- •1.Комплексные числа. Свойства. Формы записи.
- •2.Интегрирование простейших рациональных функций
- •3)Интегрирование рациональных функций методом неопределённых коэффициентов. Метод Остроградского.
- •4.Интегрирование тригонометрических функций
- •Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- •Примеры
- •13. Несобственный интеграл второго рода
- •15. Схема применения определённого интеграла
- •16. Вычисление площади плоских фигур
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21 Формула метода трапеций.
- •Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).
- •Вопрос 23
- •Вопрос 24
- •37 Приложения двойного интэграла 1. Вычисление площадей
- •2. Вычисление объёмов тел
- •3. Центр тяжести плоской фигуры
- •42 Приложения тройного интэграла . Вычисление объёма тела:
- •2. Вычисление массы тела переменной плотности γ (X; y; z):
- •3. Координаты центра тяжести тела с постоянной плотностью:
- •4. Координаты центра тяжести тела с переменной плотностью γ (X; y; z):
37 Приложения двойного интэграла 1. Вычисление площадей
2. Вычисление объёмов тел
Пусть тело V ограничено (рис. 2.12)сверху — только одной поверхностью z = zв(x; y); снизу — только одной поверхностью z = zн(x; y). Линия Lпересечения этих поверхностей проектируется в границу Г области D, на которой заданы непрерывные функции z = zв(x; y), z = zн(x; y).
При этих условиях:
Доказательство формулы (2.17) легко провести на основе геометрического смысла двойного интеграла.
3. Центр тяжести плоской фигуры
Если , то координатыхc и уc центра С находятся так:
БИЛЕТ38
38 тройной интэграл основные определения и свойства Рассмотрим кубируемую область в трехмерном пространстве . Разбиение на части осуществляется непрерывными поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения области и выбранных точек интегральную сумму , где обозначает объем области .
Определение. Пусть такое число, что . Тогда мы говорим, что интегрируема на , число есть интеграл по области и обозначаем это так: .
Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать, что если непрерывна на , то она интегрируема на . Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .
Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.
Теорема. Пусть задана следующими неравенствами: , . - квадрируемая область на плоскости, - непрерывные. Тогда
Замечание. Если область задана неравенствами , где - непрерывные функции, то
Сформулируем общую теорему о замене переменных.
Теорема. Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями и , причем функции - непрерывно дифференцируемые и ни в одной точке . Пусть - непрерывная на функция. Тогда БИЛЕТ39
39 вычисление тройного интэграла в декартовых координатах Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть областьU ограничена снизу поверхностью z = z1(x,y), а сверху - поверхностью z = z2(x,y) (рисунок 1). Проекцией телаU на плоскость Oxy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что функции z1(x,y) и z2(x,y)непрерывны в области D.
| ||
Рис.1 |
|
Рис.2 |
Тогда для любой непрерывной в области U функции f (x,y,z) можно записать соотношение
Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла, в котором подынтегральной функцией является однократный интеграл. В рассмотренном случае сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по переменным x и y. Если область D(x,y) является областью типа I (смотрите Повторные интегралы), т.е. ограничена линиями
где f1(x), f2(x) - непрерывные функции в интервале [a,b] и f1(x) ≤ f2(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем
В другом случае, когда область D(x,y) относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox) и ограничена линиями
где φ1(y), φ2(y) - непрерывные на отрезке [c,d] функции, причем φ1(y) ≤ φ2(y), тройной интеграл представляется в виде
Формулы (1) и (2) называются формулами сведения тройного интеграла к повторному. В частном случае, когда область интегрирования U представляет собой прямоугольный параллелепипед , тройной интеграл вычисляется по формуле
Если исходная область интегрирования U более сложная, чем рассмотренная выше, то ее нужно разбить на конечное число более простых областей, в которых уже можно вычислить тройные интегралы методом сведения к повторным.
БИЛЕТ40
40 замена переменных в тройном интэграле.цилиндрические координаты При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:
Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:
Предполагается, что выполнены следующие условия:
Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;
Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;
Якобиан преобразования I (u,v,w), равный
отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.
Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:
В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана. Для вычисления тройных интегралов часто используютсяцилиндрические и сферические координаты. Эти случаи рассматриваются подробно на страницах
Тройные интегралы в цилиндрических координатах
Тройные интегралы в сферических координатах
В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами −ρ, φ, z , где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).
Рис.1
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями
Здесь предполагается, что
Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен
Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид:
Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.
БИЛЕТ41
41 замена переменных в тройном интэграле .сферические координатыСферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где
ρ − длина радиуса-вектора точки M; φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскостьOxy и осью Ox; θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления осиOz (рисунок 1).
|
| |
Рис.1 |
|
|
Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга. Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями
Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:
Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем
Соответственно, абсолютное значение якобиана равно
Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:
Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования Uпредставляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет видf (x2 + y2 + z2). Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами
В этом случае якобиан равен
БИЛЕТ42