Пример 6. Плотность вероятности случайной величины

	0	при x < 0,
f(x)= 0.08 х при 0 ≤ x ≤ 5,
	0	при x > 5.
Убедиться, что предложенная		функция может быть плотностью

вероятности некоторой случайной величины η. Найти её функцию распределения F(x), математическое ожидание M[η], дисперсию D[η], среднее квадратическое отклонение ση и вероятность попадания случайной величины в интервал [1,3]. Построить графики плотности вероятности и функции распределения.

	Решение. Покажем, что данная f(х) может быть плотностью
вероятности.		f(х) ≥0. Проверим выполнение свойства
∞	Действительно, прежде всего,
∫ f (x)dx =1.
−∞	∞	5	x2			5
	∫ f (x)dx	= ∫0.08 xdx = 0.08				0	= 0.04 25 =1.
			2
	−∞	0

Следовательно, предложенную функцию можно рассматривать как плотность вероятности.

Найдем функцию распределения F(x) из соотношения

x

F(x)= ∫ f (x)dx .

−∞

Для х (-∞;0)	F(x)=	x
		∫0dx = 0 ,
		−∞
для х [0;5]		x				0		x
	F(x)=	∫	f (x)dx =			∫	0 dx +	∫0.08xdx = 0.04 x2;
		−∞				−∞		0
для х (5;+∞)		x				0	5	∞
	F(x)=	∫	f (x)dx =			∫	0dx + ∫0.08xdx + ∫0dx =1.
		−∞				−∞	0	5
			0 при x < 0,
Окончательно :	F(x)=			2	при 0 ≤ x ≤ 5,
		0.04 x
			1 при x > 5.

Построим графики плотности вероятности и функции распределения

(рис. 4).

Рис. 4

	∞					5							x	3			5 =		10
	M[η]= ∫ x	f (x)dx =				∫ x 0.08xdx = 0.08															≈ 3.33.
															3				3
	−∞					0											0
	Для вычисления D[η], воспользуемся её свойством
	2				2	∞						10					2
						= ∫ x2 f (x)dx −
	D[η]=M[η	] - (M[η])															=
						−∞						3
	5		100				5		100								100			25
	= ∫0.08 x3 dx −			= 0.02 x4				−		=12.5 −									=			≈1.39.
																		9			18
	0	9					0	9
	Cреднее квадратическое отклонение
								ση= D =			5 2						≈1.18 .
												6
	Вероятность попадания в интервал [1,3] можно вычислить любым из

двух способов, используя либо плотность вероятности, либо функцию распределения. В первом случае

3	3		3	= 0.32.
P(1≤η≤3) = ∫ f (x)dx = 0.08∫ xdx = 0.04 x2
1	1		1

Во втором –

P(1≤η≤3) = F(3)- F(1)= 0.04 32- 0.04 12=0.32.

lim

x→+∞

lim

x→−∞

F(x)=0,

F(x)=1.

Пример 7. Функция распределения случайной величины η

			0	при	x < −		π		,
							2
	1									π
		(1	+ sin x)	при −		π			≤ x ≤		,
F(x)=
	2						2			2
			0	при x >		π		.
						2

Показать, что эта функция может быть функцией распределения некоторой непрерывной случайной величины; найти её плотность вероятности f(x), математические ожидание M[η], дисперсию D[η], среднее квадратическое отклонение ση , построить графики функции распределения и

плотности вероятности; найти вероятность попадания в интервал		π
	0;		.
		6

Решение. Чтобы F(x) могла быть функцией распределения непрерывной случайной величины она, во-первых, должна быть определена

на

всей

числовой

оси. Действительно, F(x) определена

на интервалах

π

π

π

π

−∞;−

,

−

;

,

;+∞ , и в точках границ интервалов

односторонние

2

2

2

2

пределы функции равны её значениям.Вовторых её область значения должна быть [0;1]. Действительно, все значения F(x) принадлежат интервалу

[0,1],(0≤ 12 (1 + sin x)≤1, таккакsin x [-1;1]).

