Математика для инженеров(теория)I том

Другой способ задания числовых последовательностей – рекур- рентный. Задается начальный элемент x1 (первый член последова- тельности) и правило определения n-го элемента по (n–1)-му:

xn = f (xn−1) . Таким образом, x2 = f (x1) , x3 = f (x2 ) и т.д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать 99 предыдущих.

20. Ограниченные последовательности. Последовательность

{xn} называется ограниченной, если M > 0 такое, что n :| xn |≤ M .

С геометрической точки зрения это означает, что все члены по- следовательности находятся в некоторой окрестности (M-окрестности) точки x = 0 (рис. 1).

Рис. 1

Последовательность { xn } называется неограниченной, если

M > 0 n :| xn |> M .

	Например: а) последовательность	1,−	1	,	1	,...,	(−1)n−1	,... ограни-
			2		3		n

чена, т.к. n :| xn |= 1n ≤1; б) последовательность 1, 22, 32,…, п2,…

является неограниченной, т.к. каково бы ни было число M > 0 xn = n2 такое, что xn > M .

Последовательности { yn } и { un } из п.10 ограничены, а { vn } и { zn } – неограничены.

§ 2. Предел и сходимость числовой последовательности

10. Предел числовой последовательности. Число a называется

пределом последовательности { xn }, если ε > 0 N0 такое,

что n > N0 :| xn − a |< ε и обозначается a = lim xn .

n→∞

Геометрически это означает, что в любой ε -окрестности точки a находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера (зависящего, вообще говоря, от ε ).

Пример 1. Доказать, что lim n −1 =1.

n→∞ n

223

Решение. По определению, число 1 будет пределом последователь-

ности

x

=

n -1

,

n , если для любого ε > 0 найдется натуральное

n

n

N0

для всех n > N0

число

такое,

что

выполняется

неравенство

n -1

-1

< ε , т.е.

1

< ε . Оно справедливо для всех n >

1

, т.е. для всех

n

n

ε

n > N0

é1

ù

é1

ù

1

(целая часть числа x,

=

ê

ú +1 , где ê

ú – целая часть числа

ε

ëε

û

ëε

û

обозначаемая [x], есть наибольшее целое число, не превосходящее x,

так [5,3] = 5, а [-5,3] = -6 ).

Итак,

для ε > 0 указано соответствующее значение N0 . Это и

доказывает, что

lim

n -1

=1. □

n→∞

n

5

Заметим,

что

число

N0

зависит

от ε .

Так, если

ε =

,

то

21

é

1 ù

é

21ù

é

1ù

ε = 0,001,

N0 = ê

ú +1 =

ê

ú

+1 = ê4

ú

+1 = 5 .

Если

то

ê

5

ú

ë

5 û

ë

5û

ë 21û

é

1

ù

N0 = ê

ú +1

= [1000] +1 = 1001. Поэтому,

иногда

записывают

1

ê

ú

ë1000

û

N0 = N0 (ε) .

Очевидно, что чем меньше ε , тем больше число N0 , но внутри

любой ε -окрестности точки a находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела – расходящейся.

Расходящейся, например, является последовательность vn = n2 +1 . Постоянная последовательность xn = c, nÎ , имеет предел, равный числу c. Действительно, для ε > 0 при всех натуральных n

выполняется | xn - c |=| c - c |= 0 < ε .

2.0 Бесконечно малые последовательности. Последователь-

ность {xn} называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Бесконечно				малыми, например, являются последовательности
{x	} =	1	, {x	} =	1	.
n		n	n	10n

224

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых последова- тельностей.

1.Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2.Бесконечно малая последовательность ограничена.

3.Произведение бесконечно малой последовательности и ограни- ченной последовательности есть бесконечно малая последовательность.

4.Произведение нескольких бесконечно малых последователь- ностей есть бесконечно малая последовательность.

