Вопрос 24

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или , а через или . Таким образом,

, 

и, аналогично,

, .

Производные и называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка: , , и т. д.

БИЛЕТ25

25. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных. Теорема о равенстве смешанных производных высших порядков.

Пусть функцияопределена в некоторой окрестности точки. Составим полное приращение функции в точке М:

Функцияназывается дифференцируемой в точке, если её полное приращение в этой точке можно представить в виде

(1)

где ипри, . Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции..

Главная часть приращения функции, линейная относительнои, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом:

(2)

Выражения иназывают частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагаюти. Поэтому равенство (2) можно переписать в виде

(3)

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке М(х,у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производныеи, причем

Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (1). Отсюда вытекает, что

Это означает, что функция непрерывна в точке М. Положив в равенстве (1), получим:Отсюда находимПереходя к пределу при, получимт. е.Таким образом, в точке М существует частная производнаяАналогично показывается, что в точке М существует частная производная

Равенство (1) можно записать в виде

(4)

где при, .

Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функцияне дифференцируема в точке (0;0).

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (3) принимает вид:

(5)

или

где– частные дифференциалы функции.

Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции).Если функция имеет непрерывные частные производныеив точке М(х, у), то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой (5).

Отметим, что для функции одной переменной существование производнойв точке является необходимым и достаточным условием её дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциала функции двух (и большего числа) переменных.

Из определения дифференциала функции следует, что при достаточно малыхиимеет место приближенное равенство

(6)

Так как полное приращение равенство (6) можно переписать в следующем виде:

(7)

Формулой (7) пользуются в приближенных расчетах.

Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.

Теорема: Если в некоторой окрестности точки функцияимеет смешанные частные производныеи, причём эти смешанные частные производные непрерывны в точке, то они равны в этой точке:

БИЛЕТ26

26.Пусть функция зависит от переменнойи дифференцируема в точке. Может оказаться, что в точкедифференциал, рассматриваемый как функция от, есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциаладанной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции. Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Определение: Дифференциалом -го порядкафункцииназывается дифференциал от дифференциала-го порядка этой функции, то есть

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)).

К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx). Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а - целая рациональная функция, тогда.

В свою очередь, g(x) также может быть сложной функцией. Например, . Условно такое выражение можно обозначить как. Здесь f – функция синуса, - функция извлечения квадратного корня,- дробная рациональная функция. Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом.

Часто можно слышать, что сложную функцию называют композицией функций.

Формула нахождения производной сложной функции:

БИЛЕТ27

27. Пусть имеется поверхность, заданная уравнением . Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку, называется касательной плоскостью к поверхности в точке.

Прямая, проведенная через точку поверхности , перпендикулярно к касательной плоскости называется нормалью к поверхности.

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точкезаписывается в виде:

а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде:

БИЛЕТ28

28. Пусть функция F(t) в некоторой окрестности V(t0) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно. Тогда справедлива формула Тейлора:

(8)

Обозначим t-t0=Δt, F(t)-F(t0)=ΔF(t0),

F'(t0)(t-t0)=F'(t0)Δt=dF(t0),

F''(t0)(t-t0)2=F''(t0)(Δt)2=d2F(t0) и т.д. Геометрический смысл теоремы Ролля Курс лекций по математике

Тогда (8) можно записать в виде

, где 0<θ<1. (9)

В виде (9) формула Тейлора распространяется и на случай функций нескольких переменных.

Теорема. Пусть функция z=f(x;y), где х, у – независимые переменные, определена и имеет непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки М(х0;y0) Vδ(х0;y0). Тогда "Δх, Δу, удовлетворяющих условию , имеет место формула Тейлора:

где 0<θ<1. (10)

Доказательство.

Зафиксируем Δх, Δу: , где .

Тогда ММ0ÎVδ(х0;y0). Параметрические уравнения отрезка ММ0:

(11)

Функция на [0;1] становится сложной функцией от переменной t:

f(x;y)=f(х0+tΔx;y0+tΔy)=F(t). (12)

По условию f(x;y) имеет непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно на Vδ(х0;y0). Функции х и у, как линейные, имеют непрерывные производные любого порядка. Поэтому F(t) имеет непрерывные производные до (n+1)-го порядка включительно на [0;1]. Тогда для F(t) на [0;1] справедлива формула Тейлора (9).Положим в ней t0=1, t0+Δt=1, Δt=1:

(13)

Перейдем здесь к f(x;y), используя (12).

ΔF(0)=F(1)-F(0)=f(х0+Δx;y0+Δy)-f(х0;y0)=Δf(х0;y0).

Форма первого дифференциала инвариантна. Тогда, учитывая (11) при вычислении dx и dy, получим

т.к. dt=Δt=1.

Поскольку х=х0+tΔx, y=y0+tΔy – линейные функции, то дифференциалы высших порядков от функции F(t)=f(x;y) обладают свойством инвариантности.. Следовательно, для их вычисления мы можем использовать простейшую форму:

Аналогично, ,…,,

Подставляя все выражения в (13), получим (10).

Формула Тейлора имеет большое значение при вычислении приращений и значений функции с большой степенью точности.

БИЛЕТ29

29.Говорят, что функция имеет максимум в точке, т.е. при, еслидля всех точек, достаточно близких к точкеи отличных от неё.

Говорят, что функция имеет минимум в точке, т.е. при, еслидля всех точек, достаточно близких к точкеи отличных от неё.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция достигает экстремума при, то каждая частная производная первого порядка отили обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку функцияимеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точкаявляется критической точкой функции, т.е.

тогда при :

1) имеет максимум, если дискриминантигде

2) имеет минимум, если дискриминанти;

3) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант;

4) если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).

БИЛЕТ30

30. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ— математический (математико-статистический) прием, служащий для выравнивания динамических рядов, выявления формы корреляционной связи между случайными величинами и др. Состоит в том, что функция, описывающая данное явление, аппроксимируется более простой функцией. Причем последняя подбирается с таким расчетом, чтобы среднеквадратичное отклонение фактических уровней функции в наблюдаемых точках от выровненных было наименьшим.

Напр., по имеющимся данным (xi,yi) (i = 1, 2, ..., n) строится такая кривая y = a + bx, на которой достигается минимум суммы квадратов отклонений

т. е. минимизируется функция, зависящая от двух параметров: a — отрезок на оси ординат и b — наклон прямой.

Уравнения, дающие необходимые условия минимизации функции S(a,b), называются нормальными уравнениями.

В качестве аппроксимирующих функций применяются не только линейная (выравнивание по прямой линии), но и квадратическая, параболическая, экспоненциальная и др.

БИЛЕТ37