И, наконец,

Из всего сказанного следует, что предложенная функция может быть функцией распределения непрерывной случайной величины.

Плотность вероятности найдем из соотношения f(x)=F′(x). Заметим, что F(x) задана разными выражениями в области её определения, следовательно, и f(x) также будет описана разными выражениями на этих интервалах

				0	при x < −			π		,
									2
			1			π					π
	f(x) =			cos x	при −		≤ x ≤					,
			2			2					2
							π
				0	при x >				.
							2
	Построим графики f(x) и F(x)		(рис. 5)

Рис.5

Найдем математическое ожидание:

π

π

π

∞

1

1

M[η]= ∫

xf (x)dx =

2∫ x

cos xdx =

x sinx

2

−

2∫sin xdx

= 0 .

2

2

π

−∞

−

π

−

−

π

2

2

2

Найдем дисперсию:

π

π

π

∞

(x − M [η])

2

2

2

1

1

2

2

2

D[η]= ∫

f (x)dx = ∫

x

cos xdx

=

x

sin x

π

− 2 ∫x sin xdx

=

2

2

−∞

−

π

−

−

π

2

2

2

π

π

π

1

2

2

2

1

2

=

π

−

− π

− 2

− x cos x

2

+

∫cos xdx

=

π

−

2 sin x

2

=

2

π

2

4

4

−

π

π

2

−

2

−

2

2

=

1

π

2

π

2 −8

−

4 =

≈ 0,467.

2

2

4

Среднее квадратическое отклонение

σ η=

D[η]=

π2

−8

≈ 0.684.

π

2

Вероятность попадания в интервал

0,

6

π

π

1

π

1

(1

+ sin 0)=

1

P 0 ≤ η≤

=

F

− F(0) =

1

+ sin

−

= 0.25.

6

2

6

2

4

6

f(x)=

Пример 8. Случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

22π е−(2х2+6х+4.5) .

Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания в интервал [-2;-1]. Построить кривую плотности вероятности этой случайной величины.

Решение. 1. По виду формулы плотности вероятности определяем, что случайная величина распределена по нормальному закону, для которого

плотность вероятности f(x) =

1

е−

(x−m)2

2σ 2

. Приведем заданную функцию к

2πσ

стандартному виду:

−(х+1.5)2

2

е−(2х

2

+6х+4.5)=

1

f(x)=

е 2 0.5 0.5 .

2π

2π 0.5

Отсюда следует,

что m=-1.5; σ =0.5. Известно, что параметр m -

η

], а

σ

- среднее квадратическое отклонение

математическое ожидание M[

ση. Следовательно, M[η]=-1.5, σ η=0.5, D [η]=ση2 =0.25.

2.Найдем вероятность попадания заданной случайной величины в интервал [-2,-1].

По свойствам функции распределения вероятность попадания случайной величины в интервал [α;β)

(α ≤ η<β) = F(β) − F (α) ,

где F(x) – функция распределения случайной величины. Для нормально распределенной случайной величины функция распределения F(x) может быть выражена через её нормированную функцию Ф(х) формулой:

x − m

F(x)= Ф

.

(5)

σ

Функция Ф(х) табулирована (см. табл. 3 приложения).

Таким образом,

β − m

α − m

Р(α ≤ η<β)= Ф

− Ф

.

(6)

σ

σ

Для решаемой задачи: α = −2, β = −1, m = −1.5, σ=0,5 т.е.

−1

− (−1.5)

− 2

− (−1.5)

= Ф(1)

− Ф(−1).

Р(−2 ≤ η< −1) = Ф

0.5

− Ф

0.5

Учитывая, что Ф(-х)=1- Ф(х), и найдя в табл.3 приложения Ф(1)=0.8413, получим

Р( − 2 ≤η<-1)=2Ф(1)-1=0.6826.

3. Построим кривую плотности вероятности. Для этого на графике построим сначала кривую нормированной плотности вероятности (на рис. 6