Докажем первое свойство для двух бесконечно малых последова-

тельностей { xn} и { yn} . Для любого ε > 0 найдется номер N1 такой, что

	x			< ε	(1)
	n		2
для всех n > N1 , и найдется номер N2 такой, что
	yn			< ε	(2)
				2

для всех n > N2 . Выбрав N0 = max{N1, N2} , получим, что для любого

n > N0 неравенства (1) и (2)

выполняются одновременно. Следова-

тельно, для любого n > N0

имеем

< ε

+ ε < ε .

x + y

n

≤

x

+

y

n

n

n

2

2

Так как ε > 0 – произвольно, то,

тем самым, установлено, что

lim

(xn + yn ) = 0 , т.е. последовательность {xn + yn} бесконечно малая.

n→∞

Аналогично доказывается это свойство для любого конечного числа бесконечно малых последовательностей.

Упражнение 1. Доказать свойства 2 – 4.

3.0 Свойства сходящихся последовательностей.

1. Для того, чтобы число а было пределом последовательности {xn} , необходимо и достаточно, чтобы xn имело вид xn = a +αn , где αn – бесконечно малая последовательность.

Действительно, т.к. lim xn = a , то для любого ε > 0 существует

n→∞

номер N0 = N0 (ε) такой, что

		xn − a					< ε	(3)
для n > N0 . Пусть αn = xn − a , тогда
для n > N0			αn		< ε			(4)
	, откуда следует, что lim αn = 0 . Аналогично доказывается
			n→∞

и обратное, т. к. из (4) следует (3). □

225

n2 -1

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Пусть

lim x

n

= a и lim y

n

= b .

n→∞

n→∞

Тогда:

а)

lim (xn ± yn ) = a ± b ;

б)

n→∞

= ab ;

lim x

y

n

n→∞

n

в)

lim

xn

=

a

(при условии, что b ¹ 0 ).

n→∞ yn

b

Докажем, что

lim (xn ± yn ) = a ± b . Действительно,

из того, что

n→∞

x

- a = α

и y

- b = β

, где {α

lim x

= a и

lim y

n

= b следует:

n

n

n

n

} и

n→∞

n

n→∞

n

{βn} – бесконечно малые последовательности. Поэтому имеем, что xn + yn - (a + b) = αn + βn . Т. к. последовательность {αn + βn } есть

бесконечно малая последовательность, то отсюда и получается тре- буемое равенство. □

Упражнение 2. Доказать свойства 2, 3, 4б), 4в).

Пример 2. Найти lim 2n2 + n +1 .

n→∞

Решение. При n → ∞ числитель и знаменатель стремятся к беско-

нечности (если lim xn = ¥ , то последовательность называют бесконеч-

n→∞

но большой). Следовательно, непосредственно применить свойство о пределе частного нельзя. Поэтому, необходимо преобразовать об- щий член этой последовательности, разделив числитель и знаменатель

на n2 (на n в степени, наибольшей из старших степеней числителя и знаменателя). Получим

1

1

æ

1

1

ö

2

2 +

+

lim ç 2 +

+

÷

2n

+ n +1

n

n2

n

n2

lim

= lim

=

n→∞ è

ø

=

1

æ

1 ö

n→∞ n2 -1

n→∞

1-

lim

-

ç1

÷

2

n

n2

n→∞

è

ø

lim 2 + lim 1

+ lim

1

2 + 0 + 0

=

n→∞

n→∞ n

n→∞ n2

=

= 2

. □

lim 1- lim

1

1- 0

n→∞

n→∞ n2

4.0 Предельный переход в неравенствах.

Утверждение 1. Если lim xn = a и, начиная с некоторого номера n,

n→∞

xn ³ b , то a ³ b .

226

Предположим противное, a < b . Возьмем ε = b − a . По определе- нию предела последовательности для данного ε > 0 $N0 Î такое, что

"n > N0 : xn - a < ε , т.е. xn - a < b - a или -(b - a) < xn - a < b - a .

