютили.
1.1.2. Пространство элементарных событий
Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений. Предположим, что производится некоторый эксперимент, исход (результат) которого непредсказуем. Множество тех исходов данного эксперимента, которые не могут происходить одновременно и появление одного и только одного из них обязательно произойдет, называют пространством элементарных событий, а сами исходы называютэлементарными событиями.Пространство элементарных событий обозначают, а элементарное событие -.Пространство элементарных событий называют конечным, если множество элементарных событий конечно и - бесконечным в противном случае.
Рассмотрим некоторые примеры пространств элементарных событий.
Пример 1.4.Игральный кубик, имеющий шесть граней с изображением на каждой числа точек (1,2,3,4,5,6), подбрасывают один раз. Результатами этого эксперимента будем считать число очков, выпавшее на верхней грани кубика. Следовательно, пространство элементарных событий состоит из множества= {1 , 2 ,3 ,4 ,5 , 6}, где элементарное событиеiобозначает число очковi, выпавшее на верхней грани кубика.
Пример 1.5.Эксперимент состоит в наблюдении числа автомобилей, обслуживаемых автозаправочной станцией с 12 до 15 часов. В этом случае элементарные события можно выразить числами 0,1,2…. Очевидно, что число обслуживаемых автомобилей в течение рассматриваемого промежутка времени конечно, но точно предсказать их число невозможно. Поэтому будем считать, что пространство элементарных событий состоит из бесконечного множества
= {0,1,2,…}.
Пример 1.6.Игральный кубик подбрасывают один раз. Рассмотрим следующие события:A = {выпало четное число},
B= {выпало нечетное число},
C = {выпало число3}.
Каждое из этих событий отождествим с множеством всех исходов, при которых они наступают. Тогда события
A={ 2 ,4 ,6 }, B ={ 1,3,5 }, C={ 1,2,3 }.
Отсюда видно, что все эти события являются подмножествами пространства элементарных событий.