- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
Этот метод предназначен для решения систем линейных алгеб. уравнений (1) с веществ., сим-ой, положительно определенной м-цей. Обозначим решение системы (1) через. Из положит. опр-ти и сим-ти матрицы следует
. Отсюда видно, что минимум ф-ла достигается на решениисистемы (1). Т. о., решение системы (1) сводится к минимизации ф-ла. Для минимизации ф-ла воспользуемся градиентным методом. В направлении градиента скорость возрастания ф-ла наибольшая. В данном случае для градиента ф-ла справедливо рав-во . Действительно, проводя диф-ие, имеем
.
Вектор задает направление, противоп. градиенту, то есть направление, в котором скорость убывания ф-ла наибольшая, если двигаться из точки. Пусть найдено приближениек решению. Рассмотрим процесс нахождения очередного приближ.в методе скорейшего спуска. Направление наибольшей скорости убывания функционала в точкезадается вектором.(2) Этот вектор наз. еще вектором невязок системы для приближения. Точканаходится на поверхности уровняи вектор невязокортогонален этой поверхности уровня в точке. Будем искать минимум ф-ла на множестве точек, где числовой параметр t0. При этом для ф-ла имеем , то есть задача минимизации ф-ла на направлении наибольшей скорости его убывания сводится к нахождению минимума функции одного переменного. Соответствующее значение числового параметраопределяется из условия равенства нулю производной
.
Подставляя сюда выражение для , получаем уравнение. Отсюда(3)
Очередное приближение в методе скорейшего спуска выч-ся по ф-ле (4). В методе скорейшего спуска нужно задать начальное приближ.к решению системы (1) и по расчетным формулам (2), (3), (4) вычислять очередные приближения до получения решения с требуемой точностью.Теорема. Если м-ца A вещественная, сим-ая и полож. определенная, то последовательные приближения , построенные по методу покоорд. спуска, сходятся к решению системыпри любом начальном приближении со скоростью геометрич. прогрессии.Доказательство. Пусть . Тогда хотя бы одно уравнение системы (1) не удовлетв. и по формулам (2), (3), (4) будет найдено приближение, для которого вып-ся нер-во. Обозначим черезминимальное значение ф-циина единичной сфере. Так как, то
. Далее вводится функция и теорема доказана.
40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
Пусть собст. Знач. матр. удовлю нер-ам. Будем считать также, что матрица обладает полной системой собственных векторов. Возьмем произв-ый вектор, разл. его по системе собст-х вект.и обр. последовательность векторов по правилу
(1)
При этом получаем:
,…,.
Компоненты векторов посл-ти можно представить в виде.
(2)
Найдем выражение для отношения компонент соседних векторов в последовательности (1)
Так как ,отсюда имеем.
(3)
В сист. методе построенная посл. (1) прекращается, когда с заданной точностью для всех иотнош.будет одинаковым, тогда, а за собств. вектор можно принять, где.
41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
Метод Данилевского представляет собой способ построения невырожденного преобразования, приводящего матрицу к форме Фрабениуса:
Найдем характеристический многочлен матрицы. Имеем:
Таким образом, ,т.е. в первой строке матрицыстоят коэффициенты характ-ого многочлена. Метод Данилевского заключается в построении посл-ти матриц. Рассмотрим первый шаг этого метода, в котором строятся невырожденные преобразования, приводящие матрицу
к матрице . Будем считать, что все операции корректны. На первом этапе поделимстолбец матрицына элемент, т.е. проводим вычисления по формуле:(1)
Полученный столбец умножим на элемент и прибавим к столбец для ,. Т.е. вычисления проводим по формулам:
, ,,(2)
В результате указанных преобразований по формулам (1),(2) получим матрицу . Рассмотрим матрицу
Формулы (1),(2) можно записать в матрицу в виде так: . Так же заметим, что в результате указанных преобразований последняя строка матрицы совпадает с последней строкой с матрицей .
Непосредственно проверкой убеждаемся, что
Построим матрицу . (3)
Здесь вычисления проводим по формулам:
, ,,(4)
,(4)
Из формул (4) видно,что при умножении матрицы на матрицу меняется только строка. Таким образом, на первом шаге построена невырожденное преобразование (3) такое, что последняя строка матрицы совподает с последней строкой матрицы . Переходим к построению матрицы матрицы .столбец этой матрицыделим на элемент и продолжаем указанный процесс. В результате получим матрицу , у которойи строки совпадают с матрицей , и т.д. На последнем шаге будет построена матрица , т.е. будет построено преобразование приводящее матрицу к форме Фрабениуса.
Выше рассмотрено так называемый регулярный случай, т.е. случай, когда все . Имеет место два нерегулярных случая.
Пусть ,но существует,что(т.е. встроке матрицысуществует ненулевой элемент, располож. левое элемента). Тогда в матрицепоменяем местами столбцыи. Рассмотрим матрицу
Перестановка в матрице местами столбцовипредставляет собой умножение матрицына матрицусправа.
Заметим что обратной перестановкой столбцов востанавл. исходный вид матрицы, поэтому .
Рассмотрим матрицу (5). При умножении некоторой матрицы на матрицуслева, у исходной матрицы меняются строки с номерамииместами (но не изменяется строка).
Таким образом в рассмотриваемой нерегулярном случае выполн. преобразование (5), которое будет невырожденным. После этого для матрицы имеем регулярный случай.
Пусть и кроме этого. В этом случае матрицапримет следующую структуру:
Характ. многочлен т.е. исходная задача сведена к задаче построения преобразов. подобия, приводящего матрицу, к форме Фрабениуса, причем порядок этой матрицы меньше порядка исходной матрицы.