Из правого неравенства получаем: "n > N0 :xn < b , что противоречит

условию. □

Следствие 1. Если элементы сходящихся последовательностей {xn} и { yn} , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn £ yn , то их пределы удовлетворяют неравенству

lim x	£ lim y	n	.
n→∞ n	n→∞
Действительно, начиная с некоторого номера, будем иметь, что
yn - xn ³ 0 . Следовательно, lim (yn - xn ) ³ 0 и lim yn - lim xn ³ 0. □
n→∞			n→∞	n→∞
Упражнение 3. С помощью следствия 1 доказать следующее
Утверждение 2 (теорема о двух милиционерах или о сжатой
последовательности). Пусть даны три			последовательности {xn} ,

{ yn} ,

{zn}

и, начиная с некоторого номера

N0 , xn £ yn £ zn , причем

последовательности {xn}

и {zn} имеют один и тот же предел а. Тогда

последовательность { yn}

также имеет предел а.

Пример 3. Найти lim

5n

.

n→∞ nn

5

1

Решение.

Т.к. при

n >15 верно

неравенство

£

, то

n

ön

1 ön

3

æ 5

æ

при n >15 . Здесь слева и справа стоят члены после-

0 < ç

÷ £

ç

÷

è n

ø

è

3 ø

довательностей, имеющих пределом нуль (показать самостоятельно!).

Значит, lim 5n = 0 . □

n→∞ nn

§3. Монотонные последовательности

ипризнаки сходимости

10. Предел монотонной ограниченной последовательности.

Последовательность {xn} называется возрастающей (неубы- вающей), если для любого n выполняется неравенство xn+1 > xn

( xn+1 ³ xn ). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая)

227

последовательность. Возрастающая и убывающая (неубывающая и невозрастающая) последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности { vn }, { yn } и { un } –

монотонные, а { zn } – не монотонная (см. п.1.10). Отметим, что члены последовательности { un } с увеличением n неограниченно прибли- жаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность { un }, n , стремится к пределу 1.

Теорема 1 (Вейерштрасса). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Пусть { xn} является неубывающей ограни- ченной последовательностью, т.е.

x1 £ x2 £ ... £ xn £ xn+1 £ ...

(1)

и множество значений последовательности { xn} ограничено сверху.

Тогда, согласно теореме В6.1, оно имеет точную верхнюю границу М,

значит

xn £ M , "nÎ .						(2)
С другой стороны, для	любого	ε > 0 найдется		элемент			xm ,
удовлетворяющий неравенству
xm > M - ε .						(3)
Используя (1) и условие (3), приходим к выводу, что
xn > M - ε, "n ³ m .						(4)
Объединяя (2) и (4), получаем двойное неравенство
M - ε < xn £ M , "n ³ m .
Отсюда и из определения предела вытекает, что существует
предел последовательности { x	} , lim x	n	= M .
n	n→∞
Аналогично проводится доказательство теоремы 1 для невозрас-
тающей ограниченной последовательности. □
20. Число е. Примером монотонной ограниченной последова-
тельности является последовательность { x } , где				x	= æ1+	1	ön .
			n	n	ç	÷
					è	n ø

Покажем, что эта последовательность возрастающая. Действительно, с помощью формулы бинома Ньютона можно записать:

x =1+ n

1

+

n(n -1)

1

+

n(n -1)(n - 2)

1

+

n

n

2! n2

3!

n3

+... +

n(n -1)(n - 2)...(n - (n -1))

1

.

n!

nn

228

Преобразуем полученное выражение следующим образом:

xn = 2 +

1 æ

1

ö

1 æ

1

öæ

2 ö

1 æ

1

öæ

2 ö æ

n -1

ö

ç1-

÷

+

ç1-

֍1-

÷ +...+

ç1-

֍1-

÷...ç1

-

÷ .

