Математика для инженеров(теория)I том

Теперь ясно, что это	уравнение окружности с центром в точке
C(−1;0) и радиусом 1.	□

20. Уравнение поверхности и линии в пространстве. Рас-

смотрим прямоугольную систему координат Oxyz , произвольную по-

верхность S (рис.8) и уравнение
F(x, y, z) = 0 .	(4)

Уравнение (4) будет определять поверхность S в заданной сис- теме координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки M (x; y; z) принадлежащей поверхности S , и не удовлетворяют коор-

динаты точек, не лежащих на этой поверхности. Причем функция F должна задаваться так, чтобы уравнение (4) имело бесконечное мно- жество решений и, в то же время, это множество решений не заполняло «объема пространства».

Рис. 8	Рис. 9
Например, в декартовой системе координат Oxyz уравнение
x2 + y2 + z2 = R2 или x2 + y2 + z2 - R2 = 0		(5)
определяет поверхность, являющуюся сферой радиуса R с центром
в точке O(0;0;0) .
Действительно, если M (x; y; z)	– произвольная точка, то,	по
формуле (2.4.2), имеем

| OM |= x2 + y2 + z2 .

Значит, уравнению (5) удовлетворяют координаты тех и только тех то- чек, которые удалены от точки O на расстояние R , т.е. такое множест- во точек есть сфера с центром в начале координат и радиусом R (рис. 9).

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей и соответственно этому определить ее заданием систе- мы двух уравнений. Система двух уравнений

ìF (x, y, z) = 0,	(6)
í 1
îF2 (x, y, z) = 0

113

задает линию L, если этой системе удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты всякой из точек, не лежащей на линии L.

Например, система уравнений двух сфер

ìïx2 + y2 + (z - 2)2 = 5, íïîx2 + y2 + z2 =1

совместно определяет на плоскости Oxy линию x2 + y2 =1, т.е. окруж- ность радиуса 1 с центром в начале координат.

§ 2. Уравнения плоскости

10. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Пусть заданы прямоугольная

система координат Oxyz, точка M0 (x0; y0; z0 ) и ненулевой вектор

			n = (A; B;C) . Составим уравнение
			плоскости, проходящей через точку
			M0 перпендикулярно вектору n .
			Рассмотрим произвольную точку
			M (x; y; z) этой плоскости. Так					как
			вектор		= (x - x0; y - y0; z - z0 )
				M0M
			лежит на плоскости, то он перпенди-
			кулярен вектору n (рис.1). Следова-
			тельно, скалярное произведение этих
			векторов равно нулю:
				n ×			= 0 .	(1)
						M0M
	Рис. 1
Записывая (1)			в координатной форме, получаем
	A(x - x0 ) + B(y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0 .							(2)
Выражение (2) и есть уравнение искомой плоскости. Вектор
n = (A; B;C) называют нормальным вектором этой плоскости.
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку M0 (2;3;5) и перпендикулярной вектору n = (4;3;2) .
Решение. Используем уравнение (2):								□
4(x − 2) + 3(y − 3) + 2(z − 5) = 0 или 4x + 3y + 2z − 27 = 0 .
20. Общее уравнение плоскости. Раскроем скобки в (2) и обо-
значим D = -(Ax0 + By0 + Cz0 ) . Тогда уравнение (2) примет вид
			Ax + By + Cz + D = 0 .					(3)

114

Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости. Следо- вательно, любая плоскость может быть задана уравнением (3), которое является уравнением первой степени относительно текущих координат.

Обратно, пусть в уравнении (3) хотя бы один из коэффициентов A, B,C отличен от нуля, и для определенности предположим, что A ¹ 0 . Перепишем уравнение (3) в виде:

æ	D ö
Aç x +		÷	+ B(y - 0)	+ C(z - 0)	= 0 .	(4)
è	A ø

Сравнивая уравнение (4) с уравнением (2), видим, что оно, а значит и равносильное ему уравнение (3), является уравнением плос-

кости, проходящей через точку M æ - D ;0;0ö перпендикулярно вектору

0 ç ÷ è A ø

n = (A; B;C) .

