можно записать

Ф( 60σ− m )= 1-Ф( m σ− 60 )= 0,02, т.е. Ф( m σ− 60 )= 0,98.

По табл.11 находим, что Ф(х)= 0,98 соответствует х=2,056, т.е. m σ− 60 = 2,056.

Таким образом

m-2.056σ =60.

	Из второго условия следует P{X<90}=F(90)=Ф(	90 − m	) = 0,84 ; по табл. 3
		σ		90 − m
	находим аргумент для значения функции 0,84 и получаем				=0,995 ,
				σ
	отсюда m+0,995σ =90.

Таким образом получаем систему уравнений относительно параметров m

иσ :

m − 2.056σ = 60,m + 0,995σ = 90

Вычисляем из системы искомые параметры: 3,051σ =30, σ 9,83, m=60+2,05 9,83 80,15.

Итак, Μ[ξ ]=80,15, аξ =9,83.

3. Элементы математической статистики

Перед тем как приступить к решению второй половины третьей задачи, следует изучить такие понятия, как выборка, случайные числа; случайные числа распределенные по определенному закону; эмпирические (экспериментальные) ряд и функция распределения; оценки параметров распределения; метод жребия моделирования дискретной величины; критерии Пирсона оценки достоверности гипотезы, доверительные вероятности и интервалы. Следует разобрать примеры 10,11.

Коротко рассмотрим, в чем заключается метод жребия моделирования дискретной случайной величины. Пусть событие А может произойти с вероятностью р, и пусть очередное значение случайного числа ri (случайное число – значение непрерывной случайной величины, равномерно распределенной в интервале [0,1]). Если ri ≤ р , то оно принадлежит интервалу [0, p], поэтому считаем, что событие А наступило. Если ri>р, то

считается, что событие А не наступило.

Поскольку значения случайной величины ни что иное как случайные события, процедура моделирования дискретной случайной величины с заданным законом распределения аналогична моделированию случайного события.

Пусть дискретная случайная величина задана теоретическим рядом распределения.

η	х1	х2	х3	…	хn
pi	р(х1)	р(х2)	р(х3)	…	р(хn)

Присваиваем случайной величине η значение х1, если значение случайного числа ri≤p(х1), значение х2, если p(х1)<ri≤p(х1)+p(х2), т.е. в общем случае, если

m −1		m
∑	p(хi) < r j ≤	∑ p(xi ), то случайной величине η присваивается значение хm
i =1		i =1

Пример 10.

Дискретная случайная величина задана рядом распределения, приведенным в табл.3.

				Таблица 3
хi	0	5	10	15
pi	0.6189	0.0896	0.2547	0.0368

1. Построить модель этой случайной величины для партии из 25 приборов (методом жребия получить её 25 значений); найти экспериментальные ряд и функцию распределения, построить их графики;

2. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения;

3. С помощью критерия Пирсона оценить соответствие экспериментального распределения теоретическому при уровнях значимости

α1=0.01, α2= 0.05.

Решение. 1. Приступим к построению модели данной случайной величины. Этот процесс будем осуществлять методом жребия с помощью случайных чисел rj, т.е. значений случайной величины равномерно распределенной в интервале [0,1). Эти значения приведены в табл.9 приложения. Моделируемые значения случайной величины обозначим Zj (j= 1,2,…,25). Заметим, что каждое из них следует рассматривать как случайную величину.

Для рассматриваемой случайной величины правило моделирования примет вид:

η примет значение 0, если rj ≤ 0.6189,

значение 5, если 0.6189< rj≤ 0.7085, значение 10, если 0.7085< rj≤ 0.9631,

значение 15, если ri> 0.9631.

Для удобства использования правила можно свести в табл. 4 или изобразить на рис. 7.

		Таблица 4
	Интервал		zj			Z=0			Z=5			Z=10		Z=15
1	0;0.619		0
				0
2	0.619; 0.708		5			0.619			0.70			0.963			1.0
				ri
3	0.708; 0.963		10						Рис.7
4	0.963; 1.000		15
	Замечание. Поскольку в			табл.1		даны			только 2 знака мантиссы,
значения границ интервалов округлили до трех знаков после запятой.

Приступая к моделированию, η возьмем первое число из табл. 1. Для того х, чтобы начало было случайным, воспользуемся днем рождения решающего задачу. Допустим, он родился 9 марта. Поэтому начнем с 9-й строки 3-го столбца. Это число 67, следовательно, r1= 0.67, оно принадлежит второму интервалу [0.619;0.708], поэтому х1=5. Таким образом, найдена стоимость ремонта первого прибора. Аналогично моделируются стоимости остальных приборов. Далее случайные числа будем выбирать двигаясь, например, по строкам влево или вправо. Второе число 43, т.е. r2=0.43, оно из интервала [0;0.619], поэтому х2=0. Сведем процесс нахождения реализаций η в табл.5.