(5)

n

n

2!è

n ø

3!è

øè

n ø

n!è

n øè

n ø è

ø

Теперь запишем по этой же формуле (n +1) -ый член:

x

= 2 +

1

æ1-

1

ö

+

1

æ1-

1

öæ1-

2

ö + ... +

÷

n+1

ç

n +

ç

n +

֍

÷

2!è

1ø

3!è

1øè

n +1ø

1

æ

1 öæ

2

ö æ

n -1ö

+

ç1

-

֍1

-

÷...ç1-

÷

+

n!

n

è

n +1øè

+1ø è

n +1ø

1

æ

1

öæ

2 ö

æ

n

ö

+

ç1-

֍1-

÷...ç1-

÷.

(n

n

+1

n +

+1)!è

øè

n +1ø

è

1ø

Сравним члены последовательности

xn

и xn+1 . Очевидно, что

1-

k

<1-

k

,

k =1, 2, ...,

n -1. Поэтому, первые n слагаемых у x

n

n +1

n+1

не меньше соответствующих слагаемых у xn . Учитывая, что xn+1

со-

держит еще одно дополнительное неотрицательное слагаемое, получим, что "nÎ : xn < xn+1 .

Далее

докажем,

что

рассматриваемая

последовательность

ì

1 ö

n ü

ïæ

ï

íç1

+

÷

ý ограничена. Снова воспользуемся формулой (5). Очевидно,

ïè

n ø

ï

î

þ

имеет место неравенство 2n−1 < n!, n = 3,4,... .

Поэтому, из соотношения (5), будем иметь:

x

< 2 +

1

+

1

+ ... +

1

<1+1+

1

+

1

+ ... +

1

.

n

2! 3!

n!

2 22

2n−1

Применим формулу суммы бесконечно убывающей геометриче-

ской прогрессии и получим

1

1-

1

x <1+

2n

= 3 -

< 3, nÎ .

(6)

n

1-

1

2n−1

2

ì

1 ö

n ü

ïæ

ï

Следовательно, последовательность íç1+

÷

ý

– возрастающая

ïè

n ø

ï

î

þ

и ограниченная, и, по теореме Вейерштрасса, имеет предел. Этот пре-

	æ		1 ön
дел обозначают буквой	e и называют числом Эйлера, e = lim ç1	+		÷ .
	n→∞ è		n ø

229

Логарифмы по основанию е называют натуральными логариф- мами ( ln x ). Из соотношений (5) и (6) вытекает, что 2 < e < 3 . Можно доказать, что число е является иррациональным, е =2,7182… . Число е широко используется в математике и ее приложениях.

Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами. По определению логарифма имеем x = eln x . Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10: lg x = lg(eln x ) , т.е. lg x = ln x ×lge ,

или ln x = lglg ex .

При lge ≈ 0,4343 имеем lg x ≈ 0,4343ln x, ln x ≈ 2,3026lg x .

Полученные формулы показывают связь между натуральным и десятичным логарифмами.

30. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши существования предела. Последовательность {xnk }, составленная из

членов последовательности {xn} , порядок следования элементов которой совпадает с порядком следования их в исходной последовательности {xn} , называется подпоследовательностью этой последовательности.

Теорема 2. Из каждой последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Доказательство. Для числовой последовательности могут

встретиться два случая: либо сама последовательность {x			}∞	и все ее
остатки {x	}∞	n	n=1
		, m , имеют самый меньший элемент, либо неко-
n	n=m

торый остаток (и все остальные) не имеют самого меньшего элемента. Пусть имеет место первый случай. Выберем один из самых меньших элементов последовательности и обозначим его xn1 . В качестве

xn2 возьмем один из самых меньших элементов оставшейся последо- вательности, которая расположена за xn1 , n2 > n1 . Далее берем один из самых меньших элементов, расположенных за xn2 и т.д. Очевидно,

таким образом получим последовательность {xn				} ,	такую, что
			k
xn	≤ xn	≤ xn	≤K ≤ xn ≤K.
1	2	3	k
Во втором случае будем иметь остаток
	xm , xm+1,K, xm+n ,K				(7)

без самого меньшего элемента. В качестве xn1 возьмем xm . Поскольку в последовательности (7) нет самого меньшего элемента, то, сравнивая