Таким образом, всякое уравнение вида (3), являющееся уравнением первой степени относительно текущих координат, определяет плоскость.

Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (2;3;-1) параллельно плоскости 5x − 3y + 2z −10 = 0 .

Решение. Запишем уравнение вида (2) всех плоскостей, прохо- дящих через данную точку:

A(x − 2) + B(y − 3) + C(z +1) = 0 .

Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным

вектором n = (5;−3;2) заданной плоскости. Значит,

A = 5, B = −3, C = 2

и уравнение искомой плоскости имеет вид

□

5(x − 2) − 3( y − 3) + 2(z +1) = 0 или 5x − 3y + 2z +1 = 0 .

30. Уравнение плоскости, проходящей через три данные

точки. Пусть плоскость

задана тремя точками

A(x1; y1; z1) ,

B(x2; y2; z2 ) и C(x3; y3; z3 ) . Возьмем произвольную точку

M (x; y; z)

на этой плоскости (рис.2). Тогда векторы

,

,

, принадлежа-

AM

AB

AC

щие этой плоскости, будут компланарны и

×(

´

) = 0 .

(5)

AM

AB

AC

Т.к.

= (x - x1; y - y1; z - z1) ,

AM

= (x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1) ,

AB

= (x3 - x1; y3 - y1; z3 - z1) , то из (5)

AC

получаем

x - x1

y - y1

z - z1

Рис. 2

x2 - x1

y2 - y1

z2 - z1

= 0 или

x3 - x1

y3 - y1 z3 - z1

115

A(x − x1) + B( y − y1) + C(z − z1) = 0 ,

(6)

где уравнение (6) и есть уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

40. Неполные уравнения плоскости. Общее уравнение (3) на-

зывают полным уравнением плоскости, если все его коэффициенты A, B,C, D отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффи- циентов равен нулю, то уравнение (3) называют неполным.

Рассмотрим все возможные неполные уравнения плоскости:

1)	D = 0 . Тогда уравнение Ax + By + Cz = 0 определяет плоскость,
проходящую через начало координат, т.к. точка O(0; 0; 0) принадлежит
этой плоскости.
2)	A = 0 . Тогда уравнение By + Cz + D = 0 определяет плос-

кость, параллельную оси Ox , т.к. нормальный вектор этой плоскости

n = (0; B;C) перпендикулярен вектору				= (1; 0; 0) .
		i
Аналогично уравнение	Ax + Cz + D = 0 (B = 0) определяет
плоскость, параллельную оси	Oy , а			уравнение Ax + By + D = 0
(C = 0) – плоскость, параллельную оси Oz .
3) A = 0, B = 0 . Тогда уравнение				Cz + D = 0 определяет плос-

кость, параллельную координатной плоскости Oxy , т.к. эта плоскость

параллельна осям Ох и Оу.		By + D = 0 определяет плос-
Если	A = 0, C = 0 , то уравнение
кость, параллельную координатой плоскости Oxz ,			а уравнение
Ax + D = 0	(B = 0,C = 0) – плоскость,	параллельную	координатной

плоскости Oyz .

4) A = 0, B = 0, D = 0 . Тогда уравнение Cz = 0 определяет коор- динатную плоскость Oxy .

Аналогично, уравнение By = 0 (A = 0,C = 0, D = 0) определяет координатную плоскость Oxz , уравнение Ax = 0 (B = 0,C = 0, D = 0) – координатную плоскость Oyz .

50. Уравнение плоскости в отрезках. В полном уравнении плос-

кости (3) A ¹ 0, B ¹ 0,C ¹ 0, D ¹ 0 . Значит, его можно переписать в виде

x

+

y

+

z

=1

D

D

−

D

−

−

A

B

C

Отсюда, полагая −

D

= a, −

D

= b, −

D

= c , получим

A

B

C

x

+

y

+

z

=1.

