- •План дополнительных занятий, I-ый семестр
- •1 Способы представления систем управления
- •1.1 Математические способы описания систем: дифференциальные уравнения, передаточные функции, пространство состояния. Переход от одной формы к другой.
- •1.2 Графические способы описания систем: структурные схемы, графы, статические характеристики. Переход от одной формы к другой.
- •1.3 Переход от одной математической формы описания к другой
- •1.4 Переход от одной графической формы описания к другой
- •2 Переход от одной формы описания системы к другой
- •2.1 Правила эквивалентных преобразований структурных схем: последовательное, параллельное соединение и обратная связь
- •2.2 Нахождение передаточной функции системы по структурной схеме для случая одноконтурных и многоконтурных систем, в том числе систем с перекрестными связями
- •3 Временные характеристики: способ получения, связь, показатели качества.
- •Основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа
- •4 Частотные характеристики: способ получения, связь, показатели качества.
- •5 Типовые звенья и их характеристики: временные и частотные
- •6 Определение устойчивости системы. Теоремы Лапласа, критерии устойчивости
- •7 Показатели качества системы
1 Способы представления систем управления
Для исследования любой системы управления используется ее модель.
Модель — это объект или явление, в достаточной степени повторяющие свойства моделируемого объекта или явления (прототипа), существенные для целей конкретного моделирования, и опускающие несущественные свойства, в которых они могут отличаться от прототипа.
Виды моделей:
на естественном языке
на специальном языке
научные
математические формулы
алгоритмы
технические
техкарты
программы
Смешанные
таблицы
графы
деревья
сети
блок - схемы
схемы
карты
Наглядные (выраженные на языке представления)
рисунки
чертежи
графики
фотографии
В теории управления для исследования систем используются математические и смешанные (графические) способы описания систем.
1.1 Математические способы описания систем: дифференциальные уравнения, передаточные функции, пространство состояния. Переход от одной формы к другой.
В теории управления широко применяется несколько математических способов описания системы управления, а точнее ее математической модели. Одномерные одноканальные системы (или объекты) обычно описывают дифференциальным уравнением, связывающим входной и выходной сигнал системы:
, (1.1)
здесь и- входной и выходной сигналы системы,
- производная сигналаn-го порядка;
- производная сигналаm-го порядка;
- коэффициенты при выходном сигнале и его производных;
- коэффициенты при входном сигнале и его производных.
При составлении дифференциального уравнения системы следует учитывать следующие замечания: выходной сигнал и его производные записываются в левой части уравнения, а входной сигнал и его производные – в правой; условие является условием физической реализуемости системы.
В случае многоканальной системы используют систему дифференциальных уравнений, записанную в виде нормальной формы Коши, т.е.
(1.2)
здесь - выходные сигналы системы,
- входные сигналы системы.
Такую систему дифференциальных уравнений относительно первых производных часто записывают в матричной форме:
(1.3)
здесь - вектор переменных состояния;
- вектор входных переменных;
- вектор выходных переменных;
A- матрица коэффициентов системы;
B- матрица входных коэффициентов (матрица управления);
C- матрица выходных коэффициентов;
D- матрица коэффициентов пропорциональных каналов (матрица компенсации).
При этом размерность матриц будет определяться размерностью исходного дифференциального уравнения. Способ описания системы управления с помощью дифференциальных уравнений в матричной форме называется методом пространства состояний.
Если при составлении дифференциального уравнения процедуру вместо знака дифференцирования (например ) использовать оператор дифференцирования, то полученное уравнение будет называться дифференциальным уравнением в операторном виде. Так, для уравнения (1.1) запишем:
, (1.4)
здесь - оператор дифференцирования, т.е..
В общем виде дифференциальное уравнение в операторном виде можно записать:
, (1.5)
тогда уравнение относительно выходного сигнала будет иметь вид:
. (1.6)
Следующим способом описания системы управления является передаточная функция. Передаточная функция, связывающая входной и выходной сигналы времени, называется операторной передаточной функцией, и, соответственно (1.6), записывается как:
(1.7)
Если от дифференциальных уравнений перейти к уравнениям в изображениях Лапласа, т.е оператор дифференцирования заменить на оператор Лапласа, тогда вместо операторной передаточной функции следует говорить о передаточной функции в изображениях Лапласа:
, (1.8)
здесь иизображения Лапласа сигналови,s – переменная преобразования Лапласа.
Таким образом, в теории управления для описания математической модели системы используются следующие формы:
дифференциальное уравнение,
дифференциальное уравнение в операторном виде,
операторная передаточная функция,
передаточная функция в изображениях Лапласа,
пространство состояний.