230

следующие элементы с xn1 , найдем xn2 < xn1 . Потом возьмем остаток, который начинается с элемента xn2 , и, сравнивая следующие элементы с xn2 , найдем xn3 < xn2 . На этом пути и получается подпоследователь-

ность {xnk } , такая, что xn1 > xn2 > xn3 >K > xnk >K. □

Теорема 3 (Больцано–Вейерштрасса). Из каждой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. По теореме 2 из последовательности { xn}

можно выделить монотонную подпоследовательность, которая будет ограниченной, согласно условию теоремы 3, а, значит, сходящейся на основании теоремы 1. □

Будем говорить, что последовательность { xn} удовлетворяет условию Коши, если для любого ε > 0 существует такой номер N0 (ε ) ,

что для всех номеров n и m, удовлетворяющих условию				n > N 0(ε) ,
m > N 0(ε) , справедливо неравенство
	xn − xm		< ε.	(8)

Условие Коши формулируют и таким образом: для каждого ε > 0 существует такое натуральное число N0 , что для любого n > N 0 и для

любого натурального р верно неравенство	xn+ p − xn	< ε.
Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, назы-
ваются также фундаментальными последовательностями.				= a , то,
Если {x } – сходящаяся последовательность и lim x			n
n		n→∞

согласно определению предела, при достаточно больших n элементы xn

принадлежат достаточно малой окрестности точки a . Отсюда следует, что названные элементы мало отличаются один от другого, и на этой основе удается получить критерий сходимости последовательности.

Теорема 4 (критерий Коши). Для того, чтобы последователь- ность {xn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность {xn}

сходится и lim xn = a . Зададим ε > 0 , тогда, согласно определению

n→∞

предела последовательности, существует такое N0 , зависящее от ε ,

что для всех номеров n> N0 (ε ) выполняется неравенство xn − a < ε2 .

231

Пусть теперь n > N0 (ε ) и m > N0 (ε)

тогда

< ε

+ ε = ε ,

x - x

=

(x - a) + (a - x

m

)

£

x - a

+

x - a

n m

n

n

m

2

2

т.е. условие фундаментальности (8) выполнено.

Достаточность. Пусть теперь последовательность удовлетворяет условию Коши (8). Заметим, что фундаментальная последовательность есть ограниченная последовательность. Действительно, пусть в усло- вии (8) m есть фиксированный номер, m > N0 (ε) и n = m + p , где p –

произвольное натуральное число. Тогда
xm - ε < xm+ p < xm + ε,	p Î .	(9)
Неравенства (9) означают, что последовательность {xn}		имеет
ограниченный остаток xm , xm+1,K, xm+ p ,K,	значит, и сама последова-

тельность {xn} будет ограниченной. По теореме 3 из последователь-

ности		{xn} можно		выделить			сходящуюся подпоследовательность
{xn	}∞	такую, что		lim xn		= a . Если nk > N0 (ε) , то, согласно нера-
k	k=1			k→∞	k
						< ε,	n > N0 (ε ) .
венству (8), имеем			xn - xn
				k
	Выполняя в последнем неравенстве предельный переход при

k → ∞ , получим xn - a £ ε < 2ε , т.е., согласно определению предела,

lim xn = a . □

n→∞

Отметим, что важность критерия Коши состоит в том, что в отли- чие от проверки сходимости последовательности по определению, он позволяет проверить сходимость без знания предела, так как условие Коши формулируется во внутренних терминах последовательности.

Из критерия Коши следует, что для того, чтобы последователь- ность {xn} не имела предела, необходимо и достаточно, чтобы она не

удовлетворяла условию Коши, иначе говоря, удовлетворяла отрицанию условия Коши: существует такое ε > 0 , что для любого натурального

N0 найдутся n ³ N0 и m ³ N0 такие, что xn - xm ³ ε . Пример 1. Доказать, что последовательность {xn} , где

x =	cos1	+	cos2	+K +	cos n	, nÎ ,
n	3	32			3n

сходится.

232