- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
Теорема (принцип сжимающих отображений). Пусть в полном метрическом пространстве задан операторA, осуществляющий сжатое отображение этого пространства в себя. Тогда оператор A в пространстве имеет единственную неподвижную точку, то есть, уравнениеимеет в пространствеединственное решение. Эта неподвижная точка может быть найдена как предел последовательности, образованной по правилу
(1) при .
Доказательство. Возьмем произвольное , зафиксируем его и построим последовательность (1). Докажем, что построенная последовательность является фундаментальной. Для этого оценим расстояниев предположении.
Так как оператор A сжимающий, то существует положительное число , такое, что. Повторяя эти рассуждения, получаем оценку. (2)
По аксиоме треугольника имеем . Применяя оценку (2) к каждому слагаемому в правой части последнего неравенства, получим
. (3)
Из оценок (2) и (3) следует оценка
, (4) доказывающая фундаментальность последовательности (1).
Фундаментальная последовательность в полном пространстве имеет предел . Покажем, что этот предел является неподвижной точкой оператораA. Перейдем к пределу в равенстве (1). Так как предел левой части существует , то существует и предел правой части. Покажем, что предел правой части равен. Действительно,. Таким образом,.
Осталось доказать единственность неподвижной точки. Допустим противное: пусть существуют две неподвижные точки . Тогда имеем. Полученное противоречие доказывает единственность. Теорема доказана.
35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
Пусть система линейных алгебраических уравнений получена в виде. (1) Здесь заданыквадратная матрица порядка n и вектор.
Метод простой итерации решения системы алгебраических уравнений (1) описывается расчетной формулой.,(2) что соответствует скалярной записи.(2’)
Для проведения вычислений по расчетной формуле (2) требуется задать начальное приближение к решению.Достаточные условия сходимости метода простой итерации определяет следующая
Теорема 1. Если какая-либо подчиненная норма матрицы меньше единицы, то метод простой итерации (2) сходится при любом начальном приближении.До-во. Пространство n-мерных векторов, очевидно, является полным. Определим в нем оператор A равенством. Очевидно, этот оператор отображает векторное пространство в себя. Возьмем произвольные векторы. Для них выполняется равенство
.(3)
В выражении (3) используется векторная норма. Для нормы матрицы, подчиненной этой векторной норме, будет выполняться неравенство
.(4)
Отсюда следует, что при отображениебудет сжимающим и будут выполнены все условия принципа сжатых отображений из параграфа 3. Таким образом, последовательность, образованная по правилубудет сходиться при любом начальном приближении. Теорема доказана.
Теорема 2. Если выполняется одно из следующих трех условий
1) , 2), 3),
где - собственные значения матрицы,
то метод простой итерации (2) сходится.
Доказательство. Матричная норма, подчиненная векторной, по определению равна . Для кубической нормы вектора, определяемой равенством, получаем
Отсюда определяется кубическая норма матрицы . Аналогично определяется октаэдрическая норма матрицы, подчиненная октаэдрической векторной норме.Евклидова векторная норма, называемая еще сферической, определяется равенствоми сферическая норма векторавыражается формулой. Так как вещественная симметричная матрицаобладает полной ортонормированной системой собственных векторови положительными собственными значениями, то можно воспользоваться разложениеми получитьи.
Отсюда следует, что .
Таким образом, теорема 2 является следствием теоремы 1 для кубической, октаэдрической и сферической норм матрицы, подчиненных соответствующим векторным нормам. Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Для того чтобы метод простой итерации (2) сходился при любом начальном приближении необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы B по модулю были меньше единицы.
До-во. Необx. Из равенств (2) вычтем равенство , тогда для погрешностиполучим равенства(5)
Возьмем начальное приближение так, чтобы его погрешностьбыла собственным вектором матрицы B, соответствующим собственному значению, для которого. В этом случае имеем, то есть, погрешность не стремится к нулю. Необходимость доказана.Достаточность. Возьмем произвольное положительное число и рассмотрим матрицу. Для собственных значений матриц, очевидно, выполняются равенства. Как известно из линейной алгебры, для любой квадратной матрицы S существует неособенная матрица Q, такая, что преобразование подобия с ней приводит матрицу S к модифицированной жордановой форме:. На главной диагонали матрицынаходятся собственные значения, на наддиагонали – единицы и нули, остальные элементы равны нулю. Преобразование подобия не меняет собственных значений. Определим векторную норму равенством.Поскольку, то для подчиненной ей нормы матрицы B имеем
.
Таким образом при достаточно большом выполняется неравенствои по теореме 1 метод простой итерации (2) сходится при любом начальном приближении. Теорема доказана.