- •План дополнительных занятий, I-ый семестр
- •1 Способы представления систем управления
- •1.1 Математические способы описания систем: дифференциальные уравнения, передаточные функции, пространство состояния. Переход от одной формы к другой.
- •1.2 Графические способы описания систем: структурные схемы, графы, статические характеристики. Переход от одной формы к другой.
- •1.3 Переход от одной математической формы описания к другой
- •1.4 Переход от одной графической формы описания к другой
- •2 Переход от одной формы описания системы к другой
- •2.1 Правила эквивалентных преобразований структурных схем: последовательное, параллельное соединение и обратная связь
- •2.2 Нахождение передаточной функции системы по структурной схеме для случая одноконтурных и многоконтурных систем, в том числе систем с перекрестными связями
- •3 Временные характеристики: способ получения, связь, показатели качества.
- •Основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа
- •4 Частотные характеристики: способ получения, связь, показатели качества.
- •5 Типовые звенья и их характеристики: временные и частотные
- •6 Определение устойчивости системы. Теоремы Лапласа, критерии устойчивости
- •7 Показатели качества системы
1.2 Графические способы описания систем: структурные схемы, графы, статические характеристики. Переход от одной формы к другой.
В теории управления широко применяется несколько графических способов описания системы управления: структурная схема, граф системы, статическая характеристика.
Структурной схемойсистемы управления называют графическое представление ее математической модели в виде соединений звеньев с указанием входных и выходных сигналов. Основными элементами структурной схемы являются: звено, узел, сумматор и элемент сравнения.
а |
б |
в |
г | ||
д |
е |
ж | |||
Рисунок – Элементы структурных схем
Графомназывается совокупность множества V точек, называемых вершинами, и множества R простых (т.е. самонепересекающихся) кривых, называемых ребрами.
Рисунок – Граф системы управления
Статическая характеристиказвена системы управления – зависимость выходного сигнала звена от входного сигнала в статическом режиме, представленная в графической форме.
Режим работы САУ, в котором управляемая величина и все промежуточные величины не изменяются во времени, называется установившимся, или статическим режимом.
Рисунок – Виды статических характеристик звеньев
1.3 Переход от одной математической формы описания к другой
Рассмотрим пример перехода от одной формы представления к другой.
Дифференциальное уравнение объекта имеет вид:
.
Необходимо описать рассматриваемый объект с помощью известных форм.
Запишем дифференциальное уравнение объекта в следующем виде:
.
Тогда, используя оператор дифференцирования , запишем уравнение объекта в операторном виде:
.
По формуле (1.7) передаточная функция в операторном виде для заданного объекта:
.
Заменив оператор дифференцирования на оператор Лапласазапишем передаточную функцию объекта в изображения Лапласа:
.
Задание №1.1
для объекта, заданного одной из форм описания линейной динамической системы, привести другие формы описания (за исключением формы пространства состояний).
№ |
математическое описание объекта |
№ |
математическое описание объекта |
1 |
2 | ||
3 |
4 | ||
5 |
6 | ||
7 |
8 | ||
9 |
10 | ||
11 |
12 |
В теории управления пространство состояний - один из основных методов описания поведения динамической системы.
Иногда возникает необходимость прямого и обратного перехода от записи системы в виде передаточной функции к форме описания с помощью пространства состояний. Прямой переход в такой задаче неоднозначен, т.е. существует бесконечное множество троек матриц, в то время как обратный переход однозначен. Существует три стандартных схемы перехода от передаточной функции к пространству состояний: последовательная схема, параллельная и нормальная.
Рассмотрим методику перехода по каждой схеме.
Последовательная схема
Задано дифференциальное уравнение, описывающее состояние системы:
.
Тогда передаточная функция для такой системы будет иметь вид:
.
Приведем передаточную функцию системы к виду последовательно соединенных звеньев первого порядка, т.е.
.
Структурная схема для такого вида передаточной функции имеет вид:
Составим систему уравнений по приведенной структурной схеме относительно выходных сигналов звеньев системы:
Учитывая, что p– это оператор дифференцирования, т.е., запишем
Тогда, принимая во внимание, что типовая форма записи метода пространства состояний имеет вид:
запишем матрицы A,BиC:
На основании полученных уравнений получим структурную схему для физической системы.
Структурная схема физической системы это структурная схема специфической конфигурации, состоящая из интеграторов, коэффициентов усиления и сумматоров. Данная структурная схема представляет собой заготовку для исследования системы с использованием компьютера.
Параллельная схема
Передаточная функция системы имеет вид:
.
Приведем передаточную функцию системы к виду параллельно соединенных звеньев первого порядка, т.е.:
Тогда запишем следующее:
Структурная схема для такого вида передаточной функции имеет вид:
Составим систему уравнений по приведенной структурной схеме относительно выходных сигналов звеньев системы:
Учитывая, что p– это оператор дифференцирования, т.е., запишем:
Запишем матрицы A,BиC:
На основании полученных уравнений получим структурную схему для физической системы.
Нормальная схема
Передаточная функция системы имеет вид:
Структурная схема для такого вида передаточной функции имеет вид:
Составим систему уравнений по приведенной структурной схеме относительно выходных сигналов звеньев системы:
Учитывая, что p– это оператор дифференцирования, т.е., запишем:
Учитывая то, что при использовании метода пространства состояний матричная форма записи системы дифференциальных уравнений составляется относительно ДУ первого порядка, понизим уравнение второго порядка относительно сигнала , введя промежуточный сигналтак, что
Запишем матрицы A,BиC:
На основании полученных уравнений получим структурную схему для физической системы.
Таким образом, используя три основных схемы перехода можно перейти от формы представления системы в виде передаточной функции к форме пространства состояний.
Как уже было отмечено, существует и обратный путь перехода, т.е. от формы описания с помощью пространства состояния к операторной передаточной функции.
здесь - единичная матрица.
Тогда относительно выходного сигнала можно записать:
,
а выражение для передаточной функции имеет вид:
,
здесь - обратная матрица для матрицы*.
Таким образом, зная матрицы A,BиC, можно найти выражение для операторной передаточной функции.