5. Что такое фотон? От чего зависят энергия, масса и импульс фотона?

Раздел 4. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

В классической механике состояние системы характеризуется координатами (траектория), импульсом, моментом импульса, энергией. Эти величины могут иметь любые значения и изменяются непрерывно. В квантовой механике величины, характеризующие состояние системы, имеют дискретные значения (изменяются скачком); кроме того, определяются лишь возможные значения величин с некоторой вероятностью. Такова сущность природы материи на уровне микрочастиц. Изучаемый в этом разделе материал разбит на темы: кор- пускулярно-волновой дуализм частиц, волны де Бройля; принцип неопределённости, волновая функция. По этому разделу в контрольную работу включены задачи № 361 – 370. Для закрепления знаний следует ответить на вопросы тренировочного теста № 4. При подготовке к экзамену необходимо ответить на вопросы контрольного теста № 4.

4.1. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц. Волны де Бройля

Изученные ранее оптические явления показывают, что свет обладает двойственной природой.

В одних явлениях (интерференция, дифракция, поляризация и др.) свет проявляет себя как волны и описывается уравнением волны для светового вектора (вектора напряженности Е электрического поля волны)

E E0 cos( t - kx) .

(4.1)

Вдругих явлениях (фотоэффект, тепловое излучение, эффект Комптона

идр.) отчетливо выражено поведение света как частиц с энергией h , мас-

сой m ch , импульсом p h .

Таким образом, свет соединяет в себе такие противоположные свойства как бесконечная протяженность волны и локализация частицы в пространстве.

53

Французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу о том, что частицы, как и свет, обладают двойственной природой. Он придал соотношению для

импульса фотона p h универсальный характер, т.е. длина волны для частицы

	h	.	(4.2)
	p

Эта формула называется формулой Луи де Бройля, а – дебройлевская длина волны для частицы с импульсом р. Позднее эта гипотеза была подтверждена опытным путём. Пучки ускоренных частиц дают отчётливую дифракционную картину при рассеянии на кристаллической решётке.

4.2. Принцип неопределённости. Волновая функция Соотношения неопределенностей

Опыты по дифракции частиц показывают, что отклонение частицы на тот или иной угол – явление случайное, подчиняющееся теории вероятностей: вероятность попадания в область максимума больше, чем в область минимума. Это говорит о том, что координаты и скорости частиц также имеют случайные значения, т.е. могут быть определены с некоторой вероятностью. Существует принципиальный предел точности измерения этих величин.

Кроме того для микрочастиц невозможно одновременно точно определить импульс и координату ( а также энергию и время). Это положение известно в квантовой механике как принцип неопределённости. Математически это записывается формулами соотношений Гейзенберга:

				px x		;	E t / 2,	(4.3)
					2
здесь h / 2 ,	px ,	x ,	E ,	t – неопределённости импульса,				координаты,

энергии и времени соответственно.

Например, если считать неопределенность координаты электрона в атоме водорода равной диаметру атома x 10-10 м. то неопределенность его скорости

v mpx окажется больше его скорости. Таким образом, теряет смысл понятие траектории.

54

Проведем аналогичные расчеты для пылинки массой 1 мг. С помощью микроскопа её положение может быть определено с точностью x = 10-6 м, тогда неопределенность скорости равна v 10-21 м/с. Такая величина недоступна для измерения, т.е. и координаты и импульс можно определить практически точно.

Сопоставление этих примеров показывает значение соотношений неопределенностей – они устанавливают границы применимости законов классической физики.

Если величины, характеризующие состояние частицы, сравнимы с постоянной Планка, то применяется квантово-механический способ описания. В противном случае – законы классической физики.

Соотношения неопределенностей являются одним из фундаментальных положений квантовой теории, отражают волновую природу микрочастиц.

Соотношения неопределенностей во многих случаях позволяют предсказать поведение системы. Зная энергию состояния частицы, можно оценить время жизни её в этом состоянии.

Волновая функция

Экспериментальное подтверждение волновых свойств частиц привело к необходимости отыскания соответствующей функции для описания состояния частицы. Естественно эта функция должна содержать величины, характерные, как для волн, так и для частиц.

Уравнение для вектора напряженности электрического поля световой волны E E0 cos( t - kx) можно переписать в комплексной форме

E(x,t) E0 exp[-i( t - kx)].		(4.4)
Аналогично для некоторой частицы можно записать волновую функцию,
обозначив её и выразив чисто волновые величины	и	через характери-
стики частиц: энергия кванта E h , тогда	E .	Волновой вектор

55

k	2	выражается через импульс частицы,						если считать, что	– это длина
волны де Бройля:			h	, k 2 p	p	.
			p
				h
	Таким образом
				(x,t) 0 exp[-			i	(Et - px x)].	(4.5)

Приведенные рассуждения нельзя считать выводом для математического выражения волновой функции (x,t) . Выражение (4.5) это уравнение плоской волновой функции, здесь Е – полная энергия частицы, рх – проекция импульса на направление ОХ.

Функцию (4.5) можно записать через r – радиус-вектор, характеризующий положение частицы в пространстве:

						i
r	,t	0	exp				Et pr .	(4.6)

Волновая функция, будучи комплексной, является ненаблюдаемой. Сопряженные величины Е и t; p и r связаны соотношениями неопределенностей, они не могут быть определены одновременно точно. Все это говорит о том, что волновая функция характеризует вероятностный характер поведения микрочастиц.

Так, например, квадрат модуля – функции дает плотность вероятности нахождения частицы в заданном объеме пространства.

В классической физике величины, характеризующие состояние тела или системы тел, находят как решение соответствующих дифференциальных уравнений (второй закон Ньютона, уравнения электромагнитного поля Максвелла).

Волновую функцию тоже находят, решая дифференциальное уравнение Шредингера, которое отражает волновые свойства частиц.

56