Таким образом, вероятность того, что все купленные билеты оказались выигрышными увеличилась в два раза.

2. Случайные величины

Перед решением задач по этой теме следует усвоить основные понятия, связанные со случайными величинами: дискретные и непрерывные случайные величины, законы их распределения; изучить примеры распределений; оценить роль числовых характеристик случайных величин.

Кроме того, следует разобрать приведенные в комплексе примеры 5-8.

Пример 5 Прибор состоит из двух независимо работающих блоков А и В, каждый из которых собран из нескольких независимых элементов (рис.1),

вероятности отказов которых
		р1 = р2 = 0.2,			р3 = р4 = р7 = 0.3; р5 = р6 = 0.25,					р8 = 0.278
									5
		1			3				6		8
							А				В
		2			4				7

Рис 1 При отказе блока он подлежит полной замене, причем стоимость

замены блока А равна С1 = 5 единицам стоимости, блока В – С2 = 10 единиц. Предполагается, что за определенный период времени Т ни один блок не потребует повторной замены.

Найти случайную величину η - стоимость восстановления прибора за период времени Т:

1)построить ряд и функцию распределения,

2)вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение,

3)построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Решение. 1. Определим значения случайной величины η, которая является дискретной. Случайная величина η «стоимость ремонта» может принимать только четыре значения.

х1 = 0 - ни один блок не потребует замены; х2 = С1 = 5 - только блок А потребует замену; х3 = С2 = 10 - только блок В потребует замену; х4 = С1 +С2 = 15 - оба блока потребуют замену.

Чтобы вычислить вероятность каждого из значений хi, следует сначала найти вероятности выхода из строя блоков А и В.

Обозначим А - выход из строя блока А, Ai – отказ i-го элемента (i = 1,2,3,4). Блок А откажет, если откажет хотя бы одна из его частей (первая состоит из элементов 1 и 2, вторая – 3 и 4). Первая часть откажет, если откажут оба элемента, т.е. произойдет событие А1А2, вторая - если произойдет А3 А4. По определению суммы событий

А= А1 А2 + А3 А4.

Всилу теоремы сложения вероятностей совместных событий

Р(А) = Р(А1 А2 + А3 А4) = Р(А1 А2) + Р( А3 А4) – Р(А1 А2 А3 А4)

В силу независимости событий Аi, получим

Р(А) = Р(А1) ·Р(А2) + Р(А3)· Р(А4) - Р(А1)·Р(А2)· Р(А3) ·Р(А4) = = 0.2·0.2 + 0.3·0.3 – 0.2·0.2·0.3·0.3 = 0.1264.

Сразу определим вероятность того, что блок А не откажет за время Т (событие

А)

Р( А) = 1- Р(А) = 1-0.1264 = 0.8736.

Обозначим В – выход из строя блока В, а Вi – отказ i-го элемента (i = 5,6,7,8). Блок В потребует ремонта, если откажут все элементы ветви, состоящей из элементов 5,6 и 7, или элемент 8, а также если откажут все четыре элемента, т.е. событие В может быть записано следующим образом

В= В5 В6 В7 + В8.

Всилу совместности и независимости событий Вi (i = 5,6,7,8) вероятность события В определяется формулой

Р(В) = Р(В5) Р(В6) Р(В7) + Р(В8) - Р(В5) Р(В6) Р(В7) Р(В8).

Таким образом,

Р(В) = р5р6р7 + р8 - р5р6р7р8 = 0.25·0.25·0.3+ 0.278- 0.25·0.25·0.3 ·0.278=0.2915.

Найдем вероятность безотказной работы блока В.

Р( В) = 1 – Р(В) = 1 – 0.2915 = 0.7085.

Найдем вероятности значений случайной величины η.

Случайная величина имеет значение х1 = 0, если произойдет событие А· В(оба блока исправны за время Т). События А, В независимы, поэтому

Р(η=0) = Р( А)Р( В) = 0.8736 · 0.7085 = 0.6189 (ограничились при вычислениях четвертым знаком после запятой).

Значение х2 = 5 принимается, если отказывает блок А и не отказывает блок В, т.е.

Р(η=5) = Р(А)Р( В) = 0.1264 · 0.7085 = 0.0896.

Р(η=10) = Р( А В), так как должен отказать только блок В, т.е.

Р(η=10) = 0.8736 · 0.2915 = 0.2547.

И наконец,

Р(η=15) = Р(А В) = Р(А)Р(В) = 0.1264 · 0.2915 = 0.0368.

Сведем полученные результаты в табл.1, которая и будет рядом распределения рассматриваемой случайной величины η.

				15	Таблица 1
хi	0	5	10		Σ
рi	0.6189	0.0896	0.2547	0.0368	1.0000

Замечание. Просуммировав все вероятности и получив 1, убедимся, что избежали грубых ошибок при вычислениях.

Построим многоугольник распределения (рис 2): по оси абсцисс откладываем значения случайной величины хi, а по оси ординат значения их вероятностей рi.

рi

0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0	5	10	15	хi
		Рис. 2

Найдем функцию распределения случайной величины, используя соотношение:

	F(х) = ∑ pi
		хi<x
При x<0	F(x)= 0;
При 0≤ x<5	F(x)= P(η=x1)=p1=0.6189;
При 5≤x<10	F(x)= P(η=x1) + P(η=x2)=p1+p2=0.7085;
При 10≤x<15	F(x)=P(η=x1)+P(η=x2)+
P(η=x3)=p1+p2+p3=0.9632;
При x≥15	F(x)= ∑4	P(η = xi )=1.0000.
	i=1
	0 при x < 0,
	0.6189 при 0		≤ х < 5,
Таким образом, F(x) = 0.7085 при 5			≤ x <10,
	0.9632 при 10 ≤ x <15,

1.000 при x ≥15.

График функции распределения изображен на рис. 3.

Рис. 3

Найдем математическое ожидание M[η], дисперсию D[η] и среднее квадратическое отклонение ση исследуемой случайной величины, воспользовавшись формулами:

n

M[η]= ∑ xi pi , (1)

i=1

D[η]= ∑n (xi − M [η]2 )2 pi ,	(2)
i=1
ση= D[η].	(3)

Заметим, что дисперсию удобнее вычислять не по формуле (2), а по формуле

D[η]= M [η2]− (M [η])2 ,

(4)

которая является одним из свойств дисперсии (“Дисперсия есть разность математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее математического ожидания”). Все вычисления удобно вести в табл. 2.

Таблица 2

хi		0	5	10	15	∑
pi		0.6189	0.0896	0.2547	0.0368	1.0000
xi	pi	0	0.4480	2.547	0.5520	3.5470 =	η	]
							M[
2	pi	0	2.2400	25.47	8.2800	35.1900 =	η		2	]
xi
							M[
						12.5812 = (M[η])2
						23.4080 = D[η]
						ση= 4.8382

Процесс вычисления достаточно ясен из самой таблицы. Первые две строки – ряд распределения случайной величины. Третья строка – произведение значений случайной величины на их вероятности; сумма в этой строке и даст математическое ожидание случайной величины согласно формуле (1). Четвертая строка – произведение квадрата значений случайной величины на их вероятности (достаточно умножить элементы третьей строки на элементы первой); сумма их равна математическому ожиданию квадрата случайной величины. Вычитая из этой величины квадрат математического ожидания, получим дисперсию, а извлечение корня из последней даст среднее квадратическое отклонение.

Итак, случайная величина “стоимость ремонта” имеет среднее значение 3.547 денежных единиц со среднеквадратическим отклонением 4.8382.