71. Понятие алгоритма. Основные свойства алгоритмов. Вычислимость.
Под алгоритмом понимается способ преобразования представления информации.
Основные особенности алгоритма:
Определенность. Алгоритм разбивается на отдельные шаги (этапы), каждый из которых должен быть простым и локальным.
Ввод. Алгоритм имеет некоторое (быть может, равное нулю) число входных данных, т.е. величин, заданных ему до начала работы.
Вывод. Алгоритм имеет одну или несколько выходных величин, т. е. величин, имеющих вполне определенное отношение к входным данным.
Детерминированность. После выполнение очередного шага алгоритма однозначно определено, что делать на следующем шаге.
Функция f с натуральными аргументами и значениями называется вычислимой, если существует алгоритм, её вычисляющий, то есть такой алгоритм A, что
• если f(n) определено для некоторого натурального n, то алгоритм A останавливается на входе n и печатает f(n);
• если f(n) не определено, то алгоритм A не останавливается на входе n.
Несколько замечаний по поводу этого определения:
1. Понятие вычислимости определяется здесь для частичных функций (областью определения которых является некоторое под множество натурального ряда). Например, нигде не определённая функция вычислима (в качестве A надо взять программу, которая всегда зацикливается).
2. Можно было бы изменить определение, сказав так: «если f(n) не определено, то либо алгоритм A не останавливается, либо останавливается, но ничего не печатает». На самом деле от этого ничего бы не изменилось (вместо того, чтобы останавливаться, ничего не напечатав, алгоритм может зацикливаться).
3. Входами и выходами алгоритмов могут быть не только натуральные числа, но и двоичные строки (слова в алфавите {0, 1}), пары натуральных чисел, конечные последовательности слов и вообще любые, как говорят, «конструктивные объекты». Поэтому аналогичным образом можно определить понятие, скажем, вычислимой функции с двумя натуральными аргументами, значениями которой являются рациональные числа.
72. Рекурсивные функции. Операторы суперпозиции и примитивной рекурсии.
Исходными функциями являются:
1) z(х) = 0 — нуль функция;
2) N(x) = х + 1 — функция следования:
3) Ik(x1,...,xn) = Xk k=1…n. —селекторная функция, (функция выбора аргумента, проектирующая функция)
Из исходных функций образуются все остальные функции при помощи операций, которые наз. Функциональными операторами.
Целочисленные компоненты вводятся как суперпозиции функций z(x) и N(x): N(z(x))=0+1=1 N(N(z(x)))=2
Функцию g(x)=x+z можно записать как:
N(N(I1(x))) = (x+1)+1=x+2
Говорят, что функция n получается применением операции суперпозиции S, функция f,g1,…,gn при этом записывается так:
h= S( f,g1,…,gn) если h(x1,...,xn)= f(g1( x1,...,xn),…, gn( x1,...,xn))
Говорят, что функция f зависящие от h+1 переменной получаются применением оператора примитивной рекурсии R к функция g(xn) и h(xn+1) если f=R(g,h):
1)f(x1,...,xn,0) = g(x1,...,xn)
2)
f(x1,...,xn,k+1)=h(x1,...,xn,k,f(x1,...,xn,k))
k=N
{0}
В данном случае рекурсия ведется по последней переменной и выражает уже известный способ математической индукции.
Функция f называется примитивно-рекурсивной если она может быть получена из исходных функций применением конечного числа операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.