- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
Интегр ур-ние Фредгольма 2-го рода имеет вид: . (1)
Здесь – заданная функция, кот наз ядром интегр ур-ния;- заданная функция, кот наз. свободным членом или правой частью интегp. ур-ния; - заданное число, наз паpаметpом интегp уp-ния; - искомая функция, подлежащая опpеделению. Однородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода, (2)
всегда имеет тривиальное решение . Значения параметра, при кот однородное ур-ние (2) имеет нетривиальные реш, наз собственными значениями ядра, а сами нетривиальные решения – собственными функциями ядра.Для интегр ур-ния Фредгольма 2-го рода возможны две альтернативы: 1)неоднородное интегр ур-ние Фредгольма (1) имеет единственное реш. при любых правых частях; 2)оответствующее однор. ур-ние (2) имеет нетривиальные решения.
Аппроксимация интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений.
Hа отpезке зададим сетку
и для каждого узла сетки pассмотpим интегpальное уpавнение (1): . (3)
В выражении (3) для вычисления интегpала воспользуемся квадpатуpной фоpмулой вида:
(4)
При использовании составной квадратурной формулы средних прямоугольников
.
При использовании составной квадратурной формулы трапеций:
.
При использовании составной квадратурной формулы парабол имеем:
.
Применение квадратурной формулы приводит к выражению , (5) откуда после отбpасывания остаточного члена получаем относительно пpиближенных значенийpешенияв узлахсистему линейных алгебраических уpавнений:
. (6)
Как следует из (5) система (6) аппроксимирует интегральное уравнение (1) в узлах сетки с погрешностью . Введем в рассмотрение матрицу B с элементамиТогда определитель системы (6) можно записать в виде. Если, то система (6) имеет единственное решение, которое можно записать в форме Крамера.
Решение проблемы собственных значений для ядра.
В случае однор интегр ур-ния (2) при решении задачи на собственные значения для ядра получаем указанным способом алгебраическое уравнениестепени, вообще говоря,относительно. Корниэтого уравнения будут приближенными значениями первыхсобственных значений ядра. Приближения для собственных векторов находятся из системы (6) прии соответствующем значении параметра.
Оценка погрешности и сходимость метода квадратур
Пусть функция непрерывна на, ядронепрерывно на декартовом произведениии числовой параметрв интегр ур-нии (1) не является собственным значением ядра. В силу альтернативы Фредгольма, ур-ние (1) имеет единственное решение. В пределе приирешениесистемы (6) существует, единственно и сходится к реш интегр ур-ния. Таким образом, при достаточно больших N можно считать, что.
При решении системы (6) имеет место вычислительная погрешность. Поэтому фактически найденные значения точно удовлетворяют системе
. (6’)
Погрешность полученного решения в узлах сетки выражается разностью . Вычитая ур-ния (6’) из уравнений (5) для погрешности получим систему. (7)
Отсюда, используя формулы Крамера
, получаем для погрешности оценку
, где .