(7)

a

c

b

116

Уравнение (7) называют уравнением плоскости в «отрезках»,

т.к. знаменатели a,b,c есть величины отрезков, отсекаемых плоско- стью на осях координат. Действительно, точка пересечения плоскости с осью Ох определяется из уравнения (7) при условиях y = 0, z = 0 ,

отсюда x = a . Значит, величина отрезка, отсекаемого плоскостью (7) на оси Ox равна а. Аналогично устанавливаем, что величины отрез- ков, отсекаемых плоскостью (7) на осях Oy и Oz равны соответст-

венно b и c .

§3. Угол между плоскостями. Условия параллельности

иперпендикулярности плоскостей

Пусть заданы уравнения двух плоскостей:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

(1)

Углом между плоскостями (1) называется любой из двух смежных

двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Отметим, что сумма этих смежных двугранных углов равна π .

В связи с этим, достаточно определить один из них как угол ϕ

между

нормальными

векторами

n1 = (A1; B1;C1) и

n2 = (A2; B2;C2 )

к этим

плоскостям. По формуле (2.7.6) получим:

cosϕ =

A1A2 + B1B2 + C1C2

.

(2)

A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22

Пример 1. Определить угол между плоскостями x + y − z = 0 и

2x + y − z +1 = 0 .

Решение. Здесь n1 = (1;1;-1) , n2 = (2;1;-1) . По формуле (2) имеем

cosϕ =

1× 2 +1×1+ (-1) ×(-1)

=

4

=

2

2

.

12 +12 + (-1)2 22 +12 + (-1)2

3 × 6

3

Следовательно, ϕ = arccos

2

2

– один из двух смежных дву-

гранных углов. □

3

Условие параллельности плоскостей (1)

совпадет с условием

коллинеарности векторов n1 и n2 . Следовательно, согласно §2.8, оно

имеет вид

A1	=	B1	=	C1		.	(3)
A		B
				C	2
2		2

117

Отсюда вытекает также условие совпадения плоскостей (1):

A1	=	B1	=	C1		=	D1	.	(4)
A		B
				C	2		D
2		2					2

Условие перпендикулярности плоскостей (1) есть вместе с тем и условие перпендикулярности нормальных векторов n1 и n2 . Значит,

согласно формуле (2.7.10), будем иметь условие перпендикулярности плоскостей (1):

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .	(5)
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки M1(2;1; 3) , M2 (6; 2;1) и перпендикулярной	к плоскости
4x + 2y − z + 4 = 0 .
Решение. Уравнение плоскости, проходящей	через точку
M1(2;1;3) , можно записать в виде (2):
A(x − 2) + B( y −1) + C(z − 3) = 0 .	(6)

Так как плоскость проходит через точку M2 (6; 2;1) , то коор-

динаты этой точки удовлетворяют уравнению (6), т.е. 4A + B − 2C = 0 . Искомая плоскость (6) перпендикулярна заданной плоскости, поэтому по условию (5) получим 4A + 2B − C = 0 . Итак, для определения

коэффициентов A, B,C имеем систему уравнений

ì4A + B - 2C = 0,

íî4A + 2B - C = 0.

Подставляя решение этой системы B = -C, A = 34C в уравнение (6),

получим уравнение искомой плоскости

3x − 4y + 4z −14 = 0 . □

§4. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

10. Нормальное уравнение плоскости. Рассмотрим в декарто-

вой системе координат Oxyz произвольную плоскость S (рис.1).

Проведем через точку O прямую, перпендикулярную плоскости S и назовем ее нормалью. Пусть P – точка, в которой нормаль пересекает плоскость S . На нормали выберем направление от точки O к точке P (рис.1). Если точки O и P совпадают, то возьмем любое из двух направлений на нормали.

118

Обозначим через α, β, γ – углы, которые составляет направ- ленная нормаль с осями координат, через p – длину отрезка OP . Тогда cosα, cos β, cosγ будут направляющими косинусами этой нормали.

