- •2. Определители 2 и 3-го порядков. Вычисление определителя n-го порядка. Свойства определителей 3-го порядка.
- •3.Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.
- •4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.
- •4.2. Решение систем линейных уравнений.
- •4.3 Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •7 Вопрос Системы линейных однородных уравнений
- •6Вопрос Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •8 Вопрос Декартова система координат. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса.
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •20. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
- •Эллипсоид
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Эллиптический цилиндр
- •Гиперболический цилиндр
- •Параболический цилиндр
- •22 Вопрос Эллипсоид.
- •24. Параболоиды.
- •26. Евклидово пространство. Неравенство Буняковского-Коши. Ортогональный и ортонормированный базисы. Разложение вектора по ортогональному базису.
- •Вопрос 27 Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах.
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Линейный двучлен. Теорема Безу.
- •Деление многочленов
- •42.Замечательные пределы.
- •Вопрос 43
- •1. Теорема Ролля
- •2. Теорема Лагранжа
- •3. Теорема Коши
- •4. Правило Лопиталя
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
1. Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение ит ранспонирование матриц. Матрицей размером m×n наз-ся совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Для краткости матрицу обозн-т заглавн.букв. А. aij: i-строка, j-столбец. Квадратная матр. – число строк равно числу столбцов. Матрица, состоящая из одной строки или столбца – вектор. Нулевая матрица – матрица, все элементы кот-й равны нулю. Треугольная матрица – квадратная матрица, у кот-й все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица – квадратная матрица, у кот-й все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю. Единичная матрица (обозн-ся E) – диагональная матрица, у кот-й диагональные элементы равны единице. Линейные операции: сложения элементов матриц и умножения матриц на число. Сложение возможно только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || ai j || и B = || bi j || является матрица C = || ci j || , элементы кот-й равны сумме соответствующих матричных элементов. При умножении матрицы A на число каждый ее элемент умножается на это число.Произведение. Перемножать можно только те матрицы, у кот-х число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы. Произведением матрицы A на B наз-ся новая матрица C=AB, элементы кот-й составляются след. образом:.
Элементы матрицы-произведения – сумма произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы. Перемножая две квадратные матрицы одного порядка, получаем квадратную матрицу того же порядка. Квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.
Перемноженая векторы, причём ширина первого д.б. равна высоте второй, получаем матрицу первого порядка (т.е. один элемент):
.
A∙B ≠ B∙A – операция умножение неперестановочная
(AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC
AE=EA=A
Произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице:
Транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу AT наз-т транспонированной к матрице A, если столбцы А записать в строчку.
2. Определители 2 и 3-го порядков. Вычисление определителя n-го порядка. Свойства определителей 3-го порядка.
Вычисление определителей второго порядка.
Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:
Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус
произведение элементов, стоящих на побочной.
Вычисление определителей третьего порядка.
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:
Запомнить порядок сомножителей, конечно же, очень трудно, если не знать
визуального представления этого правила, которое называется правило треугольников:
Здесь схематично показано, какие сомножители соседствуют в слагаемых.
Определителем n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме всевозможных произведений элементов взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца.
Знак каждого слагаемого определяется числом инверсий в перестановках составленных из первых и вторых индексов сомножителей : если оно четное «+», нечетное «-».
Инверсия - когда большее число стоит перед меньшим.
Св-ва определителей:
В определителе строки и столбцы равнозначны.
Если все Эл-ты в строке или столбце = 0, то определитель =0.
3.Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.
Матрица А наз. невырожденной,если ее определитель не равен 0
Матрица А-1 наз. обратной к матрице А,если АА-1= А-1А=Е, где Е-единичная матрица. Всякая невырожденная матрица имеет единствен. обратную матрицу.
Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем:
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):
Тогда её можно переписать в матричной форме:АХ=В, где А — основная матрица системы, В и Х — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
Умножим это матричное уравнение слева на А-1 — матрицу, обратную к матрице А:А-1(АХ)= А-1В Так как А-1А=Е, получаемХ= А-1В. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы
4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.
Наибольший из порядков миноров данной матрицы отличный от нуля называется рангом матрицы.
rank A = rg A = r
Свойства ранга:
- при транспонировании матрицы ранг не меняется
- если вычеркнуть из матрицы нулевую строку, то ранг не меняется
- ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками матрицы.
Максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы A называется ее рангом, а любой минор порядка r, отличный от нуля - базисным минором.
Основные методы вычисления ранга матрицы:
Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k-го порядка M, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k+1)− го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор M: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)−го порядка, и вся процедура повторяется.
Метод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы кроме a11,a22,...,arr (r≤min(m,n)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен r.
ВопросСистемы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Формулы Крамера.
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi— свободными членами. Подлежат нахождению числа xn.Такую систему удобно записывать в компактной матричной формеAX=B
Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;— вектор-столбец из неизвестных xj.— вектор-столбец из свободных членов bi.
Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).
Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов
Решением системы называется n значений неизвестных х1=c1, x2=c2, ..., xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записатьв виде матрицы-столбца
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, инесовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:
Однородная система всегда совместна, так как x1=x2=x3=...=xn=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.