46.Эйлеровы циклы. Задача о кенигсбергских мостах. Теорема Эйлера.
Опр. Цикл, содержащий все ребра графа, называется эйлеровым циклом.
Опр. Граф, содержащий эйлеровы циклы, называется эйлеровым графом.
Опр. Эйлеров граф – граф, который можно изобразить одним росчерком пера, причем процесс такого изображения должен начинаться и заканчиваться в одной и той же точке.
Теорема Эйлера.
Конечный
неориентированный граф
эйлеров тогда и только тогда, когда он
связен и степени всех его вершин четные.
Задача о кенигсбергских мостах.
Можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них(можно ли на этом графе построить цикл, не содержащий повторяющихся ребер, который проходит через все ребра графа)?
В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:
Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком
Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины (то есть все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.
47.Обобщенная теорема об эйлеровых цепях.
Эйлерова цепь – цепь н-графа, содержащая все его ребра, имеющая различные начальные и конечные точки.
Теорема. Если граф G связен и имеет 2k вершин нечетной степени, то в нем можно выделить ровно k цепей, содержащих в совокупности все ребра графа ровно по одному разу.
Обозначим буквами
,
,
,
,
… ,
,
вершины , имеющие нечетные степени и
соединим ребрами вершины:
,
–
,
… ,
,
–
,
т.е. добавим к графуG
еще k
ребер.
В новом графе степени всех вершин четны, следовательно, существует эйлеров цикл. Если из найденного эйлерова цикла удалить новые ребра, то он распадется на k отдельных частей, содержащих все ребра исходного графа.
Пример.
На рисунке изображена схема трамвайных путей. Требуется выбрать маршруты движения так, чтобы можно было добраться до любой точки схемы, делая пересадки только в вершинах графа.
Граф распадается на 3-и цепи.
Теорема.
Чтобы в конечном ориентированном графе
G
существовал эйлеров цикл, необходимо
и достаточно равенство степеней всех
вершин этого графа по входящим и выходящим
дугам
.Учитывая,
что любому н-графу канонически
соответствует орграф, можно сформулировать
следующее утверждение: в конечном
связном н–графе всегда можно построить
ориентированный цикл, проходящий через
каждую дугу (проходящий через каждое
ребро по одному разу в каждом из двух
направлений).
48. Гамильтоновы графы. Задача о коммивояжере.
Определение. Гамильтоновым циклом называется простой цикл, проходящий через все вершины рассматриваемого графа. Если данный маршрут не замкнут, он называется гамильтоновой цепью.
Заметим, что проблема существования гамильтонова пути принадлежит к классу так называемых NP-полных задач. Известно лишь достаточное условие существования гамильтоновой цепи на графе. Оно звучит следующим образом: если степень каждой вершины графа, который имеет n вершин (n>= 3) , не меньше n / 2, то на этом графе можно построить гамильтонову цепь.
Практическим применением гамильтоновых графов является «задача коммивояжера», которая формулируется следующим образом.
Коммивояжеру требуется выбрать кратчайший маршрут, посетив только по одному разу каждый из заданных пунктов, расстояния между которыми известны, и возвратиться в исходный пункт.
Задачу коммивояжера можно решить методом перебора: составить все возможные маршруты, найти их длину и выбрать кратчайший маршрут. Например: на рис. 7 представлена схема маршрутов, известны расстояния между городами
Рис.6.
АВ=7, АС=5, АД=4, ВС=6, ВД=1, СД=8
Всего возможных циклов шесть –АВСДА, АСВДА, АВДСА, АСДВА, АДВСА, АДСВА. Их длины, соответственно, равны 25, 16, 21, 21,16, 25. Кратчайшими являются маршруты АСВДА и АДВСА.
Существует еще один метод решения задачи коммивояжера - метод ветвей и границ.