						Таблица 5
j	rj	интервал	zj	j	rj	интервал	zj
1	0.67	0.619;0.708	5	13	0.35	0;0.619	0
2	0.43	0;0.619	0	14	0.98	0.965;1.000	15
3	0.97	0.963;1.000	15	15	0.95	0.708;0.963	10
4	0.04	0;0.619	0	16	0.11	0;0.619	0
5	0.43	0;0.619	0	17	0.68	0.6194;0.708	5
6	0.62	0.619;0.708	5	18	0.77	0.708;0.963	10
7	0.76	0.705;0.963	10	19	0.12	0;0.619	0
8	0.59	0;0.619	0	20	0.17	0;0.619	0
9	0.63	0.619;0.708	5	21	0.17	0;0.619	0
10	0.57	0;0.619	0	22	0.68	0.619;0.708	5
11	0.33	0;0.619	0	23	0.33	0;0.619	0
12	0.21	0;0.619	0	24	0.73	0.708;0.963	10
				25	0.79	0.708;0.963	10
	Найдем	экспериментальный	ряд распределения, для чего подсчитаем

частоты mi, равные числу приборов с данной стоимостью ремонта, т.е. числу появлений значений хj, вычислим их относительные частоты, т.е. оценки

вероятностей р* mi и занесем результаты в табл.6.

i =

25

				15	Таблица 6
xi	0	5	10			Σ
mi	13	5	5	2		25
р*i	0.52	0.20	0.20	0.08		1.00

Найдем экспериментальную функцию распределения F*(х)=

0	при х < 0,
0.52	при 0 ≤ х < 5,
F*(х)= 0.72	при 5 ≤ х <10,
0.92	при 10 ≤ х <15,

	≥15
1.00 при х

∑ pi* :

х<хi

Построим экспериментальные многоугольник распределения и функцию распределения (рис. 8). Для наглядности сравнения теоретических и экспериментальных кривых построим штриховыми линиями теоретические кривые.

Рис.8 2. Найдем оценки числовых характеристик. Для вычисления оценок

математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения воспользуемся формулами:

k

m* = ∑xi рi , (8)

i =1

где k- число различных значений случайной величины;

D[η]= ∑k	(xi − m*)2	рi				(9)
i=1
или	[η2]− ( *)2 = ∑k				− ( *)2 .
D * [η]= M *			2	р		(10)
	m	i=1	хi	i	m

Поскольку формулы (6) и (7) дают смещенную оценку дисперсии, несмещенную оценку найдем по формуле

	D * [η]	=	n		D * [η]	.			(11)
			n −1
	несм				смещ		n
	Замечание. При больших значениях n коэффициент								очень близок
							n −1

к единице, и можно считать оценку, вычисленную по формулам (9) или (10), оценкой несмещенной дисперсии.

Вычисления сведем в табл. 7, аналогичную табл.2.												Таблица 7
	xi		0		5			10		15	Σ
p*i			0.52	0.20				0.20		0.08	1.00	= m*
xi	*		0	1.00				2.00		1.20	4.20
	pi
2	*		0	5.00				20.00		18.00	43.00	= M	*	2
xi	pi													[η ]
												= (m * )2
											17.64
											25.36	= D* [η]см
			Dнесм*	[η]=	25		D*см =1.0417 25.36 = 26.418 ,
					25 −1
								ση* = 5.140 .
	Сравнив полученные результаты с теоретическими (см. пример 5),
видим,		что экспериментальные						характеристики отличаются от полученных

из исходного ряда распределения. Для того чтобы получить более близкие результаты, следует существенно увеличить число реализаций случайной величины.

3. Проверим соответствие закона распределения полученной случайной величины F*(х) заданному закону распределения F(x), используя критерий Пирсона.

Для этого определяется случайная величина

χ2 = ∑k (mi − npi )2 , i=1 npi

где k – число значений случайной величины;

mi - число появлений значений случайной величины η; pi - теоретическая вероятность значения;

n - объем моделируемой выборки ( npi - ожидаемое число появлений значения хi при n реализациях случайной величины). Величина χ2, называемая “хи-квадрат”, служит показателем того, насколько хорошо согласуются моделируемое и ожидаемое распределения.

В статистических расчетах число степеней свободы для дискретной случайной величины определяется как r=k-l-1, где k – число значений случайной величины, l – число параметров, которые были вычислены по результатам наблюдений.

Введем понятие «критическое значение» C= χα2 ,r следующим образом:

если при проверяемой гипотезе вероятность события {χ2>C} Р(χ2>С)=α мала, то С называется «критическим значением», а α - «уровнем значимости» критерия χ2. Уровень значимости является вероятностью отвергнуть правильную гипотезу. Выбор его определяется решаемой задачей. Как правило, полагают α=0.01 или α=0.05, т.е. в одном или пяти случаях из ста может быть отвергнута правильная гипотеза. Критические значения в зависимости от объема выборки и уровня значимости приведены в табл. 4 приложения А.

В рассматриваемой задаче число k=4, поэтому число степеней свободы r=4-1=3. По табл. 4 найдем критические числа С1 (для α1=0.01) и С2 (для

α2=0.05): ими будут С1=11.3 и С2=7.8.

Найдем значение χ2. Все вычисления выполним в таблице 8 (n=25, npi вычислим до одного знака после запятой).

						Таблица 8
	i	хi	mi	npi	mi- npi	(mi − npi)2
						npi
	1	0	13	15.5	-2.5	0.403
	2	5	5	2.2	2.8	3.536
	3	10	5	6.4	-1.4	0.306
	4	15	2	0.9	1.1	1.344
	Σ	-	25	25.0	0.0	χ2
						5.617=

При уровне значимости α2=0.05 событие {χ2>C2} не произошло (5.617<7.8); полученное распределение не противоречит предполагаемому.

При менее жестких требованиях, т.е. при α=0.01, событие {χ2>C1} тем более не произошло, и в этом случае можно считать, что гипотеза о распределении случайной величины с заданным законом распределения не противоречит смоделированным значениям случайной величины.