Найдем уравнение плоскости S , считая известными числа cosα, cos β, cosγ и p . Для этого рассмотрим единичный вектор n на

нормали, направление которого совпадает с положительным направ- лением нормали, тогда

				n = (cosα; cos β; cosγ ) .							(1)
Пусть M (x; y; z) – произвольная точка плоскости S , тогда про-
екция вектора			на нормаль равна р, т.е.
	OM
					npn				= p .		(2)
							OM
Используя (1), представление										= (x; y; z) и формулы (2.7.1),
									OM
(2.7.8), будем иметь
npn				= n ×		= xcosα + ycos β + z cosγ .					(3)
		OM			OM
Из равенств (2) и (3) получаем нормальное уравнение плоскости S :
			xcosα + ycos β + z cosγ − p = 0 .								(4)

20. Расстояние от точки до плоскости. Найдем расстояние d

от точки M1(x1; y1; z1) до плоскости S , заданной уравнением (4), а именно, докажем, что имеет место формула

d = | x1 cosα + y1 cos β + z1 cosγ - p | .

(5)

Доказательство. Пусть M0 – проекция точки M1 на направ- ленную нормаль (рис.1). Тогда, в силу основного тождества (2.1.1),

		имеем PM0 = OM0 - OP . Отсюда
		d = | PM0 |=					OM0 - OP			.	(6)
		С другой стороны,
		OM0 = npn		= n ×				=
			OM1		OM1
		= x1 cosα + y1 cos β + z1 cosγ , a OP = p.
		Подставляя найденные выражения
		в (6), получим формулу (5). □
		Покажем теперь, как привести общее
		уравнение плоскости к нормальному виду.
		Пусть
	Рис. 1	Ax + By + Cz + D = 0									(7)
		есть общее уравнение плоскости, а
		xcosα + ycos β + z cosγ − p = 0									(8)

есть ее нормальное уравнение. Поскольку уравнения (7) и (8) опреде- ляют одну и ту же плоскость, то из формулы (3.4) получаем, что

119

коэффициенты этих уравнений пропорциональны, т.е. найдется такое число μ ¹ 0 , что

	μ A = cosα, μB = cos β ,			μC = cosγ , μD = - p .			(9)
	Возводя первые три из равенств (9) в квадрат и складывая их,
	получаем
	μ2 (A2 + B2 + C2 ) = cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.
	Значит,			1
	μ = ±					.	(10)
			A2 + B2 + C2

Число μ , с помощью которого общее уравнение плоскости пре- образуется в нормальное, называют нормирующим множителем. Знак μ определяется равенством μD = − p , т.е. μ имеет знак, противоположный

знаку свободного члена общего уравнения плоскости (7).

Если в (7) D = 0 , то знак нормирующего множителя выбирается произвольно.

Из формулы (5), равенств (9) и (10) непосредственно вытекает,

что расстояние

d от точки M1(x1; y1; z1)

до плоскости

Ax + By + Cz + D = 0 находится по формуле

d =

| Ax1

+ By1 + Cz1 +

D |

.

(11)

A2 + B2 + C2

Пример 1. Определить расстояние от

точки M1(1;3;-5) до

плоскости 2x − 3y + 5z − 24 = 0 .

Решение. Используя формулу (11), находим:

d =

| 2 ×1+ (-3) ×3 + 5×(-5) - 24 |

=

56

. □

22 + (-3)2 + 52

38

§ 5. Уравнения прямой на плоскости

Рассмотрим различные формы уравнений прямой на плоскости.

10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим прямую, не перпендикулярную оси Ox . Назовем углом наклона данной прямой к оси Ox угол α , на который нужно повернуть ось Ox про- тив часовой стрелки, чтобы ее положительное направление совпало с одним из направлений прямой.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ox называют угловым

коэффициентом и обозначают буквой k :
k = tgα .	(1)

120

Из формулы (1), в частности, следует, что если α = 0 , т.е. прямая параллельна оси

Ox ,	то	k = 0 . Если α = π ,	то есть прямая
		2
перпендикулярна оси Ox ,			то выражение
k = tgα		не имеет смысла.	Тогда говорят,
что	угловой коэффициент		«обращается

Рис. 1	в бесконечность» (рис.1).
Выведем уравнение прямой, если известны ее угловой коэффи-
циент и величина отрезка OB , который она отсекает на оси Oy .
Пусть M – произвольная точка плоскости с координатами x и y .

Если провести прямые BN и NM , параллельные осям координат, то образуется прямоугольный треугольник. Точка M лежит на прямой тогда и только тогда, когда величины BN и NM удовлетворяют ус-

	ловию	NM	= tgα . Но NM = CM − CN = CM − OB = y − b , BN = x .
		BN

Отсюда, с учетом формулы (1), получаем, что точка M лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют

	уравнению	y - b	= k , которое после преобразования примет вид
		x
			y = kx + b .	(2)

Уравнение (2) называют уравнением прямой с угловым коэффи- циентом k . Если k = 0 , то прямая параллельна оси Ox , и ее уравнение имеет вид y = b .

Итак, любая прямая, не перпендикулярная оси Ox , имеет урав- нение вида (2). Верно и обратное: любое уравнение вида (2) определяет прямую, которая имеет угловой коэффициент k и отсекает на оси Oy

отрезок, величина которого равна b .

Пример 1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Oy

	отрезок b = 2 и образующей с осью Ox угол α =	π .
		3
	Решение. Находим угловой коэффициент:	æ π	ö
				= 3 .
		k = tgα = tgç	÷
		è 3	ø

Подставляя k и b в уравнение (2), получаем искомое уравнение прямой:

y =		3	x + 2 или y -	3	x - 2 = 0 . □
20. Уравнение	прямой, проходящей через данную точку,

с данным угловым коэффициентом. Иногда возникает необходимость составить уравнение прямой, зная одну ее точку M1(x1; y1) и угловой

121

коэффициент k . Запишем уравнение прямой в виде (2), где b пока неизвестное число. Так как прямая проходит через точку M1(x1; y1) , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (2): y1 = kx1 + b . Отсюда b = y1 - kx1 . Подставляя это выражение в уравнение (2), полу-

чаем искомое уравнение прямой

y - y1 = k(x - x1) .			(3)
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку M (1; 2) и образующей с осью Ox угол α = π .
4		π
Решение. Находим угловой коэффициент	k = tgα = tg		=1.
		4

Подставляя координаты точки М и значение углового коэффициента k в уравнение (3), получим искомое уравнение прямой y − 2 = x −1

или y − x −1 = 0 . □

30. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть даны две точки M1(x1; y1) и M2 (x2; y2 ) . Приняв в (3) точку M (x; y) за M2 (x2; y2 ) , получим: y2 - y1 = k(x2 - x1) .

Если x2 ¹ x1 , то, определяя k из последнего равенства и под- ставляя его в уравнение (3), получаем искомое уравнение прямой

y - y1 = y2 - y1 (x - x1). x2 - x1

Это уравнение, если y1 =/				y2 ,		можно записать в виде
	y - y1					=	x - x1		.	(4)
	y	2	- y				x	- x
				1		2		1
Если y1 = y2 , то уравнение искомой прямой имеет вид										y = y1 и

такая прямая параллельна оси Ox . Если x1 = x2 , то прямая, проходя- щая через точки M1 и M2 , параллельна оси Oy , ее уравнение имеет вид x = x1 .

40. Общее уравнение прямой.

Утверждение 1. В прямоугольной системе координат любая

прямая задается уравнением первой степени
Ax + By + C = 0 ,	(5)
и, обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах	A, B, C

( A и B одновременно не равны нулю) определяет прямую в прямо- угольной системе координат